西部计划-部分与部份

2021年1月19日发(作者：池宁)

小学数学公式大全

1
、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数



2
、
1
倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1
倍数＝倍数几倍数 ÷倍数＝
1
倍数



3
、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度



4
、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价


< br>5
、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时
间 ＝工作效率



6
、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数



7
、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数



8
、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数



9
、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数

单位换算



（
1
）
1
公里＝
1
千米
1
千米＝
1000
米
1
米＝
10
分米
1
分米＝
10
厘米
1
厘米＝
1 0
毫米



（
2
）
1
平方米＝
100
平方分米
1
平方分米＝
100
平方厘米
1< br>平方厘米＝
100
平方毫米



（
3）
1
立方米＝
1000
立方分米
1
立方分米＝
1000
立方厘米
1
立方厘米＝
1000
立方毫米



（
4
）
1
吨＝
1000
千克
1
千克
=1000
克
=1
公斤
=2
市斤< br>


（
5
）
1
公顷＝
10000
平方米
1
亩＝
666.666
平方米



（
6
）
1
升＝
1
立方分米＝
1000毫升
1
毫升＝
1
立方厘米



数量关系计算公式方面



1
．单价×数量＝总价



2
．单产量×数量＝总产量



3
．速度×时间＝路程



4
．工效×时间＝工作总量

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小学数学定义定理公式（二）



一、算术方面



1
．加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。



2
．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第



三个数相加，和不变。



3
．乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。


4
．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个
数相 乘，它们的积不变。



5
．乘法分配律：两个数的和同一个数相 乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把
两个积相加，结果不变。如：（
2+4
） ×5＝2×5+4×5。



6
．除法的性质：在除法里，被除数 和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
0
除以任何不是
0
的数都得
0
。



7
．等式：等号左边的数值与等号右边 的数值相等的式子叫做等式。等式的基本性质：
等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成 立。



8
．方程式：含有未知数的等式叫方程式。



9
．一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式 叫做一元一次
方程式。



学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有
χ
的算式并计算。



10
．分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。



11
．分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不 变。异分母的分
数相加减，先通分，然后再加减。



12
．分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数
相比较，先通分然 后再比较；若分子相同，分母大的反而小。



13
．分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。



14
．分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。



15
．分数除以整数（
0
除外），等于分数乘以这个整数的倒数。

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16
．真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。



1 7
．
假分数：
分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大 于或等于
1
。



18
．带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。



19
．分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（
0< br>除外），分数的
大小不变。



20
．一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。



21
．甲数除以乙数（
0
除外），等于甲数乘以乙数的倒数。

长度单位换算



1
千米
=1000
米
1
米
=10
分米



1
分米< br>=10
厘米
1
米
=100
厘米



1
厘米
=10
毫米



面积单位换算



1
平方千米
=100
公顷



1
公顷
=10000
平方米



1
平方米
=100
平方分米



1
平方分米
=100
平方厘米



1
平方厘米
=100
平方毫米



体
(
容
)
积单位换算



1
立方米
=1000
立方分米



1
立方分米
=1000
立方厘米



1
立方分米
=1
升



1
立方厘米
=1
毫升



1
立方米
=1000
升

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重量单位换算



1
吨
=1000
千克



1
千克
=1000
克



1
千克
=1
公斤



人民币单位换算



1
元
=10
角



1
角
=10
分



1
元
=100
分



时间单位换算



1
世纪
=100
年
1
年
=12
月



大月
(31
天
)
有
:1357810 12
月



小月
(30
天
)
的有
:46911
月



平年
2
月
28
天
,
闰年2
月
29
天



平年全年
365
天
,
闰年全年
366
天



1
日
=24
小时
1
时
=60
分



1
分
=60
秒
1
时
=3600
秒



小学数学几何形体周长面积体积计算公式



1
、长方形的周长
=
（长
+
宽）×2C=(a+b)×2



2
、正方形的周长
=
边长×4C=4a



3
、长方形的面积
=
长×宽
S=ab


4
、正方形的面积
=
边长×边长
S=a.a=a


5
、三角形的面积
=
底×高÷2S=ah÷2



6
、平行四边形的面积
=
底×高
S=ah
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7
、梯形的面积
=
（上底
+
下底）×高÷2S=（
a
＋
b
）h÷2



8
、直径
=
半径×2d=2r
半径
=
直径÷2r=d÷2


9
、圆的周长
=
圆周率×直径
=
圆周率×半径×2c=
π
d=2
π
r


10
、圆的面积
=
圆周率×半径×半径



定义定理公式



三角形的面积＝底×高÷2。公式
S=a×h÷2



正方形的面积＝边长×边长公式
S=a×a



长方形的面积＝长×宽公式
S=a×b



平行四边形的面积＝底×高公式
S=a×h



梯形的面 积＝（上底
+
下底）×高÷2
公式
S=(a+b)h÷2



内角和：三角形的内角和＝
180
度。



长方体的体积＝长×宽×高公式：
V=abh


长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：
V=abh


正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：
V=aaa


圆的周长 ＝直径×
π
公式：
L
＝
π
d
＝
2
π
r


圆的面积＝半径×半径×
π
公式：
S
＝
π
r2


圆柱的表
（侧）
面积：
圆柱的表
（侧）
面积等于底面的周长乘高。
公式：
S=ch=
π
dh
＝
2
π
rh


圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加 上两头的圆的面积。公式：
S=ch+2s=ch+2
π
r2


圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：
V=Sh


圆锥的体积＝
1/3
底面×积高。公式：
V=1/3Sh


分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数
相加减，先通分，然后再加减。



分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。

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分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

和差问题的公式



(
和＋差)÷2＝大数



(
和－差)÷2＝小数



和倍问题



和÷(倍数－
1)
＝小数



小数×倍数＝大数



(
或者和－小数＝大数
)


差倍问题



差÷(倍数－
1)
＝小数



小数×倍数＝大数



(
或小数＋差＝大数
)


植树问题



1
非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形
:


⑴如果在非封闭线路的两端都要植树
,
那么
:


株数＝段数＋
1
＝全长÷株距－
1


全长＝株距×(株数－
1)


株距＝全长÷(株数－
1)


⑵如果在非封闭线路的一端要植树
,
另一端不要植树
,
那么
:


株数＝段数＝全长÷株距



全长＝株距×株数



株距＝全长÷株数



⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树
,
那么
:
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株数＝段数－
1
＝全长÷株距－
1


全长＝株距×(株数＋
1)


株距＝全长÷(株数＋
1)


2
封闭线路上的植树问题的数量关系如下



株数＝段数＝全长÷株距



全长＝株距×株数



株距＝全长÷株数



盈亏问题



(
盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数



(
大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数



(
大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数



相遇问题



相遇路程＝速度和×相遇时间



相遇时间＝相遇路程÷速度和



速度和＝相遇路程÷相遇时间



追及问题



追及距离＝速度差×追及时间



追及时间＝追及距离÷速度差



速度差＝追及距离÷追及时间



流水问题



顺流速度＝静水速度＋水流速度



逆流速度＝静水速度－水流速度



静水速度＝
(
顺流速度＋逆流速度)÷2

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水流速度＝
(
顺流速度－逆流速度)÷2



浓度问题



溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量



溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度



溶液的重量×浓度＝溶质的重量



溶质的重量÷浓度＝溶液的重量



利润与折扣问题



利润＝售出价－成本



利润率＝利润÷成本×100%＝
(
售出价÷成本－1)×100%



涨跌金额＝本金×涨跌百分比



折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜
1)


利息＝本金×利率×时间



税后利息＝本金×利率×时间×(1－
20%)
小学数学图形计算公式



1
、正方形
C
周长
S
面积
a
边长周长＝边长×4C=4a
面积
=
边长×边长
S=a×a



2
、正方体
V:
体积
a:
棱长表面积
=
棱长×棱长×6S
表=a×a×6
体积
=
棱长×棱长×棱 长
V=a×a×a



3
、长方形



C
周长
S
面积
a
边长



周长
=(
长
+
宽)×2



C=2(a+b)


面积
=
长×宽



S=ab
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4
、长方体



V:
体积
s:
面积
a:
长
b:
宽
h:
高



(1)
表面积
(
长×宽
+
长×高+
宽×高)×2



S=2(ab+ah+bh)


(2)
体积
=
长×宽×高



V=abh


5
三角形



s
面积
a
底
h
高



面积
=
底×高÷2



s=ah÷2



三角形高
=
面积×2÷底



三角形底
=
面积×2÷高



6
平行四边形



s
面积
a
底
h
高



面积
=
底×高



s=ah


7
梯形



s
面积
a
上底
b
下底
h
高



面积
=(
上底
+
下底)×高÷2



s=(a+b)×h÷2



8
圆形



S
面积
C
周长∏d=直径
r=
半径



(1)
周长
=
直径×∏=2×∏×半径

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C=∏d=2∏r



(2)
面积
=
半径×半径×∏



9
圆柱体



v:
体积
h:
高
s;
底面积
r:
底面半径
c:
底面周长



(1)
侧面积
=
底面周长×高



(2)
表面积
=
侧面积
+
底面积×2



(3)
体积
=
底面积×高



（
4
）体积＝侧面积÷2×半径



10
圆锥体



v:
体积
h:
高
s;
底面积
r:
底面半径



体积
=
底面积×高÷3



总数÷总份数＝平均数


1
、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数



2
、
1
倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1
倍数＝倍数几倍数 ÷倍数＝
1
倍数



3
、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度



4
、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价


< br>5
、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时
间 ＝工作效率



6
、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数



7
、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数



8
、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数



9
、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数

小学数学公式及换算


一、公式：


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⒈正方形的周长＝边长
×
4

①正方形的面积
=
边长
×
边长


②
S
正＝
a×
a

③正方形的边长＝面积
÷
边长


④

a
正＝
S÷
a

⒉长方形的周长＝（长＋宽）
×
2

①长方形面积＝长
×
宽


②
s
长＝
a×
b

③长方形的长＝面积
÷
宽


④
a
长＝
S÷
b

⑤长方形宽＝面积
÷
长


⑥
b
长＝
S÷
a

⒊三角形的面积＝底
×
高
÷
2

⑴
S
三＝
a×
h÷
2

⑵三角形的底＝ 面积
×
2÷
高⑶
a
三＝
S×
2÷
h

⑷三个形的高＝面积
×
2÷
底


⑸
h
三＝
S×
2÷
a

⒋平形四边形的面积＝底
×
高


⑴
S
平＝
a×
h

⑵平行四边形的底＝面积
÷
高


⑶
a
平＝
S÷
h

⑷平行四边形的高＝面积
÷
底


⑸
h
平＝
S÷
a

⒌梯形的面积＝（上底＋下底）
×
高
÷
2

⑴
S
梯＝（
a
＋
b)×
h÷
2

⑵梯形的高
=
面积
×
2÷
（上底＋下底）


⑶
h
梯＝
S×
2÷
(a
＋
b)

⑷梯形的上底＝面积
×
2÷
高－下底


⑸
a
梯＝
S×
2÷
h
－
b

⑹梯形的下底＝面积
×
2÷
高－上底


⑺
b
梯＝
S×
2÷
h
－
a

⒍路程＝速度
×
时间


⑴速度＝路程
÷
时间


⑵时间＝路程
÷
速度


⒎工作总量＝工作效率
×
工作时间


⑴工作效率＝工作总量
÷
工作时间


⑵工作时间＝工作总量
÷
工作效率


（顶层根数
+
底层根数）
×
层数
÷
2

单位换算：


⑴
1
平方千米＝
100
公顷


⑵
1
公顷＝
100
公亩


⑶
1
公亩＝
100
平方米


⑷
1
平方千米＝
1000000
平方米


⑸
1
平方米＝
100
平方分米


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⑹
1
平方分米＝
100
平方厘米


⑺< br>1
平方厘米＝
100
平方毫米⑻
1
公硕＝
10000
平方米


基本公式：


⑴一个因数＝积
÷
另一个因数⑵被除数＝商
×
除数


⑶除数＝被除数
÷
商


⑷一个加数＝和－另一个加数


⑸被减数＝差＋减数


8
、圆的直径
=
圆的半径
×
2

d=r×
2=2r

9
、圆的半径
=
直径
×
2

r=d÷
2

10
、圆的周长
=
圆周率
×
直径


C=πd

11
、圆的直径
=
圆周长
÷
圆周率


d=C÷π

12
、半径
=
圆的周长
÷
2÷
圆周率


R=C÷2÷π

13
、圆的面积
=
圆周率
×
半径的平方


S=π×r2

14.
圆柱的表面积
=
侧面积＋两个底面积


S
圆柱表＝

S
侧＋
2πr2

15.
圆柱的体积
=
底面积
×
高


V
圆锥＝
S×
h

16.
圆锥的体积
= ×
底面积
×
高


S
圆柱表＝

×
S×
h
＝

Sh

17.
图距∶实距
=
比例尺


图距
÷
比例尺＝实距


实距
×
比例尺
=
图距




1.
其他计量单位制－
>
公制：




在等式左边文字输入框填入非标准计量单位数量，
如
“1”
，在等式左边非标 准计量单位下拉菜单中选择
单位，如
“
磅
”
；在等式右边公制计量单 位下拉菜单中选择单位，如
“
公斤
”
，点击
“
其他
->
公制
”
按钮，即在等
式右边的文字输入框中得到
“0.4536 ”
公斤。



2.
公制－
>
其他计量单位制：




在等式右边文字输入框填入公制计量单位数量，
如
“1”
，
在等式右 边公制计量单位下拉菜单中选择单位，
如
“
公斤
”
；在等式左边非标 准计量单位下拉菜单中选择单位，如
“
磅
”
，点击
“
公制< br>->
其他
”
按钮，即在等式左
边的文字输入框中得到
“2.2 05”
磅。



3.
其他计量单位之间换算：




例如计算
“
市斤
”
与
“< br>磅
”
的关系。
在等式左边文字输入框输入
“1”
，
在 左边下拉菜单选
“
市斤
”
，点击
“
其他
－
>
公制
”
按钮，再从等式左边下拉菜单中选择磅，点击
“
公制－>
其他
”
按钮，即得到
1
市斤相当于
“1.102”< br>磅。


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4.
公制单位之间换算：




例如 计算
“
公斤
”
与
“
克
”
的关系。在等式右 边文字输入框输入
“1”
，在右边下拉菜单选
“
公斤
”
，左 边下拉
菜单选
“
市斤
”
（或其他有效单位）
，
点击
“
公制－
>
其他
”
按钮，
得到
“2”市斤，再从右边下拉菜单中选择
“
克
”
，
点击
“
其他－
>
公制
”
按钮，即得到
1
公斤相当于
“1 000”
克。




度

量

衡

表


*
英美制到公制换算

*
公制到英制换算


Linear Measure
长度单位
:


1 inch
英寸
=25.4 millimetres
毫米


1 foot
英尺
=12 inches
英寸
=0.3048 metre
米


1 yard
码
=3 feet
英尺
=0.9144 metre
米


1 (statute) mile
英里
=1760 yards
码


=1.609 kilometres
千米


1 nautical mile
海里
=1852 m.
米




Square Measure
面积单位
:


1 square inch
平方英寸
=6.45 etres
平方厘米


1 square foot
平方英尺
=144 .
平方英寸


=9.29 tres
平方分米


1 square yard
平方码
=9 .
平方英尺


=0.836
平方米


1 acre
英亩
=4840 .
平方码
=0.405 hectare
公顷


1 square mile
平方英里
=640 acres
英亩


=259 hectares
公顷




Cubic Measure
体积单位
:

1 cubic inch
立方英寸
=16.4 etres
立方厘米


1 cubic foot
立方英尺
=1728 .
立方英寸


=0.0283
立方米


1 cubic yard
立方码
=27 .
立方英尺


=0.765
立方米




Capacity Measure
容积单位
:


Britich
英制



1 pint
品脱
=20 fluid oz.
液量盎司


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=34.68 .
立方英寸
=0.568 litre
升


1 quart
夸脱
=2 pints
品脱
=1.136 litres
升


1 gallon
加伦
=4 quarts
夸脱
=4.546 litres
升


1 peck
配克
=2 gallons
加伦
=9.092 litres
升


1 bushel
蒲式耳
=4 pecks
配克
=36.4 litres
升


1 quarter
八蒲式耳
=8 bushels
蒲式耳


=2.91 hectolitres
百升



American dry
美制干量



1 pint
品脱
=33.60 .
立方英寸
=0.550 litre
升


1 quart
夸脱
=2 pints
品脱
=1.101 litres
升


1 peck
配克
=8 quarts
夸脱
=8.81 litres
升


1 bushel
蒲式耳
=4 pecks
配克
=35.3 litres
升



American liquid
美制液量



1 pint
品脱
=16 fluid oz.
液量盎司


=28.88 .
立方英寸
=0.473 litre
升


1 quart
夸脱
=2 pints
品脱
=0.946 litre
升


1 gallon
加伦
=4 quarts
夸脱
=3.785 litres
升




Avoirdupois Weight
常衡单位
:


1 grain
格令
=0.065 gram
克


1 dram
打兰
=1.772 grams
克


1 ounce
盎司
=16 drams
打兰
=28.35 grams
克


1 pound
磅
=16 ounces
盎司
=7000 grains
谷


=0.4536 kilogram
千克


1 stone
英石
=14 pounds
磅
=6.35 kilograms
千克


1 quarter
四分之一英担
=2 stones
英石


=12.70 kilograms
千克


1 hundredweight
英担
=4 quarters
四分之一英担


=50.80 kilograms
千克


1 short ton
短吨
(
美吨
)=2000 pounds
磅


=0.907 tonne
公吨


1 (long) ton
长吨
(
英吨
)=20 hundredweight
英担


=1.016 tonnes
公吨

Linear Measure
长度单位
:


1 millimetre
毫米
=0.03937 inch
英寸


1 centimetre
厘米
=10 mm.
毫米
=0.3937 inch
英寸


1 decimetre
分米
=10 cm.
厘米
=3.937 inches
英寸


1 metre
米
=10 dm.
分米
=1.0936 yards
码
=3.2808 feet
英尺


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1 decametre
十米
=10 m.
米
=10.936 yards
码


1 hectometre
百米
=100 m.
米
=109.4 yards
码


1 kilometre
千米
=1000 m.
米
=0.6214 mile
英里


1 mile marin
海里
=1852 m.
米
=1.1500 mile
英里




Square Measure
面积单位
:


1 square centimetre
平方厘米
=0.155
平方英寸


1 square metre
平方米
=1.196
平方码


1 are
公亩
=100 square metres
平方米


=119.6
平方码


1 hectare
公顷
=100 ares
公亩
=2.471 acres
英亩


1 square kilometre
平方公里
=0.386
平方英里




Cubic Measure
体积单位
:


1 cubic centimetre
立方厘米
=0.061
立方英寸


1 cubic metre
立方米
=1.308
立方码


Capacity Measure
容积


1 millilitre
毫升
=0.002 pint (British)
英制品脱


1 centilitre
厘升
=10 ml.
毫升
=0.018 pint
品脱


1 decilitre
分升
=10 cl.
厘升
=0.176 pint
品脱


1 litre
升
=10 dl.
分升
=1.76 pints
品脱


1 decalitre
十升
=10 l.
升
=2.20 gallons
加伦


1 hectolitre
百升
=100 l.
升
=2.75 bushels
蒲式耳


1 kilolitre
千升
=1000 l.
升
=3.44 quarters
八蒲式耳




Weight
重量单位
:


1 milligram
毫克
=0.015 grain
谷


1 centigram
厘克
=10 mg.
毫克
=0.154 grain
谷


1 decigram
分克
=10 cg.
厘克
=1.543 grains
谷


1 gram
克
=10 dg.
分克
=15.43 grains
谷


1 decagram
十克
=10 g.
克
=5.64 drams
打兰


1 hectogram
百克
=100 g.
克
=3.527 ounces
盎司


1 kilogram
千克
=1000 g.
克
=2.205 pounds
磅


1 ton (metric ton)
吨
,
公吨
=1000 kg.
千克


=0.984 (long) ton
长吨
,
英吨
=1.1023
短吨
,
美吨


初中高中数学公式

1
过两点有且只有一条直线


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2
两点之间线段最短


3
同角或等角的补角相等


4
同角或等角的余角相等


5
过一点有且只有一条直线和已知直线垂直


6
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短


7
平行公理

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行


8
如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行


9
同位角相等，两直线平行


10
内错角相等，两直线平行


11
同旁内角互补，两直线平行


12
两直线平行，同位角相等


13
两直线平行，内错角相等


14
两直线平行，同旁内角互补


15
定理

三角形两边的和大于第三边


16
推论

三角形两边的差小于第三边


17
三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于
180°


18
推论
1
直角三角形的两个锐角互余


19
推论
2
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和


20
推论
3
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角


21
全等三角形的对应边、对应角相等


22
边角边公理
(SAS)
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等


23
角边角公理
( ASA)
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等


24
推论
(AAS)
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等


25
边边边公理
(SSS)
有三边对应相等的两个三角形全等


26
斜边、
直角边公理
(HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等


27
定理
1
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等


28
定理
2
到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上


29
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合


30
等腰三角形的性质定理

等腰三角形的两个底角相等

(
即等边对等角）


31
推论
1
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边


32
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合


33
推论
3
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于
60°


34
等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对
的边也相等（等角对等边）


35
推论
1
三个角都相等的三角形是等边三角形


36
推论

2
有一个角等于
60°
的等腰三角形是等边三角形


37
在直角三角形中，如果一个锐角等于
30°
那么它所对的直角边等于斜边的一
半


38
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半


39
定理

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等


40
逆定理

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上


41
线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合


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42
定理
1
关于某条直线对称的两个图形是全等形


43
定理

2
如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平
分线


44
定理
3
两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么
交点在对称轴上


45
逆定理

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，
那么这两个图形
关于这条直线对称


46
勾股定理

直角三角形两直角边
a
、
b
的平方和、等于斜边
c
的平方，即
a^2+b^2=c^2

47
勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长
a
、
b
、
c
有关系
a^2+b^2=c^2
，那
么这个三角形是直角三角形


48
定理

四边形的内角和等于
360°


49
四边形的外角和等于
360°


50
多边形内角和定理

n
边形的内角的和等于（
n-2
）
×
180°


51
推论

任意多边的外角和等于
360°


52
平行四边形性质定理
1
平行四边形的对角相等


53
平行四边形性质定理
2
平行四边形的对边相等


54
推论

夹在两条平行线间的平行线段相等


55
平行四边形性质定理
3
平行四边形的对角线互相平分


56
平行四边形判定定理
1
两组对角分别相等的四边形是平行四边形


57
平行四边形判定定理
2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形


58
平行四边形判定定理
3
对角线互相平分的四边形是平行四边形


59
平行四边形判定定理
4
一组对边平行相等的四边形是平行四边形


60
矩形性质定理
1
矩形的四个角都是直角


61
矩形性质定理
2
矩形的对角线相等


62
矩形判定定理
1
有三个角是直角的四边形是矩形


63
矩形判定定理
2
对角线相等的平行四边形是矩形


64
菱形性质定理
1
菱形的四条边都相等


65
菱形性质定理
2
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角


66
菱 形面积
=
对角线乘积的一半，即
S=
（
a×
b
）< br>÷
2

67
菱形判定定理
1
四边都相等的四边形是菱形


68
菱形判定定理
2
对角线互相垂直的平行四边形是菱形


69
正方形性质定理
1
正方形的四个角都是直角，四条边都相等


70
正方形性质定理
2
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平 分，每条对角
线平分一组对角


71
定理
1
关于中心对称的两个图形是全等的


72
定理
2
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称
中心平分


73
逆定理

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一


点平分，那么这两个图形关于这一点对称


74
等腰梯形性质定理

等腰梯形在同一底上的两个角相等


75
等腰梯形的两条对角线相等


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76
等腰梯形判定定理

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形


77
对角线相等的梯形是等腰梯形


78
平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段


相等，那么在其他直线上截得的线段也相等


79
推论
1
经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰


80
推论
2
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第


三边


81
三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它


的一半


82
梯形中位线定理

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的


一半

L=
（
a+b
）
÷
2 S=L×
h

83 (1)
比例的基本性质

如果
a:b=c:d,
那么
ad=bc

如果
ad=bc,
那么
a:b=c:d

84 (2)
合比性质

如果
a
／
b=c
／
d,
那么
(a±
b)
／
b=(c±
d)
／
d

85 (3)
等比性质

如果
a
／
b= c
／
d=…=m
／
n(b+d+…+n≠0),
那么


(a+c+…+m)
／
(b+d+…+n)=a
／
b

86
平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应


线段成比例


87
推论

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对
应线段成比例


88
定理

如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所 得的对应线段成
比例，那么这条直线平行于三角形的第三边


89
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边
与原三角形三边对应成比例


90
定理

平行于三角形一边的直线和其他两边（或 两边的延长线）相交，所构
成的三角形与原三角形相似


91
相似三角形判定定理
1
两角对应相等，两三角形相似（
ASA
）


92
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似


93
判定定理
2
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（
SAS
）


94
判定定理
3
三边对应成比例，两三角形相似（
SSS
）


95
定理

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三


角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似


96
性质定理
1
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平


分线的比都等于相似比


97
性质定理
2
相似三角形周长的比等于相似比


98
性质定理
3
相似三角形面积的比等于相似比的平方


99
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等


于它的余角的正弦值


100
任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等


于它的余角的正切值


101
圆是定点的距离等于定长的点的集合


102
圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合


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103
圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合


104
同圆或等圆的半径相等


105
到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半


径的圆


106
和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直


平分线


107
到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线


108
到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距


离相等的一条直线


109
定理

不在同一直线上的三点确定一个圆。


110
垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧


111
推论
1
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧


②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧


③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧


112
推论
2
圆的两条平行弦所夹的弧相等


113
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形


114
定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦


相等，所对的弦的弦心距相等


115
推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两


弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等


116
定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半


117
推论
1
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对
的弧也相等


118
推论
2
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°
的圆周角所


对的弦是直径


119
推论
3
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角
三角形


120
定理

圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它


的内对角


121
①直线
L
和⊙
O
相交

d
＜
r

②直线
L
和⊙
O
相切

d=r

③直线
L
和⊙
O
相离

d
＞
r

122
切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线


123
切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径


124
推论
1
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点


125
推论
2
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心


126
切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，


圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角


127
圆的外切四边形的两组对边的和相等


128
弦切角定理

弦切角等于它所夹的弧对的圆周角


129
推论

如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等


130
相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积


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相等


131
推论

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的


两条线段的比例中项


132
切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割


线与圆交点的两条线段长的比例中项


133
推论

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线
段长的积相等


134
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上


135
①两圆外离

d
＞
R+r
②两圆外切

d=R+r

③两圆相交

R-r
＜
d
＜
R+r(R
＞
r)

④两圆内切

d=R-r(R
＞
r)
⑤两圆内含
d
＜
R-r(R
＞
r)

136
定理

相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦


137
定理

把圆分成
n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正
n
边形


⑵经过各分点作圆的切线，
以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正
n
边 形


138
定理

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆


139< br>正
n
边形的每个内角都等于（
n-2
）
×
180°< br>／
n

140
定理

正
n
边形的 半径和边心距把正
n
边形分成
2n
个全等的直角三角形


141
正
n
边形的面积
Sn=pnrn
／
2 p
表示正
n
边形的周长


142
正三角形面积
√3a
／
4 a
表示边长


143
如果在一个顶点周围有
k
个正
n
边形的角 ，由于这些角的和应为


360°
，因此
k×
(n-2) 180°
／
n=360°
化为（
n-2
）
(k-2)=4

144
弧长计算公式：
L=n
兀
R
／
180

145
扇形面积公式：
S
扇形
=n
兀
R ^2
／
360=LR
／
2

146
内公切线长
= d-(R-r)
外公切线长
= d-(R+r)

（还有一些，大家帮补充吧）



实用工具
:
常用数学公式




公式分类

公式表达式



乘法与因式分

a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)


三角不等式

|a+b|≤|a|+|b| |a
-
b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>
-
b≤a≤b


|a-
b|≥|a|
-|b| -
|a|≤a≤|a|


一元二次方程的解

-
b+√(b2
-4ac)/2a -b-
√(b2
-4ac)/2a


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根与系数的关系

X1+X2=-b/a X1*X2=c/a
注：韦达定理



判别式


b2-4ac=0
注：方程有两个相等的实根


b2-4ac>0
注：方程有两个不等的实根


b2-4ac<0
注：方程没有实根，有共轭复数根



三角函数公式



两角和公式


sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB- sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)


倍角公式


tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a


半角公式


sin(A/2)=√((1
-cosA)/2) sin(A/2)=-
√((1
-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2
) cos(A/2)=-
√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1
-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-
√((1
-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1
-cosA)) ctg(A/2)=-
√((1+cosA)/((1
-cosA))


和差化积


2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA- tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB


某些数列前
n
项和


1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n
-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3


正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
注：

其中

R
表示三角形的外接圆半径



余弦定理

b2=a2+c2-2accosB
注：角
B
是边
a
和边
c
的夹角


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圆的标准方程

(x-a)2+(y-b)2=r2
注：（
a,b
）是圆心坐标


圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0
注：
D2+E2-4F>0

抛物线标准方程

y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py


直棱柱侧面积

S=c*h
斜棱柱侧面积

S=c'*h

正棱锥侧面积

S=1/2c*h'
正棱台侧面积

S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积

S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l
球的表面积

S=4pi*r2

圆柱侧面积

S=c*h=2pi*h
圆锥侧面积

S=1/2*c*l=pi*r*l


弧长公式

l=a*r a
是圆心角的弧度数
r >0
扇形面积公式

s=1/2*l*r


锥体体积公式

V=1/3*S*H
圆锥体体积公式

V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积

V=S'L
注：其中
,S'
是直截面面积，

L
是侧棱长


柱体体积公式

V=s*h
圆柱体

V=pi*r2h

高等数学公式

导数公式：

(
tgx
)


sec
x
(
ctgx< br>)



csc
x
(sec
x
)< br>

sec
x

tgx
tgxdx

ln
cos
x

C

(csc
x
)



csc
x

ctgx
ln
sin
x

C

ctgxdx
(
a
x
)


a
x
ln
a
xdx< br>
ln
sec
1
x

tgx

C< br>
sec
(log
a
x
)


x< br>csc
ln
a
csc
xdx

ln
x

ctgx

C

dx
1
x

arctg

C

a
2

x
2
a
a
dx
1
x

a

ln

x
2

a
2
2
a
x

a

C
dx
1
a

x


a2

x
2
2
a
ln
a

x< br>
C
dx
x

arcsin

C

a
2

x
2
a

2
n
2
2
(arcsin
x
)


1
1

x
2
1
(arccos
x
)



2
dx
2
1

x

cos
2
x


1
sec
xdx

tgx

C
(
arctgx
)


2
dx
2
1

x
xdx


ctgx

C

sin
2
x


csc
1
(
arcctgx
)



2
sec
x< br>
tgx
dx

sec
x

C
1< br>
x


csc
x

ctgxdx


csc
x

C
a
x

adx

ln
a

C
x

shxdx< br>
chx

C

chxdx

shx

C

dx
x
2

a
2
ln(
x

x
2

a
2
)

C

2
I
n


sin
xdx< br>

cos
n
xdx

0
0
n
1
I
n

2
n

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

x
2
a
2< br>2
x

a
dx

x

a

ln(
x

x
2

a
2
)

C
2
2
x
2
a
2
2
2
2
x

a
dx

x

a
ln
x

x
2

a
2

C< br>2
2
x
2
a
2
x
2
2
2< br>a

x
dx

a

x

a rcsin

C
2
2
a
2
2

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

2
u
1

u
2
x
2
du
sin
x
，　
cos
x

，　
u

tg
，　< br>dx


2
1

u
2
1

u
2
1

u
2
一些初等函数：

两个重要极限：

e
x

e

x
双曲正弦
:
shx

2
e
x

e

x
双曲余弦
:
chx

2
shx
ex

e

x
双曲正切
:
thx

chx
e
x

e

x
arshx< br>
ln(
x

x
2

1
）
archx


ln(
x

x
2

1
)
1
1

x
arthx

ln
2
1

x

三角函数公式：

·诱导公式：




函数

角
A
-
α

90°
-
α

90°
+
α

180°
-
α

180°
+
α

270°
-
α

270°
+
α

360°
-
α

360°
+
α

sin
lim
sin
x

1
x

0
x
1
lim
(
1

)
x

e

2
.
7182 818284
59045
...
x


x
cos
tg
-
tgα

ctgα

ctg
-
ctgα

tgα

-
ctgα

ctgα

tgα

-
ctgα

ctgα

-
sinα

cosα

cosα

cosα

sinα

sinα

-
sinα

-
ctgα

-
tgα

-
cosα

-
tgα

-
sinα

-
cosα

tgα

-
cosα

-
sinα

ctgα

-
cosα

sinα

-
sinα

cosα

sinα

cosα

-
tgα

tgα

-
ctgα

-
tgα


·和差角公式：

·和差化积公式：

sin(



)

sin

cos


cos

sin
cos(



)

cos
cos


sin

sin

tg
(



)

tg


tg

1

tg


tg

ctg


ctg


1
ctg
(



)

ctg


ctg

si n


sin


2
sin



2
2






s in


sin


2
cos
sin2
2






cos


cos


2
cos
cos
2
2






cos

cos


2
sin
sin
2
2
co s



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·倍角公式：

sin
2


2
sin

cos

cos
2

2
cos
2


1

1

2
sin
2


cos
2


si n
2

ctg
2


1
ctg
2


2
ctg

2
tg

tg< br>2


1

tg
2


·半角公式：

sin
3


3
sin< br>

4
sin
3

cos
3

4
cos
3


3
cos

3
tg


tg
3

tg
3


1

3
tg
2

sin
tg< br>

2




1

co s


1

cos

　　　　　　　　　　
　　
cos


2
2
2
1

c os

1

cos

sin


1

cos

1

cos

sin



　　
ctg




1

cos

sin

1

cos

2
1

cos

sin

1

cos

a
b
c



2
R





·余弦定理：
c
2

a
2

b
2

2
ab
cos
C


sin
A
sin
B
sin
C

2
·正弦定理：

·反三角函数性质：
arcsin< br>x


2

arccos
x
　　　
arctgx


2

arcctgx


高阶导数公式——莱布尼兹（
Leibniz
）公式：

(
uv
)
(
n
)
k
(
n

k
)
(
k
)


C
n
u
v
k

0
n

u
(
n
)
v

nu
(
n

1
)
v

n
(
n

1
)
(
n

2)
n
(
n

1
)

(
n
k

1
)
(
n

k
)(
k
)
u
v




u
v



uv
(
n
)
2< br>!
k
!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理 ：
f
(
b
)

f
(
a
)

f

(

)(
b

a
)
f
(
b
)

f
(
a
)
f

(

)
柯西中值定理：

F
(
b)

F
(
a
)
F

(
)
曲率：


当
F
(
x
)

x
时，柯西中值定理就是
拉格朗日中值定理。
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弧微分公式：
ds

1
y

2
dx
,
其中
y


t g

平均曲率：
K



.


:
从
M
点到
M

点，切线斜率的倾角变
化 量；

s
：
M
M

弧长。

s< br>y




d

M
点的曲率：K

lim


.

2
3

s

0

s
ds
(
1

y

)
直线：
K

0
;
1
半径为
a
的圆：
K

.
a
定积分的近似计算：

b
矩形法：

f
(
x
)

ab
b

a
(
y
0

y
1


y
n

1
)
n
b
a
1
[
(
y
0

y
n)

y
1



y
n
1
]
n
2
b

a
[(
y
0< br>
y
n
)

2
(
y
2
< br>y
4



y
n

2
)< br>
4
(
y
1

y
3

< br>
y
n

1
)]
3
n

梯 形法：

f
(
x
)

a
b
抛物线 法：

f
(
x
)

a
定积分应用相关公式 ：

功：
W

F

s
水压力：
F

p

A
m
m
引力：
F

k
1
2
2
,
k
为引力系数

r
b
1
函数的平均值：
y

f
(
x
)
dx

b

a
a
1
2
均方根：
f
(
t
)
dt

b

a
a
空间解析几何和向量代数：

b
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空间
2
点的距离：
d

M
1
M
2

(
x
2

x
1
)
2

(
y
2

y
1
)
2

(
z
2

z
1
)
2
向量在轴上的投影：
Pr
j
u
AB

AB
cos

,

是
AB
与
u
轴的夹角。




Pr
j
u
(
a
1

a
2
)

Pr
j
a
1

Pr
j
a
2



a

b

a

b
cos


a
x
b
x

a
y
b
y

a
z
b
z
,
是一个数量
,
两向量之间的夹 角：
cos


i



c
< br>a

b

a
x
b
x
j
a< br>y
b
y
a
x
b
x

a
y< br>b
y

a
z
b
z
a
x
< br>a
y

a
z

b
x

b< br>y

b
z
2
2
2
2
2
2< br>k






a
z
,< br>c

a

b
sin

.
例：线速度 ：
v

w

r
.
b
z
a
y
b
y
c
y
a
z



b
z

a

b

c
cos
,

为锐角时，

c
z
a
x






向量的混合积：
[
a
bc
]

(
a

b
)

c
b
x
c
x
代表平行六面体的体积
。
平面的方 程：

1
、点法式：
A
(
x

x
0
)

B
(
y

y
0
)

C
(
z

z
0
)

0
，其中
n

{
A
,
B
,
C
},< br>M
0
(
x
0
,
y
0
,
z< br>0
)
2
、一般方程：
Ax

By

Cz

D

0
x
y
z
3
、截距世 方程：



1
a
b
c
平面外任意一点到 该平
面的距离：
d

Ax
0

By
0
Cz
0

D
A
2

B
2< br>
C
2

x

x
0

m< br>t
x

x
0
y

y
0
z< br>
z
0


空间直线的方程：



t
,
其中
s

{
m
,
n
,
p
};
参数方程：

y

y
0

nt
m
n
p

z

z
pt
0

二次曲面：
x
2
y
2
z2
1
、椭球面：
2

2

2

1
a
b
c
x
2
y
2
2
、抛物面 ：


z
（
,
p
,
q
同号）2
p
2
q
3
、双曲面：
x
2
y
2
z
2
单叶双曲面：
2

2

2

1
a
b
c
x
2
y
2
z
2
双叶双曲面：
2

2

2

（马鞍面 ）
1
a
b
c

多元函数微分法及应用

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全微分：< br>dz


z

z

u

u

u
dx

dy
　　　
du

d x

dy

dz

x

y
x

y

z
全微分的近似计算：

z

dz

f
x
(
x
,
y
)

x

f
y
(
x
,
y
)

y
多元复合函数的求导法
：
dz

z

u

z

v
z

f
[
u
(
t
),
v
(
t
)]
　　　




　
dt

u

t

v

t

z

z

u

z

v
z

f
[
u
(
x
,
y
),
v
(
x
,
y
)]
　　 　

　




x

u

x

v

x
当
u

u
(
x
,
y
)
，
v

v
(
x
,
y
)
时，
du


u
u

v

v
dx

dy
　　　
dv

dx

dy
　

x

y

x

y
隐函数的求导公式：
F
x
FF
dy
dy
d
2
y


隐函数
F
(
x
,
y
)

0
，　　
< br>
，　　
2

(

x
)
＋
(

x
)

dx
F
y

x
F
y

y
F
y
dx
dx
F
y< br>F

z

z
隐函数
F
(
x
,
y
,
z
)

0
，　


x
，　　



x
F
z

y< br>F
z


F

F
(
x
,< br>y
,
u
,
v
)

0

(< br>F
,
G
)

u
隐函数方程组：
　　　
J




G

(
u
,
v
)

G
(
x
,
y
,
u
,
v
)

0

u

u
1

(
F
,
G
)

v
1

(
F
,
G
)



　　　　




x
J

(
x
,
v
)

x
J

(
u
,
x
)

u
1

(
F
,
G
)

v
1

(
F
,
G
)



　　　　




y
J
(
y
,
v
)

y
J

(u
,
y
)
微分法在几何上的应用：


F
v

F
u

G
G
u
v
F
v
G
v


x

(
t
)
x

x
y

y
0z

z
0

空间曲线

y


(
t
)
在点
M
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
处的切线方程：
0




(
t
)

(
t)


(
t
0
)
0
0
z


(
t
)

在点
M
处的 法平面方程：


(
t
0
)(
x

x
0
)



(
t
0
)(y

y
0
)



(
t0
)(
z

z
0
)

0
< br>
F
y
F
z
F
z
F
x
F< br>x

F
(
x
,
y
,
z
)< br>
0
若空间曲线方程为：
,
则切向量
T

{
,
,

G
G
G
x
G
x

y
z
G
z

G
(
x
,
y
,
z
)

0
曲面
F
(
x
,
y
,
z
)

0
上一点
M
(x
0
,
y
0
,
z
0
)
，则：

1
、过此点的法向量：
n

{
F
x(
x
0
,
y
0
,
z
0
),< br>F
y
(
x
0
,
y
0
,
z< br>0
),
F
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)}
x

x
0
y

y
0
z

z
0
3
、过此点的法线方程：


F
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
F
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
F
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
方向导数与梯 度：

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可编辑

F
y}
G
y
2
、过此点的切平面方程
：
F
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)(x

x
0
)

F
y
(
x0
,
y
0
,
z
0
)(
y
< br>y
0
)

F
z
(
x
0
,< br>y
0
,
z
0
)(
z

z
0
)

0


f

f

f
函数
z

f
(
x
,
y
)
在一点
p
(
x
,
y
)
沿任一方向
l
的方向导数为：

cos


sin


l

x

y
其中

为
x
轴到方 向
l
的转角。

f


f

i< br>
j

x

y



f< br>

它与方向导数的关系是
：

grad
f
(
x
,
y
)

e
，其中
e
cos


i

sin


j
，为
l
方向上的

l
单位向量。

f

是
grad
f
(
x
,
y
)
在l
上的投影。

l
函数
z

f
(x
,
y
)
在一点
p
(
x
,
y
)
的梯度：
grad
f
(
x
,
y
)


多元函数的极值及其求法：

设
f
x
(
x
0
,
y
0
)

f
y
(
x
0
,
y
0
)

0
，令：< br>f
xx
(
x
0
,
y
0
)

A
,
　
f
xy
(
x
0
,
y
0
)

B
,
　
f
yy
(
x
0
,
y
0
)

C


A

0
,
(
x
0
,
y
0
)
为极大值
2
AC

B

0
时，



A

0
,
(
x
0
,
y
0
)
为极小值


2
则：
值

AC

B

0
时，　　　　　　无极

AC

B
2

0
时
,
　　　　 　　　不确定



重积分及其应用：


< br>f
(
x
,
y
)
dxdy

f
(
r
cos

,
r
sin

)
rdrd

D
D

曲面
z

f
(
x
,
y
)
的面积
A

< br>D


z



z

1< br>






y

< br>dxdy

x




2
2
平面薄片的重心：
x

M
x

M

x

(
x
,
y
)
d

D
 

(
x
,
y
)
d

D
D
,
　　
y

M
y
M

y

(
x
,
y
)
d

D

(
x
,
y
)
d

D< br>D
平面薄片的转动惯量：
对于
x
轴
I
x
< br>
y
2

(
x
,
y
)
d

,
　　对于
y
轴
I
y

< br>x
2

(
x
,
y
)
d
< br>平面薄片（位于
xoy
平面）对
z
轴上质点
M
(0
,
0
,
a
),
(
a

0< br>)
的引力：
F

{
F
x
,
F
y
,
F
z
}
，其中：
F
x

f

D

(
x
,
y
)
xd

(
x

y

a
)
2
2
2
2
，　　
F
y

f

3
D

(
x
,
y
)
yd

(
x

y

a
)
2
2
2
2
，　　
F
z


fa

3
D

(
x
,
y
)
xd

(
x

y

a
)
2
2
3
2
2

柱面坐标和球面坐标：

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可编辑



x

r
cos


柱面坐标 ：
f
(
x
,
y
,
z
)
dxdyd z


F
(
r
,

,
z)
rdrd

dz
,

y

r
sin

,
　　　




z
z

其中：
F
(
r
,

,
z
)

f
(
r
cos

,
r
sin

,
z
)

x

r< br>sin

cos


2
球面坐标：

y

r
sin

sin

，　　
dv< br>
rd


r
sin


d


dr

r
sin

drd

d


z

r
cos


2< br>

r
(

,

)

f
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz


F
(
r
,

,

)r


2
sin

drd

d



d


d

0
0

F
(
r
,

,

)
r
0
2
sin

dr
重心：
x

1
M

x

dv
,
　　
y



1
M

y

dv
,
　　
z



1
M

z

dv
，　　其中
M

x



dv



转动惯量：
I
x


(
y
2

z
2
)

dv
，　　< br>I
y


(
x
2

z
2
)

dv
，　　
I
z


(
x
2

y
2
)

dv

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧
长的曲线积分）：

x


(
t
)
设
f
(
x
,
y
)
在
L
上连续，
L
的参数方程为：
,< br>　　
(


t


),
则：

y


(
t
)


L

x

t
f
(
x
,
y
)
ds


f
[

(
t
),
< br>(
t
)]


2
(
t
)



2
(
t
)
dt
　　
(



)
　　特殊情况：


y

(
t
)


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第二类曲线积分（对坐
标的曲线积分）：
x


(
t
)
设
L
的参数方程为，则：

y


(
t
)



P
(
x
,
y
)
dx

Q
(
x
,
y
)
dy



{
P
[

(
t
),

(
t)]


(
t
)

Q
[
< br>(
t
),

(
t
)]


(
t
)}
dt
L
两类曲线积分之间的关
系：
Pdx

Qdy


(
P
cos
< br>
Q
cos

)
ds
，其中

和< br>
分别为
L
L
L
上积分起止点处切向量
的方向角。< br>
Q

P

Q

P
格林公式：(

)
dxdy

Pdx

Qdy
格 林公式：
(

)
dxdy


Pdx
< br>Qdy




x

y
x

y
D
L
D
L

Q
P
1
当
P


y
,
Q
x
，即：


2
时，得到
D
的面积：
A


dxdy


xdy

ydx< br>
x

y
2
L
D
·
平面上曲线积分 与路径
无关的条件：
1
、
G
是一个单连通区域；
2
、
P
(
x
,
y
)
，
Q
(
x
,
y
)
在
G
内具有一阶连续偏导数
，且
减去对此奇点的积分，
注意方向相反！
·
二元函数的全微分求积
：

Q

P
在
＝
时，
Pdx

Qdy
才是二元函数
u
(
x
,
y
)
的全微分，其 中：

x

y
(
x
,
y
)

Q

P
＝
。注意奇点，如
(
0
,0
)
，应

x

y
u
(
x< br>,
y
)

(
x
0
,
y
0< br>)

P
(
x
,
y
)
dx

Q
(
x
,
y
)
dy
，通常设
x< br>0

y
0

0
。

曲面积分：

2
2
对面积的曲面积分：
f
(
x
,
y
,
z
)
ds

f
[x
,
y
,
z
(
x
,
y
)]< br>1

z
(
x
,
y
)

z< br>(
x
,
y
)
dxdy
x
y


D
xy
对坐标的曲面积分：
，其中：

P
(
x
,
y
,
z
)
dydz

Q
(
x
,
y
,
z
)
dzdx
R
(
x
,
y
,
z
)
dxd y

号；

R
(
x
,
y
,z
)
dxdy



R
[
x
,
y
,
z
(
x
,
y
)]
dxd y
，取曲面的上侧时取正

D
xy
号；

P(
x
,
y
,
z
)
dydz



P
[
x
(
y
,
z
),y
,
z
]
dydz
，取曲面的前侧时取正

D
yz
号。

Q
(
x
,
y
,z
)
dzdx



Q
[
x
,
y
(
z
,
x
),
z
]
dzd x
，取曲面的右侧时取正

D
zx
两类曲面积分之间的关
系 ：

Pdydz

Qdzdx

Rdxdy
< br>
(
P
cos


Q
cos
< br>
R
cos

)
ds



高斯公式：

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
(


P

Q

R


)
dv


Pdydz
Qdzdx

Rdxdy


(
P
cos< br>

Q
cos


R
cos
)
ds

x

y

z

< br>高斯公式的物理意义
—
—通量与散度：


P
Q

R

散度：
div




,
即：单位体积内所产生
的流体质量，若
div

< br>0
,
则为消失
...

x

y
< br>z


通量：

A

n
ds

A
n
ds


(
P
cos


Q
cos


R
cos

)
ds
，

因此，高斯公式又可写
成：

div
A
dv


A
n
ds





斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：


(


R

Q

P

R

Q

P

)
dydz
< br>(

)
dzdx

(

)
dxdy


Pdx

Qdy

Rdz

y

z

z

x

x

y

cos



y
Q
cos



z
R

dydz
dzdx
dxdy< br>cos





上式左端又可写成：
< br>


x

y

z

x


P
Q
R
P

R

Q

P

R

Q

P
空间曲线积 分与路径无
关的条件：

，　

，　


y

z

z

x

x

y
i
j
k




旋度：
rot
A


x

y

z
P
Q
R



向量场
A
沿有向闭曲线

的环流量：
Pdx

Qdy

Rdz

A



t
ds


常数项级数：
1

q
n
等比数列：
1

q

q



q

1

q
(
n

1
)
n
等差数列：
1

2

3



n


2
1
1
1
调和级数：
1





是 发散的
2
3
n
2
n

1
级数审敛法：
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1
、正 项级数的审敛法
—
—根植审敛法（柯西判
别法）：


< br>1
时，级数收敛

设：


lim
n
u
n
，则



1
时，级数发散
n




1
时，不确定

2
、比值审敛法：



1
时，级数收敛
U
设：


lim
n

1
，则



1
时，级数发散
n


U
n



1
时，不确定

3
、定义法：
s
n

u
1

u
2



u
n
;
lim
s
n
存在，则收敛；否则发
散。
n



交错级数
u
1

u
2

u
3

u
4


(
或

u
1

u
2

u
3


,
u
n

0
)
的审敛法—
—莱布尼兹定理：


u
n

u
n

1
如果交错级数满足
s

u
1
,
其余项
r
n
的绝对值
r
n

u
n

1
。

lim
u

0
，那么级数收敛 且其和


n


n

绝对收敛与条件收敛：

(
1
)
u
1
< br>u
2



u
n


，其 中
u
n
为任意实数；
(
2
)
u
1

u
2

u
3



u
n


如果
(
2
)
收敛，则
(
1
)
肯定收敛，且称为绝对
收敛级数；
如果
(
2
)< br>发散，而
(
1
)
收敛，则称
(
1
)
为条件收敛级数。

1
(

1
)
n
调和级 数：

n
发散，而

n
收敛；
1
　　级数 ：

n
2
收敛；
ｐ

１时发散
1
　　
p
级数：

n
p
　　
p

1
时收敛
幂级数：

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1
x

1
时，收敛于
1

x< br>1

x

x
2

x
3
< br>

x
n


　　
x

1
时，发散
对于级数
(
3
)
a
0

a
1
x
　

a
2
x
2



a
n
x
n


，如果它不是仅在原点
收敛，也不是在全
x

R
时收敛
数轴上都收敛，则必存在
R
，使
x

R
时发散
，其中
R称为收敛半径。
x

R
时不定
1


0
时，
R

求收敛半径的方法：设
lim
a
n
1


，其中
a
n
，
a
n

1
是
(
3
)
的系数，则

< br>0
时，
R


n


a
n



时，
R

0


函数展开成幂级数：

f


(
x
0)
f
(
n
)
(
x
0
)
2函数展开成泰勒级数：
f
(
x
)

f
(
x
0
)(
x

x
0
)

(x

x
0
)



(
x
x
0
)
n


2
!
n!
f
(
n

1
)
(

)余项：
R
n

(
x

x
0
)
n

1
,
f
(
x
)
可以展开成泰 勒级数的
充要条件是：
lim
R
n

0
n


(
n

1
)!
f


(
0
)
2
f
(
n
)
(
0
)
n
x
0

0
时即为麦克劳林公式：
f
(
x
)

f
(
0
)

f

(
0
)
x

x



x


2
!
n
!

一些函数展开成幂级数：

m
(
m

1
)
2
m
(
m

1
)

(
m

n

1
)
n
x



x


　　　
(

1

x

1
)
2
!
n
!

3
5
2
n

1
x
x
x
sin
x
< br>x





(

1
)< br>n

1


　　　
(


x


)
3
!
5
!
(
2n

1
)!
(
1

x
)
m< br>
1

mx

欧拉公式：


e< br>ix

e

ix
cos
x


2
ix

e

cos
x

i
sin
x
　　　或

ix

ix
sin
x

e

e

2

三 角级数：

a
0

f
(
t
)
< br>A
0


A
n
sin(
n

t


n
)



(
a
n
cos
nx

b
n
sin
nx
)2
n

1
n

1
其中，
a
0

aA
0
，
a
n

A
n
sin

n
，
b
n

A
n
cos

n
，

t

x
。
正交性：1
,
sin
x
,
cos
x
,
sin< br>2
x
,
cos
2
x

sin
nx< br>,
cos
nx

任意两个不同项的乘积
在
[


,

]
上的积分＝
0
。
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可编辑




傅立叶级数：

a
0

f
(
x
)



(
a
n
cos
nx

b
n
sin
nx
)
，周期

2

2
n
1


1
(
n

0
,
1,
2

)

a
n


f(
x
)
cos
nxdx
　　　




其中



b

1
f
(
x
)
sin
nxdx
　　　
(
n
1
,
2
,
3

)

n




1
1

2
1
2

2



8
3
5
　1
1
1

2




24
2
2
4
2
6
2
正弦级数：
an

0
，
b
n

余弦级数：
b
n

0
，
a
n

1
1
1

2
1

2

2

2



（相加）
6
2
3
4
1
1
1

2
1

2

2

2



（相减）
12
2
3
4
f
(< br>x
)
sin
n
xdx
　　
n

1< br>,
2
,
3

　
f
(
x
)< br>

b


0
2

n
si n
nx
是奇函数
2



0
f
(
x
)
cos
nxdx
　　
n

0
,
1
,
2

　
f
(
x
)

a
0


a
n
cos
nx
是偶 函数
2

周期为
2
l
的周期函数的傅立叶级数：

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可编辑


a
0

n

x
n

x
f
(
x
)



(
a
n
cos

bn
sin
)
，周期

2
l
2
n

1
l
l
l

1
n

x
dx
　　　
(
n

0
,
1
,
2

)

a
n


f
(
x
)
cos
l

l
l

其中
l

b

1
f
(
x
)
sin
n

x
dx
　　　
(
n

1,
2
,
3

)

n
l
l

l


微分方程的相关概念：

一阶微分 方程：
y


f
(
x
,
y
)　或　
P
(
x
,
y
)
dx

Q
(
x
,
y
)
dy

0
可分离变 量的微分方程
：一阶微分方程可以化
为
g
(
y
)
d y

f
(
x
)
dx
的形式，解法：
g
(
y
)
dy


f
(
x< br>)
dx
　　得：
G
(
y
)

F(
x
)

C
称为隐式通解。
dy
y

f
(
x
,
y
)


(
x
,
y
)
，即写成
的函数，解法：
dx
x
y
dy
du
du
dx
du
y
设
u

，则

u

x
，
u



(
u
)
，


分离变量，积分后将
代替
u
，
x
dx
dx
dx
x

(u
)

u
x
齐次方程：一阶微分方
程可以写成
即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

dy
1
、一阶 线性微分方程：

P
(
x
)
y

Q
(
x
)
dx

P
(
x
)
dx< br>当
Q
(
x
)

0
时
,
为齐 次方程，
y

Ce

P
(
x
)
d x

P
(
x
)
dx
当
Q
(
x
)

0
时，为非齐次方程，
y

(

Q
(
x
)
e

dx

C
)
e


dy
2
、贝努力方程：

P(
x
)
y

Q
(
x
)
yn
，
(
n

0
,
1
)
dx< br>全微分方程：

如果
P
(
x
,
y
)
dx

Q
(
x
,
y
)
dy

0
中左端是某函数的全微
分方程，即：

u

u
du
(
x
,
y
)

P
(
x
,
y
)
dx

Q
(
x
,y
)
dy

0
，其中：

P
(
x
,
y
)
，

Q
(
x
,
y
)


x

y

u
(
x
,
y
)

C
应该是该全微分方程的
通解。二阶微分方程：

f
(
x
)

0
时为 齐次
d
2
y
dy


P
(
x)

Q
(
x
)
y

f
(x
)
，
2
dx
dx
f
(
x
)

0
时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

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可编辑

西部计划-部分与部份

西部计划-部分与部份

西部计划-部分与部份

西部计划-部分与部份

西部计划-部分与部份

西部计划-部分与部份

西部计划-部分与部份

西部计划-部分与部份