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2021年1月19日发(作者：苗夔)
小学奥数知识总结手册

和差倍问题


已知条件

公式适用范围

和倍问题

差倍问题

几个数的和与倍数

几个数的差与倍数

已知
两个数
的和，差，倍数关系

①
(
和－差
)
÷
2
=
较小数

较小数＋差
=
较大数

和÷
(
倍数＋
1
)=
小数

差÷
(
倍数
-
1
)=
小数

和－较小数
=
较大数

小数×倍数
=
大数

小数×倍数
=
大数

②
(
和＋差
)
÷
2
=
较大数

和－小数
=
大数

小数＋差
=
大数

较大数－差
=
较小数

和－较大数
=
较小数

求出同一条件下的

和与差

和与倍数

差与倍数

和差问题

几个数的和与差

公式

关键问题


年龄问题的三个基本特征：

①两个人的年龄差是不变的；

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

③两个人的年龄的倍数是发生变化的；

归一问题的基本特点：

问 题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”
，题目一般用“照这样的速度”……等词语来
表示 。

关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；

植树问题

在直线或者不封
在
直
线
或
者
不
封
在直线或者不封闭
闭
的
曲
线
上
植
封
闭曲
线
基本类型

闭的曲线上植树，
的曲线上植树，
只有
树，两端都不植
上植树

两端都植树

一端植树

树

棵数
=
段数－
1
棵数
=
段数＋
1
棵数
=
段数

基本公式

棵
距
×
段
数
=
总棵距×段数
=
总长

棵距×段数
=
总长

长

关键问题

确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系


鸡兔同笼问题

基本概念：鸡兔同笼问题又称为
置换问题、假设问 题，
就是
把假设错的那部分置换出来；

基本思路：





①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）
：





②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；

③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式：





①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）





②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

关键问题：找出总量的差与单位量的差。



1
盈亏问题

基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种 标准分组，又产生
一种结果，由于











分组的标准不同，
造成结果的差异，< br>由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．

基本思路：先将两种分配方案进行比较 ，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系
求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的 总量．

基本题型：





①一次有余数，另一次不足；



基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差

②当两次都有余数；











基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差

③当两次都不足；













基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差

基本特点：对象总量和总的组数是不变的
。


牛吃草问题

基本思路：假设每头牛吃草的速度为“
1
”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草 量的差；
再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：确定两个不变的量。

基本公式：
设定
1
头牛< br>1
天吃草量为
1
份。

（
1
）草每天的生长 速度
=
（对应的牛头数×吃的较多天数
-
相应的牛头数×吃的
较少天 数）÷（吃的较多天数
-
吃的较少天数）
；

（
2
）草的原有量
=
（牛头数
-
草每天的生长量）×吃的天数；

（
3
）吃的天数
=
原有草量÷（牛头数一草每天的生长速度）
；< br>
（
4
）牛头数
=
原有草量÷吃的天数
+
草 每天的生长速度。

平均数

基本公式：①平均数
=
总数量÷总份数


总数量
=
平均数×总份数


总份数
=
总数量÷平均数

②平均数
=
基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数

基本算法：

①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算
.
②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者
中间数为 基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出
这些差的平均数；最 后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本
公式②




2
抽屉原理

抽屉原则一：如果把（
n+1
）个物体放在
n
个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有
2
个物体。

例：把
4
个物体放在
3
个抽屉里，也就是把
4< br>分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：

①
4=4+0+0


②
4=3+1+0


③
4=2+2+0


④
4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一 个共同特点：总有那么一个抽屉里有
2
个或多于
2
个物体，也就是说必有一个 抽屉中至少放有
2
个物体。

抽屉原则二：如果把
n
个物体 放在
m
个抽屉里，其中
n>m
，那么必有一个抽屉至少有
:
①
k=[n/m ]+1
个物体：当
n
不能被
m
整除时。

②
k=n/m
个物体：当
n
能被
m
整除时。

理解知识点：
[X]
表示不超过
X
的最大整数。

例
[4.351]=4
；
[0.321]=0
；
[2.9999]= 2
；


关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。


定义新运算

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照
基本运算 过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。











②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。


数列求和

等差数列：在一列数中，
任意相邻
两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。< br>
基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用
a
1
表示；











项数：等差数列的所有数的个数，一般用
n
表示；











公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用
d
表示；











通项：表示数列中每一个数的公式，一般用
a
n
表示；











数列的和：这一数列全部数字的和，一般用
Sn
表示．

基本思路：
等差数列中涉及五个量：
a
1
,a
n
, d, n,

s
n
,,
通项公式中涉及 四个量，
如果己知其中三个，
就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就 可以求这第四个。

基本公式：通项公式：
a
n
= a
1
+
（
n
－
1
）
d
；

通项＝首项＋（项数一
1)

×公差；

数列和公式：
s
n
,= (a
1
+ a
n
)
×
n
÷
2
；

数列和＝（首项＋末项）×项数÷
2
；

项数公式：
n= (a
n
+ a
1
)
÷
d
＋
1
；

项数
=
（末项
-
首项）÷公差＋
1
；

公差公式：
d =
（
a
n
－
a
1
）
；

）
÷（
n
－
1
）
公差
=
（末项－首项）÷ （项数－
1
）
；

关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；

加法乘法原理和几何计数

加法原理：如果完成一件任务有
n
类方法 ，在第一类方法中有
m
1
种不同方法，在第二类方法
中有
m
2
种不同方法……，
在第
n
类方法中有
m
n
种不同 方法，
那么完成这件任务共
有：
m
1
+ m
2
....... +m
n
种不同的方法。

关键问题：确定工作的分类方法。

基本特征：每一种方法都可完成任务。

乘法原理：如果完成一件任务需要分成
n
个步骤进行，做第
1
步有< br>m
1
种方法，不管第
1
步用

3

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