一笔画
巡山小妖精
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2021年01月19日 13:50
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一、
解决一笔画或多笔画问题，
都要先数出奇点的个数，
奇点个数是
0
个或
2
个的连续图形
可以一笔画；
奇点个数超过
2
个的连续图形无法一笔画，
奇点的个数是
2
的几倍，
画出该图
形就 需要几笔。
二、一个多笔画的图形，可以通过连线减少奇点个数变成一笔画图形，反之亦然。
三、一笔画图形没有奇点时，要想一笔画出，
必须从一个双数 点出发，
最后再回到原来
的双数点；
一笔画图形有两个奇点时，要想一笔画出，必须从 一个奇点出发，最后再回到另
外一个奇点。
【题目】
：
下图是一个公园的道路平面图，
要使游客走遍每条路而又不重复，
出、
人口应该设在哪 里？
【解析】
：
要使游客走遍每一条路而 又不重复，
也就是一笔画出上图，
公园的出入口就是一笔画的起点
和终点，观察图形， 图中只有
I
和
E
两个奇点（每个点连接
3
条线）
， 因此公园的出入口应
设在这两个点上，以其中一个点为入口，以另一个点为出口。
【题目】
：
下面各图至少要用几笔才能画成？
【解析】
：
首先观察上面三个图形，数出每个图形中奇点的个数，再根据奇点的个数作出判断：
第（
1
）个图形中有
8
奇点（红色交点）
，
8
÷< br>2=4
，可以四笔画成；
第（
2
）个图形中有
8< br>奇点（红色交点）
，
8
÷
2=4
，可以四笔画成；
第（
3
）个图形中有
4
奇点（红色交点）
，
4÷
2=2
，可以两笔画成。
【题目】
：
（
1
）能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？
（
2
）能否用剪刀一次连续剪下右下图中六个三角形？
【解析】
：
上面两个图形都只有两个奇点（红色交点 ）
，都是一笔画图形，但用笔画和用剪刀剪，这两
种操作是有区别的。
第一 、
用笔画，
笔要经过图中的每一条线段，
用剪刀剪只能剪图形内部线段，四周的边框是
不能剪的；
第二，
用笔画一条经过某个点的直线后，
图形还是完整 的，
用剪刀沿直线经过某个点剪一刀
后，
这个图形会被剪成两段。
因此在剪的 过程中要注意技巧，
可以分别准备好这样的两张纸
片，在纸片上画出对应的线段，让孩子在剪纸 的操作中慢慢体验这一点。
这两个图形都可以按题目要求一次连续剪下。
上面左边图 形在剪的时候注意：
可以从图形左
边奇点开始先向右剪，遇到第一个交点后拐弯向上，再向右下 ，再向左剪，最后向下到第二
个奇点结束
.
奥赛天 天练》第
45
讲《一笔画》
，所谓一笔画，是指笔不离纸地一次性画出一个图形，而且
笔所走过的路线不能重复。
一笔画是个很有趣的数学问题，
这个数学问题的学习可以从 下面
这个著名数学故事《七桥问题》开始：
18
世纪，在哥尼斯 堡城风景秀美的普莱格尔河上有
7
座别致的拱桥，将河中的两个岛和河
岸连结（如下图 ）
。
城中的居民经常沿河过桥散步。
城中 有位青年很聪明，爱思考，有一天，
这位青年给大家提
出了这样一个问题：能否一次走遍
7
座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是举世闻名的七桥问题，当时的 人们始终没有能找到答案。
大数学家欧拉从朋友那里听到这个问题，
很快便证明了这 样的走法不存在。
欧拉是这样解决
问题的：把图中被河隔开的陆地看成
A
、< br>B
、
C
、
D4
个点，
7
座桥表示成
7
条连接这
4
个点
的线，思考过程如下图：
伟大的数学家欧拉，睿智地把这样一个实际问题抽象成了一个由点线组成的简单的几何图形，把要解决的问题转化成图（二）
的一笔画问题了。这样一个抽象化的过程是欧拉解决这
个问题时最精彩的思考，也是最值得我们学习的地方。因为图（二）不能一笔画成，所以人
们不能一次走 遍
7
座桥。
1736
年，欧拉把这题的结果发表在圣彼得堡科学院学报上，欧 拉
对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，可以说，正是这个问题的研究使其成为“图论”
的 鼻祖。
那么欧拉是如何判断图（二）不可以一笔画成呢？为了便于大家看懂，
结合这 个例子，
我用
自己的语言来说明一下一笔画问题的解题思路：
这个图形中共有
4
个点
7
条线，
每个点都是
若干条路线的公共端点。
如果一 个点是偶数条线的公共端点，
我们称这个点为双数点
（或偶
点）
；如果一个点 是奇数条线的公共端点，我们称这个点为单数点（或奇点）
。图（二）中
A
点是
5
条线的公共端点，
B
、
C
、
D
点都是
3
条线的公共端点，因此图（二）有
4
个奇点。
一般，
我们把起笔的 点称为起点，停笔的点称为终点，其它的点称为路过点。显然一笔画图
形中所有路过点如果有进去的线就 必须有出来的线，
从而每个点连接的线数必须有偶数个才
能完成一笔画，
如果路过点中 出现奇点，
必然就会出现没有走过的路线或重复路线。
因此在
一笔画图形中，
只有起点和终点可以是奇点
（起点可以只出不进，
终点可以最后进这个点就
不出了）< br>，也就是说最多只能有两个奇点，以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。因为图
（二）有
4
个奇点，因此图（二）不能一笔画成。
另外两点说明：
一、
一笔画图形中所有的线必须是连续的，
因为笔不离纸，
如果一个图形由两个断开的部分
组成，肯定不能一笔画，
。例如“国”这个字就不能一笔写出来。
二、一笔画图形中的奇点都是成对出现的
（因为每条线都有两个端点，
所有线的端点和是偶数）
，图形中没有奇点，都是偶点时，可以一笔画成，但起点和终点必须选择同一点。
< br>结合以上说明，
解决一笔画问题，第一步是找出图中所有点，
判断其是奇点还是偶点；< br>第二
步是根据奇点的个数作出正确的判断；
第三步是让孩子用铅笔试着画一画，
验证自己的判断。
【题目】
：
下面的图形能不能一笔画成？如果不能，请你加一条线好使这个图形能一笔画成。
【解析】
：
如上图，
两个图形都有四个奇点，都不能一笔画。
每个图形加一条线，
可以增加两个端点，
为使 这两个图形能一笔画成，
每个图形增加的一条线的两个端点必须在奇点上，
使每个图形
都能消去两个奇点，只剩下两个奇点。画法如下：
第
28
讲
一笔画
(
一
)
如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重
复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。显然，在下面
的图形中，
(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，
(3)(4)
可以一
笔画成，是一笔画。
同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形
却不 能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有
一个著名的数学故事
——
哥尼 斯堡七桥问题。哥尼斯堡是立陶
宛共和国的一座城市，
布勒格尔河从城中穿过，
河中有 两个岛，
18
世纪时河上共有七座桥连接
A
，
B
两个岛以及 河的两岸
C
，
D(
如下图
)
。
所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每
座桥 只走一次，怎样走才能成功？
当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但 是都没成功。后
来，
这个问题引起了大数学家欧拉
(1707-1783)
的 兴趣，
许多人
的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样
一条路线呢 ？经过认真研究，欧拉终于在
1736
年圆满地解决
了七桥问题，并发现了一笔画原理 。欧拉是怎样解决七桥问题
的呢？因为岛的大小，
桥的长短都与问题无关，
所以欧拉把
A
，
B
两岛以及陆地
C
，
D
用点表示，桥 用线表示，那么七桥问题
就变为右图是否可以一笔画的问题了。
我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数
条线相连的点叫做奇点。如 下图中，
A
，
B
，
C
，
E
，
F< br>，
G
，
I
是偶点，
D
，
H
，
J
，
O
是奇点。
欧拉的一笔画原理是：
(1)
一笔画必须是连通的
(
图形 的各部分之间连接在一起
)
；
(2)
没有奇点的连通图形是一笔画 ，画时可以以任一偶点为起
点，最后仍回到这点；
(3)
只有两个奇点的连 通图形是一笔画，
画时必须以一个奇点为
起点，以另一个奇点为终点；
(4)
奇点个数超过两个的图形不是一笔画。
利用一 笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中
A
，
B
，
C
，< br>D
都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散
步者不可能不重复地一次走遍这 七座桥。
顺便补充两点：
(1)
一个图形的奇点数目一定是偶数。
因为图形中 的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点
的总数必然是偶数。如果一个图形中奇点的数目是奇数，那 么
这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数
(
奇数个奇数之
和是奇数)
，与偶点相连的线的端点数之和是偶数
(
任意个偶数
之和是偶数
)
，
于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结
论矛盾。所以一个图形的奇点数 目一定是偶数。
(2)
有
K
个奇点的图形要
K÷
2
笔才能画成。
例如：下页左上图中的房子共有
B< br>，
E
，
F
，
G
，
I
，
J< br>六个
奇点，所以不是一笔画。如果我们将其中的两个奇点间的连线
去掉一条，那么这两个 奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这
样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。
将线段
GF
和
BJ
去掉，
剩下
I
和
E
两个奇点
(
见右下图
)
，
这个图形是一笔画 ，
再添上线段
GF
和
BJ
，
共需三笔，
即
( 6 ÷
2)
笔画成。