关羽斩六将-成本核算员

2021年1月19日发(作者：姚羹)


小学数学《一笔画》练习题（含答案）




什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，
它是一种有名的数学游戏
.
所谓一笔画，
就是从图
形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重 复
.


我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点
.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点
.


判断图形能否一笔画的规律：

（
1
）能一笔画出的图形必须是连通的图形；

（
2
）
凡是只由偶点组成的连通图形
.
一定可以一笔画出．
画时可以由任一偶点 作为起点
.
最后仍回到这
点；

（
3
）
凡 是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出
.
画时必须以一个奇点作为起点
.
以另一个奇点作
为终点；

（
4
）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．



（一）

一笔画以及多笔画


【例
1
】

观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能， 为什么？对于可以一笔画的图形，指
明画法
.

H
D
C
I
J
K
(d)
A
B
E
F
I
G
A
J
H
(e)
B
C
D
F
G< br>E
(f)

分析：（
a
）图：可以一笔画，因为只有两个奇点
A
、
B
；画法为
A
→头部→翅膀→尾部→翅膀→嘴
.



（
b
）图：不能一笔画，因为此图不是连通图
.



（
c
）图：不能一笔画，因图中有四个奇点：
A
、B
、
C
、
D.


（
d
）图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：
A
→
C
→
D→
A
→
B
→
E
→
F
→
G→
H
→
I
→
J
→
K
→
B.


（
e
）图：可以一笔画，因为没有奇点；画法可以是：A
→
B
→
C
→
D
→
E
→F
→
G
→
H
→
I
→
J
→B
→
D
→
F
→
H
→
J
→A.


（
f
）图：不能一笔画出，因为图中有八个奇点
.

[< br>注意
]
在上面能够一笔画出的图中，画法并不是惟一的
.
事实上，对于 有两个奇点的图来说，任一个奇点
都可以作为起点，以另一个奇点作为终点；对于没有奇点的图来说，任 一个偶点都可以作为起点，最后
仍以这点作为终点
.

[
巩固]
判断下列图
a
、图
b
、图
c
能否一笔画．< br>
N
A
B
K
C
F
E
M
A< br>F
A
O
B
L
D
B
G
E
C< br>


分析：图
a
是一个连通的 图形，图中只有点
A
和点
F
两个奇点，所以它能一笔画，其中一种画法如下：
A
—
M
—
N
—
A
—
F
—
B
—
C
—
B
—
K
—
C
—
D
—
E
—
D
—
L
—
E
—
F
．

‘

图
b
是一个不连通的图形，所以不能一笔画．

图
c
是连通图，图中所有点都是偶点，所以能一笔画．其中一种画法如下：
A
—
B
—
C
—
D
—
E
—
F
—
D
—
A
—
F
—
C
—
A
．






【例
2
】

右图是某地区所有街道的平面图
.
甲、
乙二人同时分别从
A
、
B
出发，
以相同
F
的速度走遍所有的街道，最后到达
C.
如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最
B
A
C
短路径的话，问两人谁能 最先到达
C
？


分析：
本题要求二人都必须走遍所有的街 道最后到达
C
，
而且两人的速度相同
.
因此，
谁走的路程少 ，谁便可以先到达
C.
容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都
D
E< br>至少是所有街道路程的总和
.
仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：
A和
C.
这就
是说，此图可以以
A
、
C
两点分别 作为起点和终点而一笔画成
.
也就是说，甲可以从
A
出发，不重复地走
遍所有的街道，
最后到达
C
；
而从
B
出发的乙则不行.
因此，
甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，
而乙所走的路程则必定大于 这个总和，这样甲先到达
C.

D
[
巩固
]
在六 面体的顶点
B
和
E
处各有一只蚂蚁
(
见右图
)，
它们比赛看谁能爬过所有的
棱线，最终到达终点
D.
已知它们的爬速相 同，哪只蚂蚁能获胜？

C

A
B
分析：许多同学看不出这 是一笔画问题，但利用一笔画的知识，
能非常巧妙地解答这
道题
.
这道题只要 求爬过所有的棱，
没要求不能重复
.
可是两只蚂蚁爬速相同，
如果一
E
只不重复地爬遍所有的棱，
而另一只必须重复爬某些棱，
那么前一只蚂蚁爬的路程短 ，
自然先到达
D
点，因而获胜
.
问题变为从
B
到< br>D
与从
E
到
D
哪个是一笔画问题
.
图中只有
E
，
D
两个奇点，
所以从
E
到
D
可以一笔画出，而从
B
到
D
却不能，因此
E
点的蚂蚁获胜< br>.

[
数学小游戏
]
用一笔画成四条线段把所有的点连起来，怎样画
?

分析：
通过试画，似乎不可以画，但通过仔细观察，对照一
笔画的规律，便可发现，若添上两个辅助点，就 可画成．如右
图：




图
a
D
图
b
C
图
c
D



我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画
.
多笔画图形的笔画数 恰等于奇点个数的一半
.
事实上，对
于任意的连通图来说，如果有
2n
个奇点（
n
为自然数），那么这个图一定可以用
n
笔画成
.
公式如下：



奇点数÷
2=
笔画数，即
2n
÷
2=n.

【例
3
】

判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不 能，请加一条线或去一条线，将其改
成可一笔画的图形．

A
B
H< br>I
A
G
F
A
B
G
I
K
H< br>J
L
F
E
E
F
B
G
C
D< br>H
图
b
图
c



分析：图
a
：原图有四个奇点，所以不能一笔画，在
B,D
两点之间 加一条线后，图中只有两个奇点，故
可以一笔画出，如图
d
所示．

画法：
H
→
A
→
B
→
C
→
D→
E
→
F
→
I
→
D
→
B→
I
→
H
→
G
→
F
．
图
b
：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．去掉
K
，
L
两点之间的连线，图中只有两个奇点，故

可以一笔画出，如图
e
所示．

画法：
B
→
C
→
D
→
E
→
F
→→
J
→H
→
G
→
I
→
A
→
B
→K
→
I
→
L
→
E
．

图c
：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．在
B
，
C
两点之间加 一条线后，图中只有两个奇点，

故可以一笔画出，如图
f
所示．

画法：
A
→
E
→
D
→
H
→
A
→
B
→
F
→
C
→
G
→
B
→
C
→
D
注意：
a
、
b
、
c
三个图都是连通的图形，但由于每个图的奇点个数均超过两个，所以都不能一笔画．

A
A
B
H
I
G
F
C
图
a
D
E
C
D
G
A
B
C
I
K
H
J
L
F
E
E
F
B
G
C
D
H
C









[
前铺
]
观察下面的图，看各至少用几笔画成？

图
d
D
E
图
e
D









图
f


分析：（
1
）图中有
8
个奇点，因此需用
4
笔画成
.



（
2
）图中有
12
个奇点，需
6
笔画成
.



（
3
）图是无奇点的连通图，可一笔画成
.


【例
4
】

将下图改为一笔画
.
F
A
E
B
C
(2)
A
D

B
C
(1)
D

分析：图（
1
）中有6
个奇点，因此可添上两条（或
3
条）边后可改为一笔画；又因为这个图中，把这
6
个奇点任意分为
3
对后，最多只有两对奇点间有边相连，因此，可去掉两条 边后改为一笔画，举例如图
（
3
）～（
6
）
.


图（
2
）中有
4
个奇点，因此，可添上
2
条（或
1
条）边后改为一笔画；又因为把奇点按
A
与
B
，
C
与
D
（或
A
与
D
，
B
与
C
）分为两对后，每对间均有边相连，因此，可去掉两条（或
1
条）边后改 为一笔
画
.
举例如图（
7
）～（
8
）
.

说明：图（
6
）运用了两种方法，去掉边
BC
，添上边< br>AD
与
EF.



（二）一笔画的实际应用


【例
5
】
18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，
在这座城市中
有一条布勒格尔河横贯城区，
这条河有两条支流在城市中心汇合，
汇合处有一座小岛
A
和一座半岛
D
，人们在这里建了一座公园，
公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来
(
如图< br>a)
．如果游
人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才
能 成功
?
：


这个有趣的问题引起了著名数学家欧拉的注意，他证明了七桥问题中提到的走法根本不存在．

下面，我们考虑如下两个问题：

(1)
如果再架一座桥，游人能否走遍所有 这八座桥
?
若能，这座桥应架在何处
?
若不能，请说明理由．

(2)
架设几座桥可以使游人走遍所有的桥回到出发地
?

分析：
（
1
）图
a
中，用
A,D
表示两个小岛，点
B,C
表示河的左右两岸，若再用连接两点的线表示桥，从
而得到一个由四个点和七条线组成 的图形
(
如图
b)
．在图
b
中，点
A
，< br>B
，
C
，
D
四个点均为奇点，显然不
能一笔画出这个 图形．若将其中的两个奇点改成偶点，即在某两个奇点之间连一条线，这样奇点个数由
四个变为两个，< br>此时，
图形可以一笔画出．
如我们可以选择奇点
B
，
D
，
在
B
，
D
之间连一条线
(
架一座桥
)
，
如图
c
．在图
c
中只有点
A
和
C
两个奇点，那么我们可以以
A
为起点，
C
为终点将图形一笔画出． 其中一
种画法为：
A
→
C
→
A
→
B
→
A
→
D
→
B
→
D
→
C 所以，如果在河岸
B
与小岛
D
之间架一座桥，游人就可以不重复地走遍所 有的桥．

（
2
）在
(1)
的基础上，再在另外两个奇点< br>A
与
C
之间连一条线
(
即架一座桥
)
，使这 两个奇点也变成偶点，
如图
d
．那么
A
，
B
，C
，
D
四个点均为偶点，所以图
d
可以一笔画出，并且可以以任 意点为起点，最后

仍回到这个点．其中一种画法为：
A
→
C
→
A
→
C
→
D
→
A
→
B
→
D
→
B
→
A
这表明：在河岸
B
与 小岛
D
之间架一座桥后，再在小岛
A
与河岸
C
之间架一座桥 ，共架设两座桥，就可
以使游人不重复地走遍所有的桥并回到出发地．



[
巩固
]
如图所示，
两条河流的交汇处有两个岛，
有七座桥 连接这两
个岛及河岸
.
问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？


分析：
用点表示小岛与河岸，
用连接两点的线表示连接相应两地的
桥，如图，有
2
个奇点，所以该图可以一笔画，即可以一次不重复
地走遍这七座桥.
例如右下图的走法
.
A
B
D
E

C



【例
6
】

有一个邮局 ，
负责
21
个村庄的投递工作，
右图中的点表示村
庄，
线段 表示道路
.
邮递员从邮局出发，
怎样才能不重复地经过每一个
村庄，最后回到 邮局？


分析：图中有两个奇点，所以该图可以一笔画，但因为邮局所在点为
奇点，
所以要一笔画就不可能回到邮局
.
又图中
A,B,C,D,E,F, G,H,I,J
十点均有
4
条线段与之相连，如果我们将上图一笔画的话，就要经过< br>邮局

关羽斩六将-成本核算员

关羽斩六将-成本核算员

关羽斩六将-成本核算员

关羽斩六将-成本核算员

关羽斩六将-成本核算员

关羽斩六将-成本核算员

关羽斩六将-成本核算员

关羽斩六将-成本核算员