比例法
别妄想泡我
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2021年01月19日 18:15
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好看的黑色幽默电影-5月1
1
、
“
比例法
”
应用的基本条件
比例法
的采用的一个重要条件就是含有一个固定的乘除等式关系。如：
M
＝
A*B
，
M
，
A
，
B
分别代表三个不同的量，< br>在实际的应用中如：
路程＝速度
＊
时间，
总量＝效率
＊
时间、
溶剂
＝溶液
＊
浓度等，只要符合这种等式关系。不管是不是行程问题 、
效率问题、工程问题都可
以采用。在采用的过程中，切记注意三个量中必须要有一个量是固定 的，这样另外
2
个量
才会有相对关系。
如：
M
＝
A*B
，当Ｍ固定，则Ａ和Ｂ之间就是反比关系；当Ａ固定时，Ｍ和Ｂ之间就是成正
比 关系；当Ｂ固定时，Ｍ和Ａ也是成正比关系。
另外研究相对关系，不仅仅从数值上看，还需要从整体上看。
如：Ｍ
1=A1*B1
和Ｍ
2=A2*B2,
当Ｍ1=M2
时，相当于把这２个表达式合并了，等同于Ａ
1*B1=A2*B2
，那 么我们就可以看
出这里的反比关系
:
即Ａ
1:
Ａ
2=
Ｂ
2:
Ｂ
1,
进而我们可以进行相同的推理，当
A1=A2
时，Ｍ
1:M2=B1:B2,
当Ｂ
1=B2
时，Ｍ
1:M2=A1:A2.
例题
61:
甲乙二人分别从相距若干公里的
A
、
B
两地同时 出发相向而行，相遇后各自继续前
进，甲又经
1
小时到达
B
地，乙又 经
4
小时到达
A
地，甲走完全程用了几小时？
A
．
2
B
．
3
C
．
4
D
．
6
【天字
1
号解析】参考答案
B
。
题目描述的一个 关键就在于他们都是用不用的时间去走对方相遇前走的距离，
这里如果要建
立某种等式关系，那 么就是他们的速度之比是一个固定关系。假设他们用了
t
小时相遇，那
么在甲走的t
小时距离上，乙用了
4
小时走完，速度之比为时间反比，
V
甲
:V
乙
=4:t,
同理，
我们再看乙走的
t
小时， 那么也可以根据反比关系得到
V
甲
:V
乙
=t:1,
因此得 到了这样的关
系
4:t=t:1,
解得
t=2,
答案为
2+1=3
小时。
2
、
差、和关系
比例法
应用介绍
差值比例在
比例法
中是最经常适用的一种方法，
我们通过量之间的 变化部分，
运用比
例的缩放求解。
只要找到差值所对应的具体比例点数，
就可 以求解实际数值。
差值比例是怎
么来的呢？我们来看一下简单推理：
在关系表达式
M=A*B
中，当
M
不变的情况下，
A
和
B
的反比关系是固定的，当
A
发生变
化，则
B
发生 变化。可以产生这样一种情况
A1
：
A2
＝
B2
：
B1
，用分数形式表示就是
，我们令等号左右同时减去
1
，即可转换为
－
A2
和
B2
－
B1
这就是差值关系，差值和所对应的量也是一种反比关系。
，
A1
例题：甲行使一段路程按照
30
千米
/
小时的速度比按照
2 5
千米
/
小时的速度要快
1
小时。
则这段路程是多少千米。
分析：我们就抓住路程不变，时间和速度是成反比关系的即
30
的速度和
25
的速度时间之
比是为
25
：
30
＝< br>5
：
6
，这里
5
就代表着
30
的速度用时，
6
就代表这
25
速度的用时，他们
相差
6
－
5
＝
1
个比例点，即对应
1
小时。因此实际时间就是
1* 6
小时和
1*5
小时。这样答案
就明显了
30*5
＝
25*6
＝
150
千米。
下面我们通过几个题目来看看差／和
比例法
的应用：
例题
61
：小王步行的速度比跑步慢
50%
，跑步的速度比骑车慢
50%
。如果他骑 车从
A
城去
B
城，再步行返回
A
城共需要
2
小
时。问小王跑步从
A
城到
B
城需要多少分钟？【
11< br>国考】
A.45
B.48
C.56
D.60
【天字
1
号解析】参考答案
B
。
此题已知条件可知步行跑步速度比是
1
：
2
，跑步和骑车速度比是
1
：
2
，则步行速度：跑步
速度：骑车速度＝
1
：
2
：
4
，
骑车去，步行返回，这是路程相同的情况下，时间比等 于速度反比，是步行用时：骑车用时
=4:1
，时间和为
4+1
＝
5
对应
2
小时。则每个比例点就是
2/5=0.4
小时。因为问的是跑 步
时间跟骑车时间是
2:1
关系即为
0.8
小时即
48分钟。
例题
62
：两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积比是
3:1
，另一个瓶
子中酒精与水的体积比是
4:1
，若把两瓶酒精溶液混合，
则混合后的酒精和水的体积之比是
多少？
A.31:9
B.7:2
C.31:40
D.20:11
【天字
1
号解析】参考答案
A
。
体积相同，这就要求我们把两个比例
3
：
1
和
4
：
1
变成“和”同比例。代表着体积相同。因
此实际上是招
3+1
＝< br>4
和
4+1
＝
5
的最小公倍数
20
，
因此
3
：
1
＝
15
：
5
，< br>
4
：
1
＝
16
：
4
，这样和相同 ，即酒精和水的比例就是
15+16
：
5+4
＝
31
：9
了。
例题
63
：甲车以每小时
160< br>千米的速度，乙车以每小时
20
千米的速度，在长为
210
千米
的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速
1/3
，而乙车则增
速
1/3
。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了多少千米？【
0 5
北京】
A. 1250
B. 940
C. 760
D. 1310
【天字
1
号解析】参考答案
A
。
像这样的行程问题，
比例法
是最佳的解答方法。
首先我们确定需要 几次相遇速度相等，我们先来看需要多少次相遇才能速度相等：
160×
（
2/3）的
N
次方＝
20×
（
4/3
）的
N
次方，
N
代表了次数
解得
N
＝
3
，说明第三次相遇即达到速度相等
第一次相遇前：
开始时速度是
160
：
20
＝< br>8
：
1
，用时都一样，则路程之比＝速度之比＝
8
：
1
，每一次相遇
则路程之差为一圈的距离，所以
8
－
1
＝< br>7
，对应一圈的距离即
210
，所以
2
人路程之和是
210÷
7×
（
8
＋
1
）＝
270
第二次相遇前：
速度比是甲：乙＝
4
：
1
用时 都一样，则路程之比＝速度之比＝
4
：
1
，所以
4
－
1
＝
3
，等于
一圈的距离对应的比例，即
210
，所以这个阶段
2
人路程之和是
210÷
3×
（
4
＋
1
）＝
35
第三次相遇前：
速度比是甲：乙＝
2
：
1
用时 都一样，则路程之比＝速度之比
=2
：
1
，所以
2
－
1
＝
1
对应的是
一圈的比例即
210
，所以第
3
阶段
2
人路程之和是
210÷
1×
（
2
＋
1
）＝
630 ,
则总路程是
270
＋
350
＋
630
＝
1250
。
下面将会通过一些习题来巩固一下：
习题
1
：为了把
20 08
年北京奥运办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单
位计划在通往两个比赛 场馆的两条路的（不相交）
两旁栽上树，现运回一批树苗，
已知一条
路的长度是另一条 路长度的两倍还多
6000
米，若每隔
4
米栽一棵，则少
2754< br>棵；若每隔
5
米栽一棵，则多
396
棵，则共有树苗（）。【
06
国考】
A. 8500
棵
B. 12500
棵
C. 12596
棵
D.
13000
棵
－－－－－－－－－－
［天字
1
号解析］
植树的间隔数量之比是间距比的反比即
5
：
4
，
即按照
5
米植树比按照
4
米植树少了
5
－
4
＝
1
个比例点即对应
396
＋
2754
＝
315 0
个间隔数量。
因此
5
米间距的间隔数量为
3 150
＊
4
＝
12600
，因为间隔数量与树的颗数关系是四条边＋
4
，即树苗为
12600
＋
396
＋
4
＝
13000
棵。
习题
2
：甲、乙两个容器均有
50
厘米深，底面积之比为
5 : 4
，甲容器水深
9
厘米，乙容
器水深
5
厘米．再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是：
【
07
国考】
A
．
20
厘米
B . 25
厘米
C . 30
厘
米
D .35
厘米
－－－－－－－－－－
［天字
1
号解析］
水深 相等，
即后来假如的水是相等的体积，
那么，
后来假如的水的高度刚好可以弥补最初的
差值
9
－
5
＝
4cm
的高度。
因此体积相同的情况下，
底面积和高度成反比，
即高度为
4
：
5，
1
个比例点差距即差
4cm
，
因此后来增加的高度分别是4
＊
4
＝
16cm
和
4
＊
5
＝
20cm
，
选
择任意一个均可计算结果，
16
＋
9
＝
25cm
或者
20
＋
5
＝
25cm
习题
3
：
A
、
B
两站之间有一条铁路，
甲、
乙两列火车分别停在
A
站和
B
站，
甲火车
4
分
钟走的路程等于乙火车
5
分钟走的路程．乙火车上午
8
时整从
B
站开往
A
站，开出一段
时问后，甲火车从
A
站出发开往
B
站，上午
9
时整两列火车相遇 ．相遇地点离
A
、
.B
两
站的距离比是
15
：16
．那么．甲火车在（）从
A
站出发开往
B
站．【
07
国考】
A .8
时
12
分
B .8
时
15
分
C .8
时
24
分
D . 8
时
30
分
－－－－－－－－－－
［天字
1
号解析］
根据 已知条件：
V
甲：
V
乙＝
5
：
4
。如果同 时开出，那么相同的时间内相遇，甲乙路程之比
＝速度比＝
5
：
4
，
实际距离比为
15
：
16
，
我们以乙走
1
时（
8
：
00
～
9
：00
）为参照时
间，那么
5
：
4
＝
20
：
16
对照
15
：
16
，
我们发现甲少走了
20
－
15
＝
5
个比例点，相当 于
如果完整走
1
小时的
5
／
20
＝
1／
4
因此可知甲时从
8
：
15
分开始出发的。
习题
4
：某鞋业公司的旅游鞋加工车间要完成一出口订单，如果每天加工
50双，要比原计
划晚
3
天完成，如果每天加工
60
双，则要比原计 划提前
2
天完成，这一订单共需要加工多
少双旅游鞋？
( )
【
08
北京】
A.1200
双
B.1300
双
C.1400
双
D.1500
双
－－－－－－－－－－
［天字
1
号解析］
每天效率
50
，和每天效率< br>60
的效率之比
5
：
6
，
则所需时间之比 为
6
：
5
，相差
1
个比例
点对应的数值为
3
＋
2
＝
5
天。因此，如果按照
50
的效率需要的 时间为
6
＊
5
＝
30
天，答案
为
30＊
50
＝
1500
双。
习题
5< br>：
有
20
名工人修筑一段公路，
计划
15
天完成。动 工
3
天后抽出
5
人去其他工地，
其
余人继续修路。如果每人 工作效率不变，那么修完这段公路实际用（）【
10
广东】
A.19
天
B. 18
天
C.17
天
D.16
天
－－－－－－－－－－
［天字
1
号解析］
简单 的判断时选项中差
3
天的
2
个选项，因为这个题目别忘了前面有
3< br>天之后才调整人数
的。因此要注意＋
3
，
这样在
A D
当中我们应该考虑的时
19
。
比例法
：我们的不变的量在
于
3
天之后的工作量，
因为人数减少
5
人，那么效率比为
20
：（
20
－
5
）＝
4
：
3< br>，
那么
时间比为
3
：
4
，即
12
：
16
，
因此多出
4
天完成，因此总时间就多出
4
天，即
15
＋
4
＝
19
天。
习题
6
：小明每天早晨
6
：
50
从家出 发，
7
：
20
到校，老师要求他明天提早
6
分钟到校。如< br>果小明明天早晨还是
6
：
50
从家出发，那么，每分钟必须比往常多走
25
米才能按老师的要
求准时到校。问：小明家到学校多远？
－－－－－－－－－－
［天字
1
号解析］
在路程固定的情况下，
时间最初时
30
分钟，
后来提速后 要求时
30
－
6
＝
24
分钟，
时间比为
3 0
：
24
＝
5
：
4
，
那么速度比为时间反比＝
4
：
5
，
相差
1
个比例点对应
25
米。因此可知最
初速度为
25
＊
4
＝
100
，故而答案为
100
＊
30
＝
3000
米。
习题
7
：
王师傅要加工一批零件，
若每小时多加工
12
个零件，
则所用的时间比原计划少
1/9
；< br>若每小时少加工
16
个，则所用的时间比原来多
3/5
小时
.
这批零件有多少个？
－－－－－－－－－－
［天字
1
号解析］
不变的量时工作总量，
则时间和效率成反比。
每小时多加工
12
个：则时间比为
8
：
9
（
9
是原计划时间）则原效率：现在效率＝
9
：
8
相
差
1
个比例点对应
12
，则原效率＝
12
＊
8
＝
96
。