最新高中数学排列组合相关公式
别妄想泡我
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2021年01月19日 18:28
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______________________________________________ ____
排列组合公式
排列定义
从
n
个不同的元素中，取
r
个不重复的元素，按次序排列 ，称
为从
n
个中取
r
个的无重排列。排列的全体组成的集合用
P(n,r)
表示。排列的
个数用
P(n,r)
表示。当
r=n
时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的
相应记号为
P(n,r),P(n,r)
。
组合定义
从
n
个不同元素中取
r
个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元
素的顺序，称为从n
个中取
r
个的无重组合。
组合的全体组成的集合用
C(n,r)
表示，组合的个数用
C(n,r)
表示，对应于可重
组合
有记号
C(n,r),C(n,r)
。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于
< br>(1)
从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象
思维能力；
(2)
限制条件有时比较隐晦，
需要我们对问题中 的关键性词
(
特别是逻辑关联
词和量词
)
准确理解；
(3)
计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需 要的
思维量较大；
(4)
计算方案是否正确，往往 不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、
原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用
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(1)
加法原理和分类计数法
1
．加法原理
2
．加法原理的集合形式
3
．分类的要求
每一类中的每一种方法 都可以独立地完成此任务；
两类不同办法中的具体方
法，互不相同
(
即分类不 重
)
；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类
(
即分
类不漏)
(2)
乘法原理和分步计数法
1
．乘法原理
2
．合理分步的要求
任何一步的一种方 法都不能完成此任务，
必须且只须连续完成这
n
步才能完
成此任务；
各步计数相互独立；
只要有一步中所采取的方法不同，
则对应的完成
此事的方法也不同
例
1
：用
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
组成数字不重复的六位数
集合
A
为数字不重复的 九位数的集合，
S
（
A
）
=9
！
集合
B
为数字不重复的六位数的集合。
把集合
A
分为子集的集合，
规则为前
6
位数相同的元素构成一个子集。
显然各子收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
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集没有共同元素。每个子 集元素的个数，等于剩余的
3
个数的全排列，即
3
！
这时集合
B
的元素与
A
的子集存在一一对应关系，则
< br>S
（
A
）
=S
（
B
）
*3
！
S
（
B
）
=9
！
/3
！
这就是我们用以前的方法求出的
P
（
9
，
6
）
例
2
：从编号为
1-9
的队员中选
6
人 组成一个队，问有多少种选法？
设不同选法构成的集合为
C
，集合
B
为数字不重复的六位数的集合。把集合
B
分
为子集的集合，
规则 为全部由相同数字组成的数组成一个子集，
则每个子集都是
某
6
个数的全排列 ，即每个子集有
6
！个元素。这时集合
C
的元素与
B
的子集 存
在一一对应关系，则
S
（
B
）
=S
（
C
）
*6
！
S
（
C
）=9
！
/3
！
/6
！
这就是我们用以前的 方法求出的
C
（
9
，
6
）
以上都是简单的例子，
似乎不用弄得这么复杂。
但是集合的观念才是排列组合公
式的来 源，
也是对公式更深刻的认识。
大家可能没有意识到，
在我们平时数物品
的数
量时，说
1
，
2
，
3
，
4，
5
，一共有
5
个，这时我们就是在把物品的集合与
集合（1
，
2
，
3
，
4
，
5
）建立 一一对应的关系，正是因为物品数量与集合（
1
，
2
，
3
，
4
，
5
）的元素个数相等，所以我们才说物品共有
5
个。 我写这篇文章的目的
是把这些潜在的思路变得清晰，从而能用它解决更复杂的问题。
例
3
：
9
个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？
9
个人排成一排，不同排法有
9
！种，对应集合为前面的集合
A
9
个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。设集合
D
为坐成一圈 的
坐法的集合。以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合
A
中都对应不同元素，但在集合
D
中相当于同一种坐法，
所以集合
D
中每个元素对应集 合
A
中
9
个元素，
所以
S
（
D
）
=9
！
/9
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