排列组合和排列组合计算公式

温柔似野鬼°
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2021年01月19日 18:31
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2021年1月19日发(作者:查特吉)
排列组合公式
/
排列组合计算公式

排列
P------
和顺序有关





组合
C -------
不牵涉到顺序的问题

排列分顺序
,
组合不分

例如


5本不同的书分给
3
个人
,
有几种分法
.

排列




5
本书分给
3
个人
,
有几种分法


组合


1
.排列及计算公式



n
个不同元素中,任取
m(m

n)
个元素按照一定的 顺序排成一列,
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列;< br>从
n
个不同元素中
取出
m(m

n)
个元素 的所有排列的个数,
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数, 用符号
p(n,m)
表示
.

p(n,m)=n(n-1)(n-2)
……
(n-m+1)= n!/(n-m)!(
规定
0!=1).

2
.组合及计算公式



n
个不同元素中,任 取
m(m

n)
个元素并成一组,叫做从
n
个不同
元素中取出
m
个元素的一个组合;

n
个不同元素中取出
m (m

n)

元素的所有组合的个数,
叫做从
n
个 不同元素中取出
m
个元素的组合

.
用符号


c(n,m)
表示
.

c(n,m)=p(n,m)/m!= n!/((n-m)!*m!)

c(n,m)=c(n,n-m);

3
.其他排列与组合公式



n
个元素中取出
r
个元素的循环排列数=
p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.

n
个元素被分成
k
类,
每类的个数分别是
n1,n2,.. .nk

n
个元素的
全排列数为


n!/(n1!*n2!*...*nk!).

k
类元素
,< br>每类的个数无限
,
从中取出
m
个元素的组合数为
c(m+k- 1,m).
排列(
Pnm(n
为下标,
m
为上标
)



Pnm=n
×(
n-1

....

n -m+1
);
Pnm=n

/

n-m
)!(注: !是阶
乘符号);
Pnn
(两个
n
分别为上标和下标)
= n
!;
0

=1

Pn1

n
为 下标
1
为上标)
=n

组合(
Cnm(n
为下标,
m
为上标
)



Cnm=Pnm/Pmm

Cnm=n

/m
!(
n-m
)!;
Cnn
(两个
n
分别为上标和
下 标)
=1

Cn1

n
为下标
1
为上 标)
=n

Cnm=Cnn-m

2008-07-08 13:30

公式
P
是指排列,从
N
个元素取
R
个进行排列。

公式
C
是指组合,从
N
个元素取< br>R
个,不进行排列。

N-
元素的总个数

R
参与选择的元素个数


-
阶乘

,如

9
!=
9*8*7*6*5*4*3*2*1

N
倒数
r
个,表达式应该为
n*

n-1)* (n-2)..(n-r+1);


因为从
n
到(
n-r+1)
个数为
n
-(
n-r+1)

r
举例:

Q1:

有从
1

9
共计
9
个号码球,
请问,
可以组成多少个三位数?

A1:

123

213
是两个不同的排列数 。即对排列顺序有要求的,
既属于“排列
P
”计算范畴。



上问题中,
任何一个号码只能用一次,
显然不会出现
988,99 7
之类的组合,

我们可以这么看,百位数有
9
种可能,十位数则应 该

9-1
种可能,个位数则应该只有
9-1-1
种可能,最终共有
9*8*7
个三位数。计算公式=
P

3

9)< br>=
9*8*7,(

9
倒数
3
个的乘积)

Q2:


有从
1

9
共计
9
个号码球,
请问,
如果三个一组,
代表
“三
国联盟”,可 以组合成多少个“三国联盟”?

A2:

213
组合和< br>312
组合,代表同一个组合,只要有三个号码
球在一起即可。即不要求顺序的,属于“ 组合
C
”计算范畴。



上问题中,将所有 的包括排列数的个数去除掉属于重复的
个数即为最终组合数
C(3,9)=9*8*7/3*2 *1
排列、组合的概念和公式典型例题分析




1
设有
3
名学生和
4
个课外小组.(
1
)每名学生都 只参
加一个课外小组;

2
)每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法?




1

由于每名学生都可以参加
4
个课外小组中的任何一个,< br>而不限制每个课外小组的人数,因此共有

种不同方法.




2
)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组
至多 有一名学生参加,因此共有

种不同方法.



点评


由于要让
3
名学生逐个选择课外小组,
故两问都用乘法
原理进行计算.



2
排成一行,其中

不排第一,

不排第二,

不排第三,

不排
第四的不同排法共有多少种?






依题意,符合要求的排法可分为第一个排





中的某一
个,共
3
类,每一类中 不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出:







符合题意的不同排法共有
9
种.



点评


按照分“类”的思路,本题应用了加法原理.为把握不
同排法的规律,“树图”是一种具有直观形象的有效做法,也是解
决计数问题的一种数学模型.



例3

判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结
果.


< br>(
1
)高三年级学生会有
11
人:①每两人互通一封信,共通了
多少封信?②每两人互握了一次手,共握了多少次手?




2
)高二年级数学课外小组共
10
人:①从中选一名正组长和
一名副组长,共 有多少种不同的选法?②从中选
2
名参加省数学竞
赛,有多少种不同的选法?




3
)有
2

3

5

7

11

13

17
,< br>19
八个质数:①从中任取
两个数求它们的商可以有多少种不同的商?②从中任取两个求 它的
积,可以得到多少个不同的积?




4
)有
8
盆花:①从中选出
2
盆分别给甲乙两人每人一盆,有
多少种不 同的选法?②从中选出
2
盆放在教室有多少种不同的选
法?



分析


1
)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给 甲的信
是不同的两封信,所以与顺序有关是排列;②由于每两人互握一次
手,甲与乙握手,乙与 甲握手是同一次握手,与顺序无关,所以是
组合问题.其他类似分析.




1

①是排列问题,
共用了

封信;
②是组合问题,
共需握手
(次)






2
)①是排列问题,共有

(种)不同的选法;②是组合问题,
共有

种不同的选法.




3

①是排列问题,
共有

种不同的商;
②是组合问题,
共有


不同的积.




4
)①是排列问题,共有

种不同的选法;②是组合问题,共


种不同的选法.



例4

证明





证明


左式















右式.








等式成立.



点评

这是一个排列数等式的证明问题,
选用阶乘之商的形式,
并利用阶乘的性质

,可使变形过程得以简化.




5
化简





解法一

原式



















解法二

原式




点评


解法一选用了组合数公式的阶乘形式,
并利用阶乘的性
质;解法二选用了组 合数的两个性质,都使变形过程得以简化.




6
解方程:(
1


;(
2









1
)原方程


















解得























2
)原方程可变为



















原方程可化为










,解得


第六章

排列组合、二项式定理

一、考纲要求

1.
掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简单
的问题
.
2.
理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式和组合
数的性质,并能用 它们解决一些简单的问题
.
3.
掌握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们计 算和论证一
些简单问题
.
二、知识结构



三、知识点、能力点提示

(

)
加法原理乘法原理

说明

加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础,掌握此两原理
为处理排

列、组合中有关问题提供了理论根据
.

1

5
位高中毕业生,
准备报考
3
所高等院校,
每人报且只报一所,
不同 的报名方法共有多少种
?
解:

5
个学生中每人都可以在
3
所高等院校中任选一所报名,因
而每个学生都有
3
种不同的

报名方法,
根据乘法原理,
得到不同报
名方法总共有

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