排列组合知识点与方法归纳
绝世美人儿
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2021年01月19日 18:32
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排列组合
一、知识网络
二、高考考点
1
、两个计数原理的掌握与应用;
2
、关于排列与组合的定义的理解;关于排列与组合数公式的掌握;关于组合数两
个性质的 掌握;
3
、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题 (多为排列与组合的混合问
题)
三、知识要点
一.分类计数原理与分步计算原理
1
分类计算原理(加法原理):
完成一件事,有
n类办法,在第一类办法中有
m
1
种不同的方法,在第二类办法中
有
m
2
种不同的方法,
……,
在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法,
那么完成这件事共有
N=
m
1
+
m
2
+…+ m
n
种不同的方法。
2
分步计数原理(乘法原理):
完成一件事,需要分成
n
个步骤,做第
1
步有
m
1
种不同的方法,做第
2
步有
m
2
种
不同的方法,……,做第
n
步有
m
n
种不同的方法,那么完成这件事共有
N=
m
1
×
m
2
×…×
m
n
种不同的方法。
3
、认知:
上述两 个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据,它们的区别在
于,
加法原理的要害是 分类:
将完成一件事的方法分成若干类,
并且各类办法以及各类办法
中的各种方法相互 独立,
运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事;
乘法原理
的要害是分步 :
将完成一件事分为若干步骤进行,
各个步骤不可缺少,
只有当各个步骤依次
完成后这件事才告完成
(在这里,
完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤,
而 不能
独立完成这件事)。
二.排列
1
定义
(
1
)从n
个不同元素中取出
m
(
做从
n
个不同元素中取出m
个元素的一排列。
(
2
)从
n
个不同元素中取出
m
(
不同元素中取出
m
个元素的排列数 ,记为
2
排列数的公式与性质
)个元素的所有排列的个数,叫做从
n
个
.
)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫
(
1
)排列数的公式:
当
m=n
时,
=n
(
n-1
)(
n-2
)…(
n-m+1
)
=
特例:
=n
!
=n
(
n-1
)(
n-2
)…×3×2×1
规定:
0
!
=1
(
2
)排列数的性质:
(Ⅰ)
原排列数的联系)
=
(排列数上标、下标同时减
1
(或加
1
)后与
(Ⅱ)
的联系)
(排列数上标加
1
或下标减
1
后与原排列数
(Ⅲ)
(分解或合并的依据)
三.组合
1
定义
(
1
)从
n
个不同元素中取出
同元素中取出
m
个元素的一个组合
(
2
)从
n
个不同元素中取出同元素中取出
m
个元素的组合数,用符号
2
组合数的公式与性质
个元素的所有组合的个数,叫做从
n
个不
表示。
个元素并成一组,叫做从
n
个不
(
1
)组合数公式:
(乘积表示)
(阶乘表示)
特例:
(
2
)组合数的主要性质:
(Ⅰ)
(上标变换公式)
(Ⅱ)
(杨辉恒等式)
< br>认知:
上述恒等式左边两组合数的下标相同,
而上标为相邻自然数;
合二为一后 的
右边组合数下标等于左边组合数下标加
1
,而上标取左边两组合数上标的较大者。< br>
3
比较与鉴别
由排 列与组合的定义知,
获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺
序排成一列”两个 过程,
而获得一个组合只需要“取出元素”,
不管怎样的顺序并成一组这
一个步骤。< br>
(
1
)
排列与组合的区别在于组合 仅与选取的元素有关,
而排列不仅与选取的元素
有关,
而且还与取出元素的顺序有关。 因此,
所给问题是否与取出元素的顺序有关,是判断
这一问题是排列问题还是组合问题的理论依 据。
(
2
)
注意到获得(一个) 排列历经“获得(一个)组合”和“对取出元素作全排
列”两个步骤,故得排列数与组合数之间的关系:
四、经典例题
例
1
、
某人计划使用不超过
500
元的资金购买单价分别为
60
、
70
元的单片软件和
盒装磁盘,要求软件至少买
3< br>片,磁盘至少买
2
盒,则不同的选购方式是(
)
A .5
种
种
C. 7
种
D. 8
种
分析:
依题意“软件至少买
3< br>片,
磁盘至少买
2
盒”,
而购得
3
片软件和
2
盒磁盘
花去
320
元,所以,只需讨论剩下的
180
元如 何使用的问题。
解:注意到购买
3
片软件和
2
盒磁盘花去
320
元,所以,这里只讨论剩下的
180
元如何使用 ,可从购买软件的情形入手分类讨论:
第一类,再买
3
片软件,不买磁盘, 只
有
1
种方法;
第二类,再买
2
片软件,不买磁盘,只有
1
种方法;
第三类,再买
1
片软件,再买
1
盒磁盘或不买磁盘,有
2
种方法;
第四类,不买软件,
再买
2
盒磁盘、
1
盒磁盘或不买磁盘,有
3
种方法;
于是由分类计数原理可知, 共有
N=1+1+2+3=7
种不同购买方法,应选
C
。
例
2
、
已知集合
M={-1
,
0
,
1}
,
N={2
,
3
,
4
,
5}
,映射
为奇数,则这样的映射
,当
x
∈
M
时,
的个数是(
)
分析:由映射定义知,当
x
∈
M
时,
当
x
∈
M
时,
这里的
x
可以是 奇数也可以是偶数,
但
因此,对
M
中
x
的对应情况逐一分析 ,分步考察:
第一步,考察
x=-1
的象,当
x=-1
时,
, 此时
的元素
-1
与
N
中的元素有
4
种对应方法;< br>
第二步,考察
x=0
的象,当
x=0
时,
有
2
种取法(
=3
或
必须为奇数,
可取
N
中任一数值,即
M
中
为奇数,故
只
=5
),即
M
中的元素
0
与
N
中的元素有
2
种对应方法;
第三步,考察
x =1
的象,当
x=1
时,
可为奇数也可为偶数
,
为奇数,故
可取
N
中任一数值,即
M
中的元素
1
与
N
中的元素有
4
种对应
共有
4×2×4=32
个。
方法,于是由分步计数原理可知,映射
例
3
、
在
中有
4
个编号为
1
,
2
,
3
,
4
的小三角形,要在每一个小三角形中
涂上红、蓝、黄、白、黑 五种颜色中的一种,使有相邻边的小三角形颜色不同,共有多少种
不同的涂法?
解:
根据题意,
有相邻边的小三角形颜色不同,
但“对角”的两个 小三角形可以是
相同颜色,于是考虑以对角的小三角形
1
、
4
同色与 不同色为标准分为两类,进而在每一类
中分步计算。
第一类:
1
与
4
同色,则
1
与
4
有
5种涂法,
2
有
4
种涂法,
3
有
4
种涂 法,
故
此时有
N
1
=5×4×4=80
种不同涂法。
第二类:
1
与
4
不同色,则
1
有
5
种涂法,
4
有
4
种涂法,
2
有3
种涂法,
3
有
3
种涂法,故此时有
N
2=5×4×3×3=180
种不同涂法。
综上可知,不同的涂法共有
80+180=260
种。
点评:
欲不重不漏地分类,
需要选定一个适当的分类标准,一般地,根据所给问题的具体情况,或是从某一位置的特定要求入手分类,或是从某一元素的特定要求入手分类,
或是从问 题中某一事物符合条件的情形入手分类,
或是从问题中有关事物的相对关系入手分
类等等。
例
4
、
将字
1
、
2< br>、
3
、
4
填入标号为
1
、
2
、3
、
4
的四个方格里,每格填一个数,则
每个方格的标号与所填数字均不 相同的填法有(
)
种
种
种
种
解法一(采用“分步”方法):完成这件事分三个步骤。
第一步:任取一个数字,按规定填入方格,有
3
种不同填法;
第二步:
取与填入数字的格子编号相同的数字,
按规定填入方格,
仍有
3
种不同填
法;
第三步:将剩下的两个数字按规定填入两个格子,只有
1
种填法;
于是,由分步计数原理得,共有
N=3×3×1=9
种不同填法。
解法二:(采用“列举”方法):从编号为
1
的方格内的填数入手进行分类。
第一类:编号为
1
的方格内填数字
2
,共有< br>3
种不同填法:
2
4
1
3
2
1
4
3
2
3
4
1
第二类:编号
1
的方格内填数字
3
,也有
3
种不同填法:
3
1
4
2
3
4
1
2
3
4
2
1
第三类:编号为
1
的方格内填数字
4
,仍有
3
种不同填法:
4
1
2
3
4
3
1
2
4
3
2
1
于是由分类计数原理得共有
N=3+3+3=9
种不同填法,应选
B
解法三(间接法):将上述
4
个数字填入
4
个 方格,每格填一个数,共有
N
1
=4×3×2×1=24
种不同填法,其中不 合条件的是
(1)4
个数字与
4
个格子的编号均相同
的填 法有
1
种;
(2)
恰有两个数字与格子编号相同的填法有
6
种;
(3)
恰有
1
个数字与格子编号相同的填法有
8
种;
因此,有数字与格子编号相同
的填法共有
N
2
=1+ 6+8=15
种
于是可知,符合条件的填法为
24-15=9
种。
< br>点评:
解题步骤的设计原则上任意,
但不同的设计招致计算的繁简程度不同,
一 般
地,人们总是优先考虑特殊元素的安置或特殊位置的安排,以减少问题的头绪或悬念。
当正面考虑头绪较多时,
可考虑运用间接法计算:
不考虑限制条 件的方法种数—不
符合条件的方法种数
=
符合条件的方法种数。
在这里,直接法中的“分析”与间接法主体的“分类”,恰恰向人们展示了“分
步” 与“分类”相互依存、相互联系的辩证关系。
例
5
、
用数字
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
组成无重复数字
4
位数,其中,必含数字
2
和
3
,
并且
2
和
3
不相邻的四位数有多少个?< br>
解:注意到这里“0”的特殊性,故分两类来讨论。
第一类:不含“0”的符合条件的四位数,首先从
1
,
4
,
5
这三个数字中任选两个
作排列有
种;
进而将
2
和
3
分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置,
又有
=36< br>个。
种
排法,于是由分步计数原理可知,不含
0
且符合条件的四位数共有
第二类:含有“0”的符合条件的四位数,注意到正面考虑头绪较多,故考虑运用
“ 间接法”:首先从
1
,
4
,
5
这三个数字中任选一个,而后 与
0
,
2
,
3
进行全排列,这样的
排列共有
个。
其中,有如下三种情况不合题意,应当排险:
(
1
)
0
在首位的,
有
个
(
3
)
0
在个位的,但
2
与
3
相邻的,有
因此,含有
0
的符合条件的四位数共有
个
=30
个
个;
(
2
)
0< br>在百位或十位,
但
2
与
3
相邻的,
有
于是可知,符合条件的四位数共有
36+30=66
个
点评:
解决元素不相邻的排列问题,
一般采用“插空法”,即先将符合已知条件的
部分元素排好,
再将有“不相邻”要求的元素插空放入;
解 决元素相邻的排列问题,
一般采
用“捆绑法”,
即先将要求相邻的元素“捆绑”在一起 ,
作为一个大元素与其它元素进行排
列,进而再考虑大元素内部之间的排列问题。
例
6
、
某人在打靶时射击
8
枪,命中
4
枪,若命中的
4
枪有且只有
3
枪是连续命中
的, 那么该人射击的
8
枪,按“命中”与“不命中”报告结果,不同的结果有(
)
种
种
种
种
分析:首先,对未命中的
4
枪进行排列,它们形成
5
个空挡,注意到未命中的
4
枪“ 地位平等”,故只有一种排法,
其次,将连中的
3
枪视为一个元素,与命中的另一枪从
前面
5
个空格中选
2
个排进去,有
种
种排法,于是由乘法原理知,不同的报告结果菜有
点评:
这里的情形与前面不同,
按照问题的实际情况理解,
未命中的
4
枪“地位平
等”,
连续命中的
3
枪亦“地位平等”。
因此 ,第一步排法只有一种,
第二步的排法种数也
不再乘以
。
解决此类 “相同元素”的排列问题,
切忌照搬计算相同元素的排列种数的方
法,请读者引起注意。
例
7
、
(
1
)
(
2
)若
(
3
)
;
,则
n=
;
;
(
4
)若
,则
n
的取值集合为
;
(
5
)方程
解:
的解集为
;
(
1
)注意到
n
满足的条件
∴原式
=
=
(
2
)
运
用
杨
辉
恒
等
式
,
已
知
等
式
=
所求
n=4
。
(
3
)根据杨辉恒等式
原式
=
=
=
*
(
4
)注意到这里
n
满足的条件
n≥5
且
n∈
N
①
在①之下,