排列组合知识点与方法归纳

绝世美人儿
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2021年01月19日 18:32
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走进海洋-靠近歌词

2021年1月19日发(作者:桂超万)

排列组合


一、知识网络
二、高考考点



1
、两个计数原理的掌握与应用;


2
、关于排列与组合的定义的理解;关于排列与组合数公式的掌握;关于组合数两
个性质的 掌握;



3
、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题 (多为排列与组合的混合问
题)



三、知识要点



一.分类计数原理与分步计算原理



1
分类计算原理(加法原理):



完成一件事,有
n类办法,在第一类办法中有
m
1
种不同的方法,在第二类办法中

m
2
种不同的方法,
……,
在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法,
那么完成这件事共有
N=
m
1
+
m
2
+…+ m
n
种不同的方法。



2
分步计数原理(乘法原理):



完成一件事,需要分成
n
个步骤,做第
1
步有
m
1
种不同的方法,做第
2
步有
m
2

不同的方法,……,做第
n
步有
m
n
种不同的方法,那么完成这件事共有
N=
m
1
×
m
2
×…×
m
n
种不同的方法。





3
、认知:



上述两 个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据,它们的区别在
于,
加法原理的要害是 分类:
将完成一件事的方法分成若干类,
并且各类办法以及各类办法
中的各种方法相互 独立,
运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事;
乘法原理
的要害是分步 :
将完成一件事分为若干步骤进行,
各个步骤不可缺少,
只有当各个步骤依次
完成后这件事才告完成
(在这里,
完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤,
而 不能
独立完成这件事)。



二.排列



1
定义




1
)从n
个不同元素中取出
m

做从
n
个不同元素中取出m
个元素的一排列。




2
)从
n
个不同元素中取出
m

不同元素中取出
m
个元素的排列数 ,记为


2
排列数的公式与性质


)个元素的所有排列的个数,叫做从
n

.

)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫



1
)排列数的公式:

m=n
时,
=n

n-1
)(
n-2
)…(
n-m+1

=

特例:
=n

=n

n-1
)(
n-2
)…×3×2×1



规定:
0

=1



2
)排列数的性质:



(Ⅰ)
原排列数的联系)

=

(排列数上标、下标同时减
1
(或加
1
)后与


(Ⅱ)
的联系)


(排列数上标加
1
或下标减
1
后与原排列数


(Ⅲ)

(分解或合并的依据)





三.组合



1
定义


1
)从
n
个不同元素中取出
同元素中取出
m
个元素的一个组合




2
)从
n
个不同元素中取出同元素中取出
m
个元素的组合数,用符号


2
组合数的公式与性质


个元素的所有组合的个数,叫做从
n
个不

表示。


个元素并成一组,叫做从
n
个不



1
)组合数公式:

(乘积表示)


(阶乘表示)


特例:



2
)组合数的主要性质:




(Ⅰ)



(上标变换公式)



(Ⅱ)



(杨辉恒等式)


< br>认知:
上述恒等式左边两组合数的下标相同,
而上标为相邻自然数;
合二为一后 的
右边组合数下标等于左边组合数下标加
1
,而上标取左边两组合数上标的较大者。< br>


3
比较与鉴别



由排 列与组合的定义知,
获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺
序排成一列”两个 过程,
而获得一个组合只需要“取出元素”,
不管怎样的顺序并成一组这
一个步骤。< br>



1


排列与组合的区别在于组合 仅与选取的元素有关,
而排列不仅与选取的元素
有关,
而且还与取出元素的顺序有关。 因此,
所给问题是否与取出元素的顺序有关,是判断
这一问题是排列问题还是组合问题的理论依 据。




2


注意到获得(一个) 排列历经“获得(一个)组合”和“对取出元素作全排
列”两个步骤,故得排列数与组合数之间的关系:


四、经典例题







1

某人计划使用不超过
500
元的资金购买单价分别为
60

70
元的单片软件和
盒装磁盘,要求软件至少买
3< br>片,磁盘至少买
2
盒,则不同的选购方式是(









A .5















C. 7





D. 8




分析:
依题意“软件至少买
3< br>片,
磁盘至少买
2
盒”,
而购得
3
片软件和
2
盒磁盘
花去
320
元,所以,只需讨论剩下的
180
元如 何使用的问题。



解:注意到购买
3
片软件和
2
盒磁盘花去
320
元,所以,这里只讨论剩下的
180
元如何使用 ,可从购买软件的情形入手分类讨论:

第一类,再买
3
片软件,不买磁盘, 只

1
种方法;


第二类,再买
2
片软件,不买磁盘,只有
1
种方法;
第三类,再买
1
片软件,再买
1
盒磁盘或不买磁盘,有
2
种方法;

第四类,不买软件,
再买
2
盒磁盘、
1
盒磁盘或不买磁盘,有
3
种方法;


于是由分类计数原理可知, 共有
N=1+1+2+3=7
种不同购买方法,应选
C





2

已知集合
M={-1

0

1}

N={2

3

4

5}
,映射

为奇数,则这样的映射

,当
x

M
时,

的个数是(





















分析:由映射定义知,当
x

M
时,




x

M
时,
这里的
x
可以是 奇数也可以是偶数,

因此,对
M

x
的对应情况逐一分析 ,分步考察:



第一步,考察
x=-1
的象,当
x=-1
时,

, 此时
的元素
-1

N
中的元素有
4
种对应方法;< br>


第二步,考察
x=0
的象,当
x=0
时,

2
种取法(
=3



必须为奇数,

可取
N
中任一数值,即
M


为奇数,故


=5
),即
M
中的元素
0

N
中的元素有
2
种对应方法;



第三步,考察
x =1
的象,当
x=1
时,
可为奇数也可为偶数
,

为奇数,故


可取
N
中任一数值,即
M
中的元素
1

N
中的元素有
4
种对应

共有
4×2×4=32
个。

方法,于是由分步计数原理可知,映射





3


中有
4
个编号为
1

2

3

4
的小三角形,要在每一个小三角形中
涂上红、蓝、黄、白、黑 五种颜色中的一种,使有相邻边的小三角形颜色不同,共有多少种
不同的涂法?



解:
根据题意,
有相邻边的小三角形颜色不同,
但“对角”的两个 小三角形可以是
相同颜色,于是考虑以对角的小三角形
1

4
同色与 不同色为标准分为两类,进而在每一类
中分步计算。



第一类:
1

4
同色,则
1

4

5种涂法,
2

4
种涂法,
3

4
种涂 法,


此时有
N
1
=5×4×4=80
种不同涂法。



第二类:
1

4
不同色,则
1

5
种涂法,
4

4
种涂法,
2
3
种涂法,
3

3
种涂法,故此时有
N
2=5×4×3×3=180
种不同涂法。


综上可知,不同的涂法共有
80+180=260
种。



点评:
欲不重不漏地分类,
需要选定一个适当的分类标准,一般地,根据所给问题的具体情况,或是从某一位置的特定要求入手分类,或是从某一元素的特定要求入手分类,
或是从问 题中某一事物符合条件的情形入手分类,
或是从问题中有关事物的相对关系入手分
类等等。



4

将字
1

2< br>、
3

4
填入标号为
1

2
3

4
的四个方格里,每格填一个数,则
每个方格的标号与所填数字均不 相同的填法有(




























解法一(采用“分步”方法):完成这件事分三个步骤。



第一步:任取一个数字,按规定填入方格,有
3
种不同填法;



第二步:
取与填入数字的格子编号相同的数字,
按规定填入方格,
仍有
3
种不同填
法;



第三步:将剩下的两个数字按规定填入两个格子,只有
1
种填法;



于是,由分步计数原理得,共有
N=3×3×1=9
种不同填法。



解法二:(采用“列举”方法):从编号为
1
的方格内的填数入手进行分类。



第一类:编号为
1
的方格内填数字
2
,共有< br>3
种不同填法:




2

4

1

3



2

1

4

3



2

3

4

1



第二类:编号
1
的方格内填数字
3
,也有
3
种不同填法:




3

1

4

2



3

4

1

2



3

4

2

1



第三类:编号为
1
的方格内填数字
4
,仍有
3
种不同填法:






4

1

2

3



4

3

1

2



4

3

2

1

于是由分类计数原理得共有
N=3+3+3=9
种不同填法,应选
B


解法三(间接法):将上述
4
个数字填入
4
个 方格,每格填一个数,共有
N
1
=4×3×2×1=24
种不同填法,其中不 合条件的是

(1)4
个数字与
4
个格子的编号均相同
的填 法有
1
种;

(2)
恰有两个数字与格子编号相同的填法有
6
种;



(3)
恰有
1
个数字与格子编号相同的填法有
8
种;

因此,有数字与格子编号相同
的填法共有
N
2
=1+ 6+8=15




于是可知,符合条件的填法为
24-15=9
种。


< br>点评:
解题步骤的设计原则上任意,
但不同的设计招致计算的繁简程度不同,
一 般
地,人们总是优先考虑特殊元素的安置或特殊位置的安排,以减少问题的头绪或悬念。



当正面考虑头绪较多时,
可考虑运用间接法计算:
不考虑限制条 件的方法种数—不
符合条件的方法种数
=
符合条件的方法种数。



在这里,直接法中的“分析”与间接法主体的“分类”,恰恰向人们展示了“分
步” 与“分类”相互依存、相互联系的辩证关系。




5

用数字
0

1

2

3

4

5
组成无重复数字
4
位数,其中,必含数字
2

3

并且
2

3
不相邻的四位数有多少个?< br>


解:注意到这里“0”的特殊性,故分两类来讨论。



第一类:不含“0”的符合条件的四位数,首先从
1

4

5
这三个数字中任选两个
作排列有

种;
进而将
2

3
分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置,
又有
=36< br>个。



排法,于是由分步计数原理可知,不含
0
且符合条件的四位数共有


第二类:含有“0”的符合条件的四位数,注意到正面考虑头绪较多,故考虑运用
“ 间接法”:首先从
1

4

5
这三个数字中任选一个,而后 与
0

2

3
进行全排列,这样的
排列共有

个。



其中,有如下三种情况不合题意,应当排险:




1

0
在首位的,






3

0
在个位的,但
2

3
相邻的,有


因此,含有
0
的符合条件的四位数共有



=30



个;


2

0< br>在百位或十位,

2

3
相邻的,




于是可知,符合条件的四位数共有
36+30=66




点评:
解决元素不相邻的排列问题,
一般采用“插空法”,即先将符合已知条件的
部分元素排好,
再将有“不相邻”要求的元素插空放入;
解 决元素相邻的排列问题,
一般采
用“捆绑法”,
即先将要求相邻的元素“捆绑”在一起 ,
作为一个大元素与其它元素进行排
列,进而再考虑大元素内部之间的排列问题。




6

某人在打靶时射击
8
枪,命中
4
枪,若命中的
4
枪有且只有
3
枪是连续命中
的, 那么该人射击的
8
枪,按“命中”与“不命中”报告结果,不同的结果有(





























分析:首先,对未命中的
4
枪进行排列,它们形成
5
个空挡,注意到未命中的
4
枪“ 地位平等”,故只有一种排法,
其次,将连中的
3
枪视为一个元素,与命中的另一枪从


前面
5
个空格中选
2
个排进去,有




种排法,于是由乘法原理知,不同的报告结果菜有


点评:
这里的情形与前面不同,
按照问题的实际情况理解,
未命中的
4
枪“地位平
等”,
连续命中的
3
枪亦“地位平等”。
因此 ,第一步排法只有一种,
第二步的排法种数也
不再乘以


解决此类 “相同元素”的排列问题,
切忌照搬计算相同元素的排列种数的方
法,请读者引起注意。




7





1




2
)若



3

















,则
n=

































4
)若

,则
n
的取值集合为


















5
)方程


解:


的解集为


















1
)注意到
n
满足的条件
∴原式
=
=







2


















=


所求
n=4





3
)根据杨辉恒等式


原式
=



=

=

*



4
)注意到这里
n
满足的条件
n≥5

n
N









在①之下,

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