排列组合知识点与方法归纳
别妄想泡我
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2021年01月19日 18:32
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排列组合
一、知识网络
二、高考考点
1
、两个计数原理的掌握与应用；
2
、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两
个性质的 掌握；
3
、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题 （多为排列与组合的混合问
题）
三、知识要点
一．分类计数原理与分步计算原理
1
分类计算原理（加法原理）：
完成一件事，有
n类办法，在第一类办法中有
m
1
种不同的方法，在第二类办法中
有
m
2
种不同的方法，
……，
在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法，
那么完成这件事共有
N=
m
1
+
m
2
+…+ m
n
种不同的方法。
2
分步计数原理（乘法原理）：
完成一件事，需要分成
n
个步骤，做第
1
步有
m
1
种不同的方法，做第
2
步有
m
2
种
不同的方法，……，做第
n
步有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事共有
N=
m
1
×
m
2
×…×
m
n
种不同的方法。
3
、认知：
上述两 个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据，它们的区别在
于，
加法原理的要害是 分类：
将完成一件事的方法分成若干类，
并且各类办法以及各类办法
中的各种方法相互 独立，
运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事；
乘法原理
的要害是分步 ：
将完成一件事分为若干步骤进行，
各个步骤不可缺少，
只有当各个步骤依次
完成后这件事才告完成
（在这里，
完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，
而 不能
独立完成这件事）。
二．排列
1
定义
（
1
）从n
个不同元素中取出
m
（
做从
n
个不同元素中取出m
个元素的一排列。
（
2
）从
n
个不同元素中取出
m
（
不同元素中取出
m
个元素的排列数 ，记为
2
排列数的公式与性质
）个元素的所有排列的个数，叫做从
n
个
.
）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫
（
1
）排列数的公式：
当
m=n
时，
=n
（
n-1
）（
n-2
）…（
n-m+1
）
=
特例：
=n
！
=n
（
n-1
）（
n-2
）…×3×2×1
规定：
0
！
=1
（
2
）排列数的性质：
（Ⅰ）
原排列数的联系）
=
（排列数上标、下标同时减
1
（或加
1
）后与
（Ⅱ）
的联系）
（排列数上标加
1
或下标减
1
后与原排列数
（Ⅲ）
（分解或合并的依据）
三．组合
1
定义
（
1
）从
n
个不同元素中取出
同元素中取出
m
个元素的一个组合
（
2
）从
n
个不同元素中取出同元素中取出
m
个元素的组合数，用符号
2
组合数的公式与性质
个元素的所有组合的个数，叫做从
n
个不
表示。
个元素并成一组，叫做从
n
个不
（
1
）组合数公式：
（乘积表示）
（阶乘表示）
特例：
（
2
）组合数的主要性质：
（Ⅰ）
（上标变换公式）
（Ⅱ）
（杨辉恒等式）
< br>认知：
上述恒等式左边两组合数的下标相同，
而上标为相邻自然数；
合二为一后 的
右边组合数下标等于左边组合数下标加
1
，而上标取左边两组合数上标的较大者。< br>
3
比较与鉴别
由排 列与组合的定义知，
获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺
序排成一列”两个 过程，
而获得一个组合只需要“取出元素”，
不管怎样的顺序并成一组这
一个步骤。< br>
（
1
）
排列与组合的区别在于组合 仅与选取的元素有关，
而排列不仅与选取的元素
有关，
而且还与取出元素的顺序有关。 因此，
所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断
这一问题是排列问题还是组合问题的理论依 据。
（
2
）
注意到获得（一个） 排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排
列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系：
四、经典例题
例
1
、
某人计划使用不超过
500
元的资金购买单价分别为
60
、
70
元的单片软件和
盒装磁盘，要求软件至少买
3< br>片，磁盘至少买
2
盒，则不同的选购方式是（
）
A .5
种
种
C. 7
种
D. 8
种
分析：
依题意“软件至少买
3< br>片，
磁盘至少买
2
盒”，
而购得
3
片软件和
2
盒磁盘
花去
320
元，所以，只需讨论剩下的
180
元如 何使用的问题。
解：注意到购买
3
片软件和
2
盒磁盘花去
320
元，所以，这里只讨论剩下的
180
元如何使用 ，可从购买软件的情形入手分类讨论：
第一类，再买
3
片软件，不买磁盘， 只
有
1
种方法；
第二类，再买
2
片软件，不买磁盘，只有
1
种方法；
第三类，再买
1
片软件，再买
1
盒磁盘或不买磁盘，有
2
种方法；
第四类，不买软件，
再买
2
盒磁盘、
1
盒磁盘或不买磁盘，有
3
种方法；
于是由分类计数原理可知， 共有
N=1+1+2+3=7
种不同购买方法，应选
C
。
例
2
、
已知集合
M={-1
，
0
，
1}
，
N={2
，
3
，
4
，
5}
，映射
为奇数，则这样的映射
，当
x
∈
M
时，
的个数是（
）
分析：由映射定义知，当
x
∈
M
时，
当
x
∈
M
时，
这里的
x
可以是 奇数也可以是偶数，
但
因此，对
M
中
x
的对应情况逐一分析 ，分步考察：
第一步，考察
x=-1
的象，当
x=-1
时，
， 此时
的元素
-1
与
N
中的元素有
4
种对应方法；< br>
第二步，考察
x=0
的象，当
x=0
时，
有
2
种取法（
=3
或
必须为奇数，
可取
N
中任一数值，即
M
中
为奇数，故
只
=5
），即
M
中的元素
0
与
N
中的元素有
2
种对应方法；
第三步，考察
x =1
的象，当
x=1
时，
可为奇数也可为偶数
,
为奇数，故
可取
N
中任一数值，即
M
中的元素
1
与
N
中的元素有
4
种对应
共有
4×2×4=32
个。
方法，于是由分步计数原理可知，映射
例
3
、
在
中有
4
个编号为
1
，
2
，
3
，
4
的小三角形，要在每一个小三角形中
涂上红、蓝、黄、白、黑 五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种
不同的涂法？
解：
根据题意，
有相邻边的小三角形颜色不同，
但“对角”的两个 小三角形可以是
相同颜色，于是考虑以对角的小三角形
1
、
4
同色与 不同色为标准分为两类，进而在每一类
中分步计算。
第一类：
1
与
4
同色，则
1
与
4
有
5种涂法，
2
有
4
种涂法，
3
有
4
种涂 法，
故
此时有
N
1
=5×4×4=80
种不同涂法。
第二类：
1
与
4
不同色，则
1
有
5
种涂法，
4
有
4
种涂法，
2
有3
种涂法，
3
有
3
种涂法，故此时有
N
2=5×4×3×3=180
种不同涂法。
综上可知，不同的涂法共有
80+180=260
种。
点评：
欲不重不漏地分类，
需要选定一个适当的分类标准，一般地，根据所给问题的具体情况，或是从某一位置的特定要求入手分类，或是从某一元素的特定要求入手分类，
或是从问 题中某一事物符合条件的情形入手分类，
或是从问题中有关事物的相对关系入手分
类等等。
例
4
、
将字
1
、
2< br>、
3
、
4
填入标号为
1
、
2
、3
、
4
的四个方格里，每格填一个数，则
每个方格的标号与所填数字均不 相同的填法有（
）
种
种
种
种
解法一（采用“分步”方法）：完成这件事分三个步骤。
第一步：任取一个数字，按规定填入方格，有
3
种不同填法；
第二步：
取与填入数字的格子编号相同的数字，
按规定填入方格，
仍有
3
种不同填
法；
第三步：将剩下的两个数字按规定填入两个格子，只有
1
种填法；
于是，由分步计数原理得，共有
N=3×3×1=9
种不同填法。
解法二：（采用“列举”方法）：从编号为
1
的方格内的填数入手进行分类。
第一类：编号为
1
的方格内填数字
2
，共有< br>3
种不同填法：
2
4
1
3
2
1
4
3
2
3
4
1
第二类：编号
1
的方格内填数字
3
，也有
3
种不同填法：
3
1
4
2
3
4
1
2
3
4
2
1
第三类：编号为
1
的方格内填数字
4
，仍有
3
种不同填法：
4
1
2
3
4
3
1
2
4
3
2
1
于是由分类计数原理得共有
N=3+3+3=9
种不同填法，应选
B
解法三（间接法）：将上述
4
个数字填入
4
个 方格，每格填一个数，共有
N
1
=4×3×2×1=24
种不同填法，其中不 合条件的是
(1)4
个数字与
4
个格子的编号均相同
的填 法有
1
种；
(2)
恰有两个数字与格子编号相同的填法有
6
种；
(3)
恰有
1
个数字与格子编号相同的填法有
8
种；
因此，有数字与格子编号相同
的填法共有
N
2
=1+ 6+8=15
种
于是可知，符合条件的填法为
24-15=9
种。
< br>点评：
解题步骤的设计原则上任意，
但不同的设计招致计算的繁简程度不同，
一 般
地，人们总是优先考虑特殊元素的安置或特殊位置的安排，以减少问题的头绪或悬念。
当正面考虑头绪较多时，
可考虑运用间接法计算：
不考虑限制条 件的方法种数—不
符合条件的方法种数
=
符合条件的方法种数。
在这里，直接法中的“分析”与间接法主体的“分类”，恰恰向人们展示了“分
步” 与“分类”相互依存、相互联系的辩证关系。
例
5
、
用数字
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
组成无重复数字
4
位数，其中，必含数字
2
和
3
，
并且
2
和
3
不相邻的四位数有多少个？< br>
解：注意到这里“0”的特殊性，故分两类来讨论。
第一类：不含“0”的符合条件的四位数，首先从
1
，
4
，
5
这三个数字中任选两个
作排列有
种；
进而将
2
和
3
分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置，
又有
=36< br>个。
种
排法，于是由分步计数原理可知，不含
0
且符合条件的四位数共有
第二类：含有“0”的符合条件的四位数，注意到正面考虑头绪较多，故考虑运用
“ 间接法”：首先从
1
，
4
，
5
这三个数字中任选一个，而后 与
0
，
2
，
3
进行全排列，这样的
排列共有
个。
其中，有如下三种情况不合题意，应当排险：
（
1
）
0
在首位的，
有
个
（
3
）
0
在个位的，但
2
与
3
相邻的，有
因此，含有
0
的符合条件的四位数共有
个
=30
个
个；
（
2
）
0< br>在百位或十位，
但
2
与
3
相邻的，
有
于是可知，符合条件的四位数共有
36+30=66
个
点评：
解决元素不相邻的排列问题，
一般采用“插空法”，即先将符合已知条件的
部分元素排好，
再将有“不相邻”要求的元素插空放入；
解 决元素相邻的排列问题，
一般采
用“捆绑法”，
即先将要求相邻的元素“捆绑”在一起 ，
作为一个大元素与其它元素进行排
列，进而再考虑大元素内部之间的排列问题。
例
6
、
某人在打靶时射击
8
枪，命中
4
枪，若命中的
4
枪有且只有
3
枪是连续命中
的， 那么该人射击的
8
枪，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有（
）
种
种
种
种
分析：首先，对未命中的
4
枪进行排列，它们形成
5
个空挡，注意到未命中的
4
枪“ 地位平等”，故只有一种排法，
其次，将连中的
3
枪视为一个元素，与命中的另一枪从
前面
5
个空格中选
2
个排进去，有
种
种排法，于是由乘法原理知，不同的报告结果菜有
点评：
这里的情形与前面不同，
按照问题的实际情况理解，
未命中的
4
枪“地位平
等”，
连续命中的
3
枪亦“地位平等”。
因此 ，第一步排法只有一种，
第二步的排法种数也
不再乘以
。
解决此类 “相同元素”的排列问题，
切忌照搬计算相同元素的排列种数的方
法，请读者引起注意。
例
7
、
（
1
）
（
2
）若
（
3
）
；
，则
n=
；
；
（
4
）若
，则
n
的取值集合为
；
（
5
）方程
解：
的解集为
；
（
1
）注意到
n
满足的条件
∴原式
=
=
（
2
）
运
用
杨
辉
恒
等
式
，
已
知
等
式
=
所求
n=4
。
（
3
）根据杨辉恒等式
原式
=
=
=
*
（
4
）注意到这里
n
满足的条件
n≥5
且
n∈
N
①
在①之下，