数学文化的探究教学案例设计
玛丽莲梦兔
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2021年01月19日 19:13
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数学文化的探究教学案例设计
数学文化的探究教学案例设计
――数列的递推公式
浙江师范大学与浙江省丽水市的两所中学合作开展一
年的校本教研培训活动， 培训形式除了专家讲学外，大量的
是“同课异构”式的教研活动。
2008
年
3
月
14-15
日在浙江
丽水中学、丽水学院附中就高一年级的高中新课程必 修
5
第
2
章
：数列的递推公式（数列复习课第
1
课）进行了
4
节公
开课教学。同一内容分别由浙江丽水中学、温州中学与丽水
学院附中的教师执教，其中温州中学执教的李芳老师的教学
设计是在温州中学特级教师马玉斌老 师以及浙江师范大学
张维忠教授等专家指导下完成的，而且她又是唯一有机会就
同一内容讲授< br>2
次的执教老师。下面给出的是李芳老师前后
两次上课的教学实录与我们的思考。
1
初次上课的教学设计
1.1
回顾
回顾一：
复习等差数列、
等比数列的定义式
（递推公式）< br>及通项公式，为后面由递推公式推导通项公式做铺垫。
回顾二：必修
5
中
2.1
的例
2
：谢宾斯基三角形
（
1
）介绍数学的历史与文化
上世纪初，波兰的 数学家谢宾斯基想找到一个图形，当
它的面积无限减小时，它的周长则无限增大（用几何画板进
行迭代演示）
。
（
2
）数一数
将上述迭代过程逐一展示，让学生数数在每个图形中绿
色三角形的个数依次为 多少？引出该等比数列的递推式及
通项公式。
1.2
探究
（
3
）再数一数：每个图形中绿色、黑色三角形的总个
数依 次为多少
?
学生容易先得出前三项为
1
，
4
，
13
。
探究一：
第
4
项是多少
（从特殊到一般，
引出递推公式）
？
方法一（几何方法）
从第二个图象起，每一个图象可以看成由前一个图象的
三份缩影加上中间一个黑三角形。因此，
。
方法二（代数方法）
从前三项的数值上也可以发现：
，
方法三（代数方法）
（）
方法四（几何方法）
从第二个图象起，每一个图象是在前一个图象 的每个绿
三角形中挖走一个中心三角形，这样如图所示的圈内一个三
角形就变为四个三角形，增 加三个三角形。
在第个图形中，绿三角形的个数为，所以，即。
归纳：当我们面对较为一个复杂的数列时，很难一眼看
清其全貌的话，可以先 寻找出其递推关系，这就是本堂课复
习的重点――数列的递推公式。
递进：然而，我们得到该数列的递推公式便满足了吗？
请问，它的第
5
项是几？第< br>6
项是几？（学生轻松回答）那
么，第
100
项是几呢（学生一时语塞 ，随即提笔思考）？
探究二：第
100
项是多少？（引出求通项公式的方法）
方法一的引导：
教师让学生观察递推公式，
提问：
从而，
诱导出利用
“累
加法”来解决此问题。
教师小结以上解法：
其一，用了累加法，此法早在等差数列中由定 义式推导
通项公式就曾用过，类似的还有累乘法；
其二，用了等比数列求和公式。
方法二的引导：
教师再让学生观察递推公式。在递推式中，若去
1
，就
是等 比数列；若改
3
为
1
，则是等差数列。是否可构造以
3
为公 比的等比数列呢？如何把常数
1
进行分配呢？假设等式
左边分得
m
， 则右边就得
3m
。所以有：
小结：这可谓“殊途同归”< br>！同一个数列有两个不同的
递推公式，两个不同的递推公式推出同一个通项公式，虽分
别 用了“累加法”和“构造法”
，但却都是化归为等差或等
比数列的有关概念来解决！
探究三：试由递推公式推得数列的通项公式
给学 生一些思考时间。部分学生均只能由已知条件求出
第
3
项为
9
，第< br>4
项为
13
，则猜想就是前面的数列。教师则
引导从开始出发，是否可 再构造等比数列？即
即为探究二中的两个递推公式，当然此数列就是前面的
数列。
1.3
巩固思考
意图：
（
1
）让学生再 次经历特殊到一般的归纳过程，培
养合情推理的能力；
（
2
）从归纳的结果中 发现通项的分母为
等差数列的通式，从而为严格论证开启思路。
1.4
归纳小结
当我们研究一个较为复杂的数列时，若不能马上得 出它
的通项公式，可以先通过其特殊项或其蕴含的几何背景来发
现它的递推公式，然后利用累加 法、累乘法、构造法等，将
递推公式化归为等差数列、等比数列的有关问题，从而最终
求出数列 的通项公式！
1.5
课外作业
2
改进后上课的教学设计
以上是第一天在丽水中学上课的课堂实录 ，课堂上学生
探究的效果不理想，前段与后段较好，中间探究部分还不能
很好地引起大多数学生 的共鸣。在当天的评课专题研讨会上
专家与丽水中学的数学老师给出了许多建设性的改进意见，
李芳老师将案例做了如下的修改，第二天在丽水学院附中授
课，教学效果甚好。以下是第二天在丽水学院 附中上课的课
堂实录（为了便于前后对照，下面标题的序号与前面初次上
课的教学设计标题序号 相同，内容相同部分将略去）
。
1.1
回
顾
改进：知识直接性复习引入改为问题背景式引入
如：写出下列数列的通项公式？