不动点法解题目
巡山小妖精
698次浏览
2021年01月19日 19:28
最佳经验
本文由作者推荐
s6天赋-关于少先队的手抄报
利用“不动点”法巧解高考题
定义；
方程
f(x)=x
的根称为函数
f(x)
的不动点。
利用递推数列
（
f
x
）
的不动点
,
可将某些递推关系
a
n
=
￡
(
a
n-1
)
所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列， 这种方法叫不动点法。
对于这个方法有几个重要定理，若只从代数角度理解，恐怕对许多中学生来说是有难度的。
下面笔者对这几个定理予以几何解释：
定理
1
：
若
f(x)=
ax
+b(a
≠
0,a
≠
1)
，p
是
f(x)
的不动点，
a
n
满足递推关系
a
n
=
￡
(
a
n-1
),(n>1)
则a
n
-
P=a(a
n-1
-p),
即
{
a
n
-
P
}
是公比为
a
的等比数列。它的代数证明如下：
证明：因为
p
是
f
（
x
）的不动点
,
所以
ap+b =p,
所以
b-p=-ap,
由
a
n
=a.
a
n-1
+b
得
a
n
-p=a.
a
n-1
+b-p=a(a
n-1
-p),
所以
{
a
n
-
P
}
是公比为
a
的等比数列。
对
这
一
定< br>理
的
几
何
意
义
如
下
：
f(x)=x,
即
f(x)
与
g(x)=X
的交点
一目了然，
a
n
-p /a
n-1
-p
即为
f(x)
的斜率
a
。
1
2
上
面
是
【
文
1
】
给
出
的
纯
代
数
证
明
，
下
面
看
看
它
所
蕴
含
的
几
何
意
义
。
与定理一的几
何意义相似，表示的是两条直线的的斜率相比是定值
k,
但怎么证明笔 者尚未想到简便的方法，
只能从上面的代数方法借鉴。第二种情况也是如此，
a
n-p/a
n-1
-p+k(a
n
-p)=1.
如下图，由于笔者
能力有限，尚未发现几何证法。
3
4