数学运算之数的分解与拆分专题
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2021年01月19日 21:14
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数学运算之数的分解与拆分专题
数的拆分问题是公务员考试常考的题型之 一，
考察对数的基本特性的
掌握，通常此类问题都比较灵活。一般来说此类问题整体难度不大，
不过像考试中常用的代入法等在此将不再实用，
故掌握方法就变得特
别重要。
1
．分解因式型：就是把一个合数分解成若干个质数相乘的形式。运
用此方法解题首先 要熟练掌握如何分解质因数，
还要灵活组合这些质
因数来达到解题的目的。
【例
1
】三个质数的倒数之和为
a/231
，则
a=
（
）
A.68 B.83 C.95 D.131
【解析】将
231
分解质因数得
231=3
×
7
×
11
，则
1/3+1/7
+1/11
=131/231
，故
a=131
。
【例
2
】
四个连续的自然数的积为
3024
，它们的和为（
）
A
．
26 B.52 C.30 D.28
【解析】分解质因数：
3024=2
×
2
×
2
×
2
×
3
×
3
×
3
×
7=6
×
7
×
8×
9
，
所以四个连续的四个自然数的和为
6+7+8+9=30
。
【例
3
】
20^n
是
2001*2000*1 999*1998*
……
*3*2*1
的因数，自然数
n
最大可能是 多少？
A 499
B500
C 498
D501
【解析】
20^n=5*2*2
的
N
次方，显然
2001*2000*1999*1998*
……
* 3*2*1
中，能分解出来的
2
个个数要远远大于
5
的个数，所以< br>2001*2000*1999*1998*
……
*3*2*1
中最多能分解多 少个
5
也就是
N
的最大值，由此计算所求应为【
2001
÷
5
】
+
【
2001
÷
25< br>】
+
【
2001
÷
125
】
+
【< br>2001
÷
625
】
=400+80+16+3=499
。< br>
注：
【】取整数部分。
2
．已知某几个数的和，求积的最大值型：
基本原理 ：
a2+b2
≧
2ab
，
（
a
，
b
都大于
0
，当且仅当
a=b
时取得
等号）推
论 ：
a+b=K
（常数）
，且
a
，
b
都大于
0
，那么
ab
≦（
（
a+b
）
/2
）2
，当且仅当
a=b
时取得等号。此结论可以推广到多个数的和为
定值的 情况。
【例
1
】
3
个自然数之和为
14
，它们的的乘积的最大值为（
）
A.42 B.84 C.100 D.120
【解析】
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若使乘积最大，
应把
14
拆分为
5+5+4
，< br>则积的最大值为
5
×
5
×
4=100
。
也就 是说，
当不能满足拆分的数相等的情况下，
就要求拆分的数之间
的差异应该尽量的小，
这样它们的乘积才能最大，
这是做此类问题的
指导思想。下面再举一列大家可以自己体 会
.
【例
2】将
17
拆分成若干个自然数的和，这些自然数的乘积的最大
值为（
）
A.256 B.486 C.556 D.376
【解析】
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将
17
拆分为
17=3+3+3+3+3+2
时，
其乘积最大，
最大值为< br>
×
2=486
。
3.
排列组合型
:
运用排列组合知识解决数的分解 问题。
要求对排列组
合有较深刻的理解，才能达到灵活运用的目的。
【例< br>1
】有多少种方法可以把
100
表示为（有顺序的）
3
个自然 数之
和？（
）
A.4851 B.1000 C.256 D.10000
【解析】
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插板法：
100
可以想象为
100
个
1
相加的形式，现在 我们要把这
100
个
1
分成
3
份，那么就相等于在这
100
个
1
内部形成的
99
个空中，
任意插入两个板，这 样就把它们分成了三个部分。而从
99
个空任意
选出两个空的选法有：
C99 2=99
×
98/2=4851
（种）
；故选
A
。
(
注：
此题没有考虑
0
已经划入自然数范畴，
如果选项中出现把
0
考虑进去的选项，建议选择考虑
0
的那个选项。
)