数量关系知识点总结
玛丽莲梦兔
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2021年01月19日 21:28
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struggle是什么意思-思念家乡的故事
数量关系常用知识点总结
第一章
带入与排除法
一，
直接带入法
直接带入法常用于多位数问题，不定方程问题， 同余问题，年龄问题，周期问题，复杂
行程问题和和差倍比问题，
并与其它运算方法相结合，< br>带入排除法不仅仅意味着把选项
带入题干，
而且在计算过程中，
一边计算一边比 较答案选项，
很可能算到一半答案就出
来了。
二，
倍数特性法
倍数特性法是一种特殊的带入排除法
1
，
2
，
5
—后一位；
4
，
25
—后两位；
8
，
,125
—后三位
3
—数字和除以三；
9
—数字和除以
9
7
—末一位的两倍与剩下的数之差为
7
的倍数
7--
末三位与剩下数的差（大数减小数）是
7
的倍数
11
—奇数位之和与偶数位之和的差是
11
的倍数
（
1
）直接倍数法
两个数的和为
a
，差为
b
，则两个数分别为
a+b/2
，
a-b/2.
（
2
）因子倍数法
当题干中涉及小数的时候，
相乘不一定 保留原来的倍数关系，
2
和
5
因子相乘后会消失，
但是
3, 7,9,11,13
等质因子会一直存在
（
3
）比例倍数法（和差倍比）
若
a:b=m:n
，
则说明
a
占
m< br>份，是
m
的倍数；
b
占
n
份是
n
的 倍数，
(m
与
n
互质
) a+b
占
m+n
份，是
m+n
的倍数，
a-b
占
m-n
份是
m-n
的倍数
三，
综合特性法
大小特性，奇偶特性，尾数特性，余数特性，幂次特性，质数特性
（1
）两个数字和差为奇，二者奇偶相反；两个数字和差为偶，二者奇偶相同。
（
2
）两个数字的和为奇数，二者差也为奇数；两个数字和为偶数，二者差也为偶数
< br>（
3
）正整数加，减，乘运算中，每个数最后
N
位，经过同样运算，可 以得到结果最后
N
位
经典例题：
奇偶运算基本法则
【基础】
奇数
±
奇数
=
；
偶数
±
偶数
=
；
偶数
±
奇数
=
；
奇
数
±
偶数
=
。
【推论】
一、任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和
是偶数，那么差也是偶数。
二、任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或
差是偶数，则两数奇偶相同。
倍数关系核心判定特征
如果，则
a
是
m
的倍数；
b
是
n
的倍数。
如果，则
a
是
m
的倍数；
b
是
n
的倍数。
如果，则应该是
m±
n
的倍数。
【例
1
】两个数的差是
2345
，两数相除的商是
8
，求这两个数之和？（
）
A. 2353 B. 2896 C. 3015 D. 3456
【解析】：两个数的差为奇数，所以两个数的 和也应该为奇数，排除掉
B
和
D
，两数
相除商为
8
，即
a:b=8:1,
所以
a+b
是
9
的倍数，所以选
C
【例
2
】：一 单位组织员工乘车去泰山，要求每辆车上的员工数相等。起初，每辆车
22
人，
结果有 一人无法上车
;
如果开走一辆车，
那么所有的旅行者正好能平均乘到其余
各辆 车上，已知每辆最多乘坐
32
人，请问单位有多少人去了泰山？（
）
A. 269
B. 352
C. 478
D. 529
【解析】：每辆车
22
人，结果有一人无法上车， 即总人数除以
22
余
1
，也就是总人
数
-1
能被< br>22
整除，
即能同时被
2
和
11
整除，
首先 排除掉
B
和
C
，
A
和
D
减
1后都能
被
2
整除，只要看下能不能被
11
整除即可，所以答案为
D.
【例
3
】某公司去年有员工
830
人，今 年男员工人数比去年减少
6%
，女员工人数比去
年增加
5%
，员工总 数比去年增加
3
人，问今年男员工有多少人？
A. 329
B. 350
C. 371
D. 504
【解 析】：这是
2011
年的国考题。如果设去年男员工人数为
x
时，那今年男员 工人数
则为
（
1-6%
）
x=0.94x
。
也就是 说今年男员工人数含有
0.94
的因子，
即能被
0.94
整除，答案选
A
。
所以熟练掌握数字特性法对于解决某一类数学运 算非常有效，所以考生须熟记几个非
常常用的特性，比如因子、倍数、因子、比例特性。
【例
22
】（江苏
2006B-76
）在招考公务员中，
A、
B
两岗位共有
32
个男生、
18
个女
生报考 。已知报考
A
岗位的男生数与女生数的比为
5
：
3
，报考< br>B
岗位的男生数与女生
数的比为
2
：
1
，报考
A
岗位的女生数是（
）。
A.15
B.16
C.12
D.10
【答案】C
，【解析】报考
A
岗位的男生数与女生数的比为
5
：
3
，所以报考
A
岗位的
女生人数是
3
的倍数，
排除 选项
B
和选项
D
；
代入
A
可发现不符合题意，所以选择
C
。
【例
23
】（上海
2004- 12
）下列四个数都是六位数，
X
是比
10
小的自然数，
Y
是零，
一定能同时被
2
、
3
、
5
整除的数 是多少？（
）
【答案】
B
，【解析】因为这个六位数能被
2
、
5
整除，所以末位为
0
，排除
A
、
D
；
因为这个六位数能被
3
整除，这个六位数各位数字和是
3
的倍数， 排除
C
，选择
B
。
【例
24
】（山东< br>2004-12
）某次测验有
50
道判断题，每做对一题得
3
分，不做或做错
一题倒扣
1
分，
某学生共得
82
分，
问答对题数和答错题数
（包括不做）
相差多少？
（
）
A.33
B.39
C.17
D.16
【答案】
D
，【解析】答对的题目
+
答错的题 目
=50
，是偶数，所以答对的题目与答
错的题目的差也应是偶数，但选项
A
、
B
、
C
都是奇数，所以选择
D
。
【例
25
】（国
2005
一类
-44
、国
20 05
二类
-44
）小红把平时节省下来的全部五分硬币
先围成一个正三角形， 正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方
形的每条边比三角形的每条边少用
5
枚硬币，
则小红所有五分硬币的总价值是多少元？
（
）
A.1
元
B.2
元
C.3
元
D.4
元
【答案】
C
，【解析】因为所有的硬币可以组成三角形，所以硬币的总数是
3
的倍数，
所 以硬币的总价值也应该是
3
的倍数，结合选项，选择
C
。
【注一】很多考生还会这样思考：
因为所有的硬币可以组成正方形，所以硬币的总数
是
4
的倍数，
所以硬币的总价值也应该是
4
的倍数
，
从而觉得答案应该选
D
。
事实上，
硬币的总数是
4
的倍数，一个硬币是五分，所以只能推出硬币的总价值是
4
个五分即
两角的倍数。
【注二】
本题中所指的三角形和正方形都是空心的。
【例
26
】（国
2002A-6
）
1998
年，甲的年龄是乙的 年龄的
4
倍。
2002
年，甲的年龄是
乙的年龄的
3
倍。问甲、乙二人
2000
年的年龄分别是多少岁
?
（
）
A.34
岁，
12
岁
B.32
岁，
8
岁
C.36
岁，
12
岁
D.34
岁，
10
岁
【答案】
D，【解析】由随着年龄的增长，年龄倍数递减，因此甲、乙二人的年龄比在
3-4
之间，选 择
D
。
【例
27
】（国
2002B-8
）若干学生住若干房间，如果每间住
4
人则有
20
人没地方住，
如果 每间住
8
人则有一间只有
4
人住，问共有多少名学生？（
）。
A.30
人
B.34
人
C.40
人
D.44
人
【答案】
D
，【解析】由每间住
4
人，有
20
人没地方住，所以总人数是
4
的倍数，排除
A
、
B
；由每间住
8
人，则有一间只有
4< br>人住，所以总人数不是
8
的倍数，排除
C
，
选择
D< br>。
【例
28
】（国
2000-29
）一块金与银的 合金重
250
克，放在水中减轻
16
克。现知金在
水中重量减轻1/19
，
银在水中重量减轻
1
／
10
，
则这 块合金中金、
银各占的克数为多少
克？（
）
A.100
克，
150
克
B.150
克，
100
克
C.170
克，
80
克
D.190
克，
60
克
【答案】
D
，【 解析】现知金在水中重量减轻
1/19
，所以金的质量应该是
19
的倍数。< br>结合选项，选择
D
。
【例
29
】（国
19 99-35
）师徒二人负责生产一批零件，师傅完成全部工作数量的一半
还多
30个，徒弟完成了师傅生产数量的一半，此时还有
100
个没有完成，师徒二人已
经 生产多少个？（
）
A.320
B.160
C.480
D.580
【答案】
C
，
【解析】徒弟完成了师傅生产数量的一半，因此师徒二人生产的零件总数
是
3
的倍数。 结合选项，选择
C
。
【例
30
】（浙江
2005 -24
）一只木箱内有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个。小明一次
取出
5
个黄 球、
3
个白球，这样操作
N
次后，白球拿完了，黄球还剩
8
个；如果换一
种取法：每次取出
7
个黄球、
3
个白球，这样操作M
次后，黄球拿完了，白球还剩
24
个。问原木箱内共有乒乓球多少个
?
（
）
A.246
个
B.258
个
C.264
个
D.272
个
【答案】
C
，【解析】每次取出
7
个黄球、
3
个白球，这样操作
M
次后，黄球拿完了，
白球还 剩
24
个。因此乒乓球的总数
=10M+24
，个位数为
4
，选择
C
。
【例
34
】（北京社招
2005-1 1
）两个数的差是
2345
，两数相除的商是
8
，求这两个数
之和？（
）
A.2353
B.2896
C.3015
D.3456
【答案】
C
，
【解析 】两个数的差是
2345
，所以这两个数的和应该是奇数，排除
B
、
D
。
两数相除得
8
，说明这两个数之和应该是
9
的倍数，所 以答案选择
C
。
【例
35
】（北京社招
2005 -13
）某剧院有
25
排座位，后一排比前一排多
2
个座位，最后一排有
70
个座位。这个剧院共有多少个座位？（
）
A.1104
B.1150
C.1170
D.1280
【答案】
B
，【解析】剧院的总人数，应该是
25< br>个相邻偶数的和，必然为
25
的倍数，
结合选项选择
B
。
【例
36
】（北京社招
2005-17
）一架飞机所带的燃料 最多可以用
6
小时，飞机去时顺
风，速度为
1500
千米
/
时，回来时逆风，速度为
1200
千米
/
时，这架飞机最多飞出多少
千米，就需往回飞？（
）
A.2000
B.3000
C.4000
D.4500
【答案】
C
，【解析】逆风 飞行的时间比顺风飞行的时间长，逆风飞行超过
3
小时，顺
风不足
3
小时。飞机最远飞行距离少于
1500×3＝
4500
千米；飞机最远飞行距离大于< br>1200×3＝
3600
千米。结合选项，选择
C
。
【例
37
】（北京社招
2005-20
）红星小学组织学生排成队步行去郊 游，每分钟步行
60
米，队尾的王老师以每分钟步行
150
米的速度赶到排头 ，然后立即返回队尾，共用
10
分钟。求队伍的长度？（
）
A.630
米
B.750
米
C.900
米
D.1500
米
【答案】
A< br>，【解析】王老师从队尾赶到队头的相对速度为
150+60
＝
210
米／分；王老
师从队头赶到队尾的相对速度为
150-60
＝
90
米 ／分。因此一般情况下，队伍的长度是
210
和
90
的倍数，结合选项，选择
A
。
第二章
转化归纳法
一，
化归为一法
如果题干中没有涉及某个具体量的大小，并且 不影响最终结果，我们可以用化归为
一法，将这个量设为某一个计算的数值。
一般应 用于工程问题，混合比例问题，和差倍比问题，加权平均数问题，流水行船
问题，往返行程问题，几何问 题和经济利润问题。
※其中，设“
1
”思想是设“
1
”或 设“
100
”或设“最小公倍数”
，
（每题只能设一次）
二，
比例假设法—利用数字矛盾
尽管假设数字会与 题干已知条件矛盾，但我们仍然可以强行假设某一个数字，然后
利用倍数关系对推算出来的矛盾双方进行 比较，按照比例放大或缩小即可，假如一次
假设计算过程中出现分数或小数，可以二次假设或重新假设方 便计算的量。
※
（采用假设比例法时，必须有一个量固定不变，其它两个量成比例关系）
三，
工程问题（重点必考点）
工程问题是研究工作量，工作时间和工作效率之间的关系
工作量
=
工作时间
*
工作效率
核心思想：化归为一法，比例假设法，特值法
主要分类：
1.
基础 运算型；
2.
同事合作型；
3.
先后合作型；
4.
交替合作 性（注意周期）
5.
撤出加入型；
6.
两项工程型；
7.
三项工程型
工程问题经典题型：
1.
某行政村計劃
15
天完成春播任 務
1500
畝，播種
5
天後，由於更新機械，工作效率
提高
25%
，問這個行政村會提前幾天完成這
1500
畝的春播計劃？
A.4 B.3 C.2 D.1
2.
某工廠的一個生產小組，
當每個工人 在自己的工作崗位上工作時，
9
小時可以完成一
項生產任務。如果交換工人甲和乙的工 作崗位，其他人的工作崗位不變時，可提前
1
小時完成任務；如果交換工人丙和丁的工作崗位， 其他人的工作崗位不變時，也可提
前
1
小時完成任務。如果同時交換甲和乙、丙和丁的 工作崗位，其他人的工作崗位不
變，可以提前多少小時完成這項任務？
A.1.6 B.1.8 C.2.0 D.2.4
3.
有
20
人修築一條公路，計劃< br>15
天完成。動工
3
天後抽出
5
人植樹，留下的人繼續
修路。如果每人工作效率不變，那麼修完這段公路實際用多少天？
A.16 B.17 C.18 D.19
4.
單獨完成某項工作，
甲需要
16
小時，< br>乙需要
12
小時，
如果按照甲、
乙、
甲、
乙、
……
的順序輪流工作，每次
1
小時，那麼完成這項工作需要多長時間？
< br>A.13
小時
40
分鍾
B.13
小時
45
分 鍾
C.13
小時
50
分鍾
D.14
小時
5.
甲、乙兩車運一堆貨物。若單獨運，則甲車運的次數比乙車少
5
次；如果兩車合運 ，
那麼各運
6
次就能運完，甲車單獨運完這堆貨物需要多少次？
A.9 B.10 C.13 D.15
6.
某計算機廠要在規定的時間內生產一批 計算機，如果每天生產
140
臺，可以提前
3
天完成；
如果每天生產
120
臺，
要再生產
3
天纔能完成，
問規定完成的時間是多 少天？
A.30 B.33 C.36 D.39
7.
甲、乙兩 單位合做一項工程，
8
天可以完成。先由甲單位獨做
6
天後，再由兩單位合< br>做，結果用
6
天完成了任務。如該工程由乙單位獨做，則需多少天纔能完成任務？
A.8 B.12 C.18 D.24
8.
甲
1
天 做的工作等於乙
2
天做的工作，等於丙
3
天做的工作。現有一工程，甲
2
天
可完成。問乙與丙合作要多少天完成？
A.12
天
B.5
天
C.2.4
天
D.10
天
9.
一只木桶，上方有兩個注水管，單獨打開第一個，
20
分鍾可注滿木桶；單獨打開第< br>二個，
10
分鍾可注滿木桶。若木桶底部有一個漏孔，水可以從孔中流出，一滿桶水用< br>40
分鍾流完。問當同時打開兩個注水管，水從漏孔中也同時流出時，木桶需經過多長
時 間纔能注滿水？
A.8
分鍾
B.9
分鍾
C.10
分鍾
D.12
分鍾
10.
一個游泳池，甲管注 滿水需
6
小時，甲、乙兩管同時注水，注滿要
4
小時。如果只
用乙管 注水，那麼注滿水需多少小時？
A.14 B.12 C.10 D.8
答案及解析：
1.
中公解析：
本題答案選
C
。< br>原來的工作效率為
100
畝
/
天，
提高
25%
後則每天播種
125
畝，剩餘的
1000
畝需要
8
天播完 ，因此可以提前
2
天完成任務。
3.
中公解析：本題答 案選
D
。設每人每天乾活
1
個單位，那麼，題意可以理解為
15人
乾活需要乾滿
20
天。因為有
5
個人另乾了
3
天，即相當於
15
個人乾了一天的活，所
以
15
人現在只需乾活< br>20-1
＝
19
天。
6.
中公解析：本 題答案選
D
。生產的計算機總量不變，每天生產
120
臺比每天生產
140
臺多用
6
天，
故每天生產
140
臺需要
12 0×6÷(140
-120)=36
天，
故規定時間為
36+3=39
天。本題也可用方程法求解。
第三章
典型解题技巧
一，十字相乘法—本质就是一个简化方程
※
算出来的是总量比，如要算单位比，再除以单价。
二，构造设定法（与极端思维法配合使用）
根据题目要求，直接进行构造，如有必要 ，可以回头验证构造结果。我们构造的只是
满足题目的情况之一，不是唯一。
三，极端思维法（当题干中出现至多，至少，最多，最少，最大，最小时）
使用极端构造思维构造极端思维时可能得到的是非整数解：
如果题目问最大时，就往小取整；如果题目问最小时，就往大取整。
四，枚举列举法
1.
直接枚举说满足条件的所有情况（当满足条件情况较少时用）
2.
当答案要求数字很大时，我们可从较小的数字出发，总结归纳出通用规律
N
条直线可将平面分割成
n(n+1)/2
个部分
（2
，
4
，
7
，
11,16,22,29,37,46, 56
）差为（
2,3,4,5,6,7,8,9,10
）
五，逆向 思维法（除以
2
，加
1
→减
1
，乘以
2
）
1.
逆向推导型：将运算过程完全颠倒，从后往前逆推。
2.
正反互补型：若“正面”不好求解，用总体剔除与之互补的“反面”求解。
十字相乘法：
十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。但是，如果使用不对，就会犯错。
（一）原理介绍
通过一个例题来说明原理。
某班学生的平均成绩是
80
分，其中男生的平均成绩是
75
，女生的平均成绩是
85
。
求该班男生和女生的比例。
方法一：男生一人，女生一人，总分
160
分，平均分
80
分。男生和
女生的比例是
l : 1
。
方法二：假设男生有
A
，女生有
B
。
( A * 75 + B85 ) / ( A
十
B ) = 80
整理后
A = B
，因此男生和女生的比例是
1 : 1
。
方法三：
男生：
75
5
80
女生：
85
5
男生：女生
= 1 : l
。
一个集合中的个体，只有
2
个不同的取值，部分个体取值为
A
，剩余部分取值为
B
。
平均值为
C
。
求取值为
A
的个体与取值为
B
的个体的比例。
假设
A
有
x
,
B
有
（
1
一
X
）。
AX + B ( 1
一
X ) = C
X =
（
C
一
B ) / ( A
一
B )
1
一
X =
（
A
一
C ) / A
一
B
因此：
X : ( l
一
X ) = ( C
一
B ) : ( A
一
C )
上面的计算过程可以抽象为：
A
C
一
B
C
B
A
一
C
这就是所谓的十字相乘法。
十字相乘法使用时要注意几点：
第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。
第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。
1
．某体育训练中心，教练员中男占
90 %
，运动员中男占
80 %
，在教练员和运动员
中男占
82 %
，教练员与运动员人数之比是
：
A 2: 5
B l: 3
C 1: 4
D l: 5
答案：
C
，分析：
男教练：
90 %
2 %
82 %
男运动员：
80 %
8 %
男教练：男运动员＝
2 % : 8
％
= 1
：
4
2
．某公司职员
25
人，每季度共发放劳保费用
15000
元，己知每个男职必每季度发
580
元，每个女职员比每个男职员每季度多发
50
元，该公司男女职员之比是多少
A . 2: 1
B 3: 2
C 2: 3
D.1: 2
答案：
B
分析：职工平均工资
15000 / 25 = 600
男职工工资：
580
30
600
女职工工资：
630
20
男职工：女职工＝
30 : 20 = 3 : 2
3
．
某城市现在有
70
万人口，
如果
5
年后城镇人口增加
4
%
，
农村人口增加
5
.
4
%
，
则全市人口将增加
4 . 8
％。现在城镇人口有（）万。
A 30
B 31.2
C 40
D 41.6
答案
A
分析：城镇人口：
4 %
0.6 %
4.8 %
农村人口：
5.4 %
0.8 %
城镇人口：农村人口
=0.6 %
：
0.8
％
=3 : 4
70 * (3 / 7 ) = 30
4
．某班男生比女生人数多
80
%
，一次考试后，全班平均成级为
75
分，而女生的平
均分比男生的平均分高
20 %
，则此班女生的平均分是：
A 84
分
B 85
分
C 86
分
D 87
分
答案：
A
分析：假设女生的平均成绩为
X
，男生的平均
Y
。男生与女生的比例是
9
：
5
。
男生：
Y
9
75
女生：
X
5
根据十字相乘法原理可以知道，
X=84
5
．某高校
2006
年度毕业学生
7650
名，比上年度增长
2
%
．其中本科毕业生比上年
度减少
2 %
．而研究生毕业数量比上年度增加
10 % ,
那么，这所高校今年毕业的本科
生有：
A 3920
人
B 4410
人
C 4900
人
D 5490
人
答案：
C
分析：去年毕业生一共
7500
人。
7650 / ( 1 + 2 % ) = 7500
人。
本科生：
-2 %
8 %
2%
研究生：
10 %
4 %
本科生：研究生
=8 % : 4 % = 2 : 1
。
7500 * ( 2 / 3 ) = 5000
5000 * 0.98 = 4900
6
资料分析：
根据所给文字资料回答
121
一
125
题。
2006
年
5
月份北京市消费品市场较为活跃，实现社会消费品零售额
272 . 2
亿元，
创今年历史第二高。据统计，
l-5
月份全市累计实现社会消费品零售额
1312.7
亿元，
比去年同期增长
12 . 5
％。
汽车销售继续支撑北京消费品市场的繁荣。
5
月份，
全市机动车类销售量为
5.4
万辆，
同比增长
23.9
％。
据对限额以上批发零售贸易企业统计，
汽车类商品当月实现零售额
32 .3
亿元，占限额以上批发零售贸易企业零售额比重的
20.3
％。
据对限额以上批发零售贸易企业统计，
5
月份，家具类、建筑及装潢材料类销售延续
了
4
月份的高幅增长，持续旺销，零售额同比增长了
50
％。其中，家具类商品零售
额同比增长
27.3
%
，建筑及装演材料类商品零售额同比增长
60.8
％。同时由于季节
变换和 节日商家促销的共同作用，家电销售大幅增长，限额以上批发零售贸易企业家
用电器和音像器材类商品零 售额同比增长
13.6
％。
121
．北京市
2006
年
5
月份限额以上批发零售贸易企业社会消费品零售额占社会消
费品零售总 额的百分比约为：
A . 50.5 % B . 58.5 % C , 66.5 % D . 74.5 %
答案：
B
分析：
( 32.3 / 2 0.3 % ) / 272.2
。结果和
160 / 270
相当。接近
60
％。所以选
B
。
122
．若保持同比增长不变，预计北京市
2007
年前
5
个月平均每月的社会消费品零
售额：
A
．将接近
255
亿元
B
，将接近
280
亿元
C
．将接近
300
亿元
D
．将突破
300
亿元
答案：
C
分析：
( 1312.5 / 5 ) * ( l + 12.5 %
）。
12.5
％
=l / 8
。（
1312.5 * 9 )
/ 40
接近
300
。
123 2006
年
5 < br>月份，限额以上批发零售贸易企业中，家具类商品零售额占家具类和
建筑及装演材料类商品零售额 的比例是：
A
.
27.4
%
B
.
29.9
%
C
.
32.2
%
D
.
34.6
%
答案：
A
分析：两种方法。
方法一：比较常规的做法假设
2005
年家具类所占比例为
X
。
X * ( l + 27.3 % ) + ( l
一
X ) * ( l + 60.8 % ) = l + 50 %
X = 32.2
％。
【
32.2 % * ( l + 27.3 % )
】
/
【
32.2 % * ( l + 27.3 % ) + ( l
一
32.2 % ) * ( 1
+ 60.8 % 0 )
】
= 27.4 %
整个过程计算下来，至少
5
分钟。
方法二：十字相乘法原理．最快．
家具
27.3 %
，近似为
27 %
建筑
60.8 %
，近似为
61
％。
家具：
27 %
11%
50 %
建筑：
61 %
23 %
家具：建筑＝
11 % : 23
％大约等于
1 : 2
。注意这是
2006
年
4
月份的比例。
建筑类
2006
年所占比例为：
l * ( l + 27.3 % ) / [ 1 * ( l + 27.3 % ) + 2 * ( l
+ 60.8 % ) = 1 . 27 / ( 1.27 + 3.2 ) = 1.27 / 4.5 = 28
％。和
A
最接近。
124
．下列说法正确的是：
1 . 2006
年
1-5
月份北京市每月平均社会消费品零售额比去年同期增长
12.5 %
11 . 2006
年
5
月份家具类、建筑及装潢材料类、家电类限额以上批发零售贸易企业
零售额的增长率相比较，建筑及装潢材料类增长最快
1ll . 2005
年，北京市机动车类销售量约为
4.36
万辆
A
．仅
1
B
．仅
11
C . I
和
11
D . II
和
111
答案：
C
分析：
1
一
5
月份全市累计实现社会消费品零售额
1312 .7
亿元，比去年同期增长
12.5
％。累计增长
A/B
＝同比增长（
A/5 ) / ( B / 5
）。
I
正确
,11
正确，文中直
接找答案。
5.4 / ( 1 + 23.9 %
）约等于
4.36
。
125
．下列说法肯定正确的是：
A . 2006
年前
5
个月中，
5
月份的社会消费品零售额最高
B . 2006
年
5
月，几类商品的零售额都比前
4
个月高
C . 2006
年
5
月，限额以上批发零售贸易企业零售额比前
4
个月都高
D ．至少存在一类商品，其
2006
年前
5
个月的零售额同比增长不高于< br>12.5%
，答案：
D
分析：
1
一
5
月份全市累计实现社会消费品零售额
1312.7
亿元，比去年同期增长
12.5
%
，而
5
月份各类零售增长率都超过了
12.5
％。因此可以肯定，至少存在一类
商品，其
2006
年前
5
个月的零售额同比增长不高于
12.5
％。
构造题型题目解析：
当题干中出现“至少……(才
)
保证……”、 “至少……”、“最……最多
(
少)……”、
“排名第……最多
(
少 )”等字眼时，均可判定该题为最值问题。
常见题型：
1.
最不利构造：
特征：至少
(
最少)……保证；方法：答案
=
最不利的情形
+1
。
2.
多集合反向构造：
特征：都……至少……；方法：反向、加和、做差。
3.
构造数列：
特征：最……最……，排名第……最……；方法：构造一个满足题目要求的数列
2012-
河北
42.
要把
21
棵桃树栽到街心公园里
5
处面积不同的草坪上，
如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪上至少要栽几棵？
(
)
A.7
B.8
C.10
D.11
【答案】
A
【解析】本题属 于构造数列题型。要使面积最大的草坪栽种的树最少，就要保证
其他的草坪栽种的树最多，设面积最大的 草坪至少栽种
X
棵，则其他的草坪可栽种
X
－
1,X
－2,
X
－
3,X
－
4
棵，
则X
＋
X
－
1
＋
X
－
2
＋X
－
3
＋
X
－
4=21
，
即
5X
－
10=21
，
X=6.2
，
而
X
必 须取整数，所以
X=7
。因此，答案选择
A
选项。
2011-
河北
-44.
某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考 试，第一次得
90
分以上
的学生为
70%
，第二次是
75%
，第三次是
85%
，第四次是
90%
，请问在四次考试中都是
90
分以上的学生至少是多少？
(
)
A.40%
B.30%
C.20%
D.10%
【答案】
C
【解析】设共有
100
人考试， 则得
90
分以上的同学依次有
70
、
75
、
85< br>、
90
人，
因此没过
90
分的依次有
30
、
25
、
15
、
10
人，
则没过
90
分的最多有
30+25+15+10=80(
人
)
，
故
9 0
分以上的至少有
100-80=20(
人
)
，占
20%< br>。因此，答案选择
C
选项。
2010-
河北
-39.
某中学初二年级共有
620
名学生参加期中考试，
其 中语文及格的有
580
名，
数学及格的有
575
名，
英语及 格的有
604
名，
以上三门功课都及格的至少有多
少名同学？
(
)
A.575
B.558
C.532
D.519
【答案】
D
【解析】要使三门功课都及 格的人数最少，则需要三门功课的人中，每人都只有
一门不及格，不及格的人数总数为
(620 -575)+(620-580)+(620-604)
＝
101(
人
)，故三
门功课都及格的人数最少为
620-101
＝
519(
名
)
。因此，答案选择
D
选项。
20 09-
河北
-108.100
名村民选一名代表，候选人是甲、乙、丙三人，每人只能 投票
选举一人，
得票最多的人当选。
开票中途累计前
61
张选票中，
甲得
35
票，
乙得
10
票，
丙得
16票。在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就一定当选？
(
)
A.11
B.12
C.13
D.14
【答案】
A
【解 析】本题属于构造数列题型。甲至少再得多少票就一定当选的意思就是票数
最多的甲最少得多少张票。我 们可以发现对甲最有竞争力的就是丙，所以最极端的情
况就是甲取得了
x
票，剩下的< br>39-x
全部投给了丙，这样甲也当选了。即满足
35+x
＞
16+3 9-x
，即
2X
＞
20
，
X
＞
10
，所以甲至少要得
11
张。因此，答案选择
A
选项。
第四章
方程与不等式
方程法是整个数学运算的第一重要方法（通常可知列不求）
主要题型：盈亏问题，鸡兔同笼问题，和差倍比问题，牛吃草问题
一，基本方程思想（巧设未知数，快速解方程）
1.
当方程有小数或是分数而计算复杂时，同乘化整。
2.
方程组中若存在多个未知数，尽量消去无关未知数，保留所求未知数。
3.
方程中存在一些无关未知数，完全可以作为整体直接消去。
4.
比例型的方程形式，可能存在很好的化简方法。
5.
未知数转变且无法消除时，可直接令
x=0
得到答案。
6.
若题目中存在
xy
这样的乘积项，先化简或消掉。
（
1
）
A/B=C/D
→
A+C/B+D=A-C/B- D(
当两个分子或分母的和或差为常数时
)
（
2
）
A/ B=C/D
→
A
±
B/B=C
±
D/D
→
A/B
±
A=C/D
±
C
（条件同上）
整体解方程—整体代换，无需求出每一个未知数。
逆向解方程—倒推法。
二，
不定方程（组）
--
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多元不定方程或方程组：特值代入法；
二元不定方程：带入试值法，令最复杂的一项为“
0
”
；
三，不等式—直接解出满足不等式的范围
列出不等式，找好是“＞”还是“≥”，是“＜”还是“≤”
。
四，盈亏与鸡兔同笼问题
列方程，解方程是最高效，最准确的方法。
五，和差倍比
第五章
基础运算模块
一，
纯粹计算问题
基本公式：
a
²
- b
²
=
（
a+b
）
（
a-b
）
；
a+b
≥
2
跟下
ab
；
ab
≤（
a+b/2
）²→（
a-b
）²≥
0
；
(a
±
)
²
= a
²
+2ab+b
²；
a*b*c
≤（
a+b+c/3
）³
a
的
m次方
*a
的
n
次方
=a
的
m+n
次方 ，
a
的
m
次方的
n
次方
=a
的
m *n
次方；
（
a*b
）的
n
次方
= a
的
n
次方
+b
的
n
次方
※
弃九法※（当整数范围内
+
，
-
，
*
三种运算方法中可使用）
1.
在计算中，将计算过程中数字全部除以
9
，留其余数进行相同的计算；
2.
计算中如有数字不在
0
—
8
之间，通过加上 或减去
9
或
9
的倍数调整到
0
—
8
之间；
3.
将选项除以
9
留其余数，与上面计算结果对照，得到答案。
注意循环数的求法，因数分解！
※
裂项相消公式
B/M*(M+A)=(1/M-1/M+A)*B/A
(
“小分之一”减去“大分之一”乘以二者差分之分子
)
在比较复杂的计算中，将相近的数化为相同，从而作为一个整体相抵消
乘 方尾数的算法：地鼠留个位，指数除以
4
，留余数，余数为零，去
4
！
1.
直接计算题；
2.
弃九推断；
3.
乘法 分配率；
4.
循环数字；
5.
比较大小；
6.
裂项相消；
7.
整体消去；
8.
乘方尾数。
二，运算拓展模型
1.
定义运算：
X
Φ
Y,X
△
Y
，
2.
抽象函数
f
（
x
）
3.
恒等变换；
4.
二次方程；
5.
极值求解
一，
数列综合运算
1.
等比数列：
设首项为
；末项为
,
项数为
,
公差为
,
前
项和为
则有:①
②
③
=
平均数
*
项数< br>=
中位数
*
项数；
④
其中
：
通项公式：
等差数列奇数项求和
=
项数²
2.
等比数列
等比数列求和公式：
an=a1*q^(n-1)
第六章
计数问题模块
一，容斥原理
（一）两集合容斥原理
1.
当题目中出现①满足条件
A
的数目，②满足条件
B
的数目，③同时满足
A
，
B
的数
目，④条件
A,B
都不满足的数目，⑤总数
公式：满足
A+
满足
B-
满足
A,B+A
，
B
都不满足=
总数
2.
若出现：只满足条件
A
或只满 足条件
B
→用两集合图示标数。
（二）三集合容斥原理
1.
关于满足两个条件的描述，如果题目只涉及①满足
A
，
B
条件；②满足
B
，
C
条件；
③满足
A
，
C
条件的数目→标准公式
2.
若题目涉及“只满足条 件
A
，
B
的数目”，一般采用三集合图示标数；
3.
若题目涉及“满足一个条件的数目”和“满足两个条件的数目”；
只给出一个总数而不是分项数字，一般用“三集合整体重复型”。
※标准型公式：
1.
两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B
-
A∩B (∩：重合的部分）
2.
三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C
-
A∩B
-
B∩C
-
C∩A +A∩B∩C
如左边代表至少满足三个条件之一的情况，
也等于总数减去三个条件都不满足的情况；
（三）三集合图示标数型
1.
特别注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区别；
2.
特别注意有没有“三个条件都不满足”的情况；
3.
标数时，注意从中间向外围标记。
（四）三集合整体重复型
在三 集合容斥题型中，假设三个条件的元素数量分别是
A,B,C,
而至少满足三个条件之
一的元素的总量为
W
；其中：满足一个条件的元素数量为
X
，满足两个人条件 的元素数
量为
Y
，满足三个条件的元素数量为
Z
。
①
W=X+Y+Z;
②
A+B+C=X*1+Y*2+Z*3
详细推理：
1
、
等式右边改造
= {[
（
A+B -
A∩B）
+C -
B∩C]
-
C∩A }+ A∩B∩C
2
、文氏图分 块标记如右图图：
1245
构成
A
，
2356
构成
B
，
4567
构成
C
3
、等式右边（）里指的是下图的
1+2+3+4+5+6
六部分：
那么
A∪B∪C
还缺部分
7
。
4
、等式 右边
[]
号里
+C
（
4+5+6+7
）后，相当于
A∪B∪C
多加了
4+5+6
三部分，
减去
B∩C（即< br>5+6
两部分）后，还多加了部分
4
。
5
、等式右边
{}
里减去
C∩A （即
4+5
两部分）后，A∪B∪C
又多减了部分
5
，
则加上
A∩B∩C（即
5
）刚好是
A∪B∪C。
如图所示：
二，基础排列组合
加法原理
排列：与顺序有关，
乘法原理
组合：与顺序无关，
排列公式：
组合公式：
逆向公式：满足条件的情况—不满足条件的情况数。
三，拓展排列组合
1.
相邻问题—捆绑法—先考虑相邻元素，然后将其视为一个整体考虑；
2.
不邻问题—插孔法—先考虑剩余元素，然后将不邻元素进行插孔（路灯熄灭问题）
3.
错位配列—
0,1,2,9,44,256
；
4.
重复剔除型
平均分租时，一旦有
N
个组人数相同，最 后都要除以
Ann
以剔除重复情况，
例：将
6
个人平均分成
3
组，请问一共有多少种分法？
C62*C42*C22/A33=15
5.
圆桌排列：
N
个人排 成一圈，有
Ann/n=
（
n-1
）！种方法；
6.分配插板型（将
M
个元素，分到
N
组，每组至少分一个），
Cm -1
，
n-1
需满足条件：①元素相同，②分配到不同的组，③每个组至少分一个（三者缺一不可）
①
如果没有至少分到一个，只说把
6
个苹果分到
3
组，可以先借三个苹果没人分
一个，再按照公式去分；
②
如果 题干说至少分得
N
的元素，则分给每组
N-1
元素，构造成每组至少分得一< br>个的情况。
经典例题分析：
难点：
⑴从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；
⑵限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）
准确理解；
⑶计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；
< br>⑷计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具
有较强的分析 能力。
例题
【例
1
】
从
1
、
2
、
3
、……、
20
这二十个数中任取三个不同 的数组成
等差数列
，这样
的不同
等差数列
有多少个？
分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设
a,b,c
成等差，∴ 2b=a+c，可知
b
由
a,c
决定，
又∵
2b
是偶数，
∴
a,c
同奇或同偶，
即：
分别从
1
，
3
，
5
，
……，
19
或2
，
4
，
6
，
8
，
……，
2 0
这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，
A
（
10,2< br>）
*2=90*2
，因
而本题为
180
。
【例
2
】
某城市有
4
条东西街道和
6< br>条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只
能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M
到
N
有多少种不同的走法
?
分析：对实际背景的分析可以逐层深入：
（一）从
M
到
N
必须向上走三步，向右走五步，共走八步；
（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；
（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右；
从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数。
∴ 本题答案为：
C
（
8,3
）
=56
。
分析
分析是分类还是分步，是排列还是组合
注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合。
【例3
】
在一块并排的
10
垄田地中，
选择二垄分别种植
A
，
B
两种作物，
每种种植一垄，
为有利于作物生长，要求
A
，
B
两种作物的间隔不少于
6
垄，不同的选法共有多少种？
分析：条件中“要求
A
、
B
两种作物的间隔不少于
6
垄”这个条件不容易用一个包含排
列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
第一类：
A
在第一垄，
B
有
3
种选择；
第二类：
A
在第二垄，
B
有
2
种选择；
第三类：
A
在第三垄，
B
有
1
种选择，
同理
A
、
B
位置互换
，共
12
种。
【例
4
】从
6
双 不同颜色的手套中任取
4
只，其中恰好有一双同色的取法有多少种？
（
A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析：显然本题应分步解决。
（一）从
6
双中选出一双同色的手套，有
6
种方法；
（二）从剩下的十只手套中任选一只，有
10
种方法。
（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有
8
种方法；
（四）由于选取与顺序无关，因（二）（三）中的选法重复一次，因而共
240
种。< br>
或分步
⑴从
6
双中选出一双同色的手套，有
C< br>（
6,1
）
=6
种方法
⑵从剩下的
5双手套中任选两双，有
C
（
5,2
）
=10
种方法
⑶从两双中手套中分别拿两只手套，有
C
（
2,1
）×C（< br>2,1
）
=4
种方法。
同样得出共⑴×⑵×⑶=240
种。
【例
5
】
．
身高互不相同的
6
个人排成
2
横行
3
纵列，
在第一行的每一个人都比他同列
的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为
_______
。
分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排 队
方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有
C
（
6,2
）×C （
4,2
）×C（
2,2
）
=90
种。
【例
6
】在
11
名工人中，有
5
人只能当钳工，
4
人只能当车工，另外
2
人能当钳工也
能当车工。现从
11
人 中选出
4
人当钳工，
4
人当车工，问共有多少种不同的选法
? 分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前
后统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：这两个人都去当钳工，
C
（
2,2
）×C（
5,2
）×C（
4,4
）
=10
种；
第二类：这两个人都去当车 工，
C
（
5,4
）×C（
2,2
）×C（
4,2< br>）
=30
种；
第三类：这两人既不去当钳工，也不去当车工
C
（
5,4
）×C（
4,4
）
=5
种。
第四类：这两个人一个去当钳工、一个去当车工，
C
（
2,1
）×C （
5,3
）×C（
4,3
）
=80
种；
第五类：这两个人一个去当钳工、另一个不去当车工，
C
（
2,1
）×C（< br>5,3
）×C（
4,4
）
=20
种；
第六 类：这两个人一个去当车工、另一个不去当钳工，
C
（
5,4
）×C（
2,1
）×C（
4,3
）
=40
种；
因而共有
185
种。
【例
7
】现有印着
0
，
1
，
3
，
5
，
7
，
9
的六张卡片，如果允许
9
可以作
6
用，那么从中
任意抽出 三张可以组成多少个不同的三位数
?
分析：有同学认为只要把
0
，
1
，
3
，
5
，
7
，
9
的排法数乘 以
2
即为所求，但实际上抽出
的三个数中有
9
的话才可能用
6
替换，因而必须分类。
抽出的三数含
0
，含
9
，有
32
种方法；
抽出的三数含
0
不含
9
，有
24
种方法；
抽出的三数含
9
不含
0
，有
72
种方法；
抽出的三数不含
9
也不含
0
，有
24
种方法。
因此共有
32+24+72+24=152
种方法。
【例< br>8
】停车场划一排
12
个停车位置，今有
8
辆车需要停放，要 求空车位连在一起，
不同的停车方法有多少种
?
分析：把空车位看成一个元素，和< br>8
辆车共九个元素排列，因而共有
A
（
9,9
）
=3 62880
种停车方法。
特殊优先
特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。
【例
9
】六人站成一排，求
⑴甲、乙既不在排头也不在排尾的排法数
⑵甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
分析：⑴按照先排出首位和末尾再排中间四位分步计数
第一步：排出首位和末尾、因 为甲乙不在首位和末尾，那么首位和末尾实在其它四位
数选出两位进行排列、一共有
A
（
4,2
）
=12
种；
第二步：由于六个元素中已经有两 位排在首位和末尾，因此中间四位是把剩下的四位
元素进行顺序排列，
共
A
（
4,4
）
=24
种；
根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共
12×24=288
种。
⑵第一类：甲在排尾，乙在排头，有
A
（
4,4
）种方法。
第二类：甲在排尾，乙不在排头，有
3×A（
4,4
）种方法。
第三类：乙在排头，甲不在排尾，有
3×A（
4,4
）种方法。
< br>第四类：甲不在排尾也不在排头，乙不在排头也不在排尾，有
6×A（
4,4
） 种方法（排
除相邻）。
共
A
（
4,4
）+3×A （
4,4
）+3×A（
4,4
）+6×A（
4,4
）
=312
种。
【例
10
】对某件产品的
6
件不 同正品和
4
件不同次品进行一一测试，至区分出所有次
品为止。若所有次品恰好在第五 次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可
能
?
分析：本题意指第五次测试 的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测
试应算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次测试的有
C
（
4,1
）种可能；
第二步：前四次有一件正品有
C
（
6,1
）中可能。
第三步：前四次有
A
（
4,4
）种可能。
∴ 共有
576
种可能。
捆绑与插空
【例
11
】
8
人排成一队
⑴甲乙必须相邻
⑵甲乙不相邻
⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻
⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻
⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻
分析：⑴甲乙必须相邻，就是把甲乙
捆绑（甲乙可交换）
和
7
人排列
A
（
7 ,7
）×A
（
2
，
2
）
⑵甲乙不相邻，
A
（
8,8
）
-A
（
7,7
）×2。或< br>A
（
6,6
）×A(7,2)
⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻 ，先求甲乙必须相邻且与丙相邻
A
（
6,6
）×2×
2
甲 乙必须相邻且与丙不相邻
A
（
7,7
）×2
-A
（
6,6
）×2×2
⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻
A
（
6,6
）×2×2
< br>⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻，
A
（
8,8
）
-A
（< br>7,7
）×2×2+A（
6,6
）×2×2
【例
1 2
】某人射击
8
枪，命中
4
枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同 的情况
?
分析：∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另 外
没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的
5
个空中选出
2
个的
排列，即
A
（
5,2
）。
【例
13
】
马路上有编号为
l
，
2
，
3
，……，
10
十个路灯，为节约用电又看清路面，
可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三 只，在两端的灯也不能关
掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种
?
分析：即 关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题
为在
7
盏亮 着的灯形成的不包含两端的
6
个空中选出
3
个空放置熄灭的灯。∴ 共
C
（
6,3
）
=20
种方法。
方法二：
把其中的
3
只灯关掉总情况有
C
（8
，
3)
种
关掉相邻的三只有
C
（
6
，
1)
种
关掉相邻的两只有
2*C
（
7
，
2)-12
种
所以满足条件的关灯方法有
:
C
（
8
，
3)-C
（
6
，
1)-[2*C
（
7
，
2)-12]
=56-6-(42-12)
=20
种
间接计数法
⑴排除法
【例
14
】三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形
?
分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。
所求问题的方法数
=
任意三个点的组合数
-
共线三点的方法数，
∴ 共
76
种。
【例
15
】
正方体
8
个顶点中取出
4
个，可组成多少个四面体
?
分析：所求问题的方法数=
任意选四点的组合数
-
共面四点的方法数，
∴ 共
C
（
8,4
）
-12=70-12=58
个。
【例
16
】
1
，
2
，
3
，……，
9
中取出两个分别作为
对数
的底数和真数，可组成多少个不
同数值的 对数
?
分析：由于底数不能为
1
。
⑴当
1
选上时，
1
必为真数，∴ 有一种情况。
⑵当不选
1
时，从
2--9
中任取两个分别作为底数，真数，共A
（
8,2
）
=56
，其中
log2
为底4=log3
为底
9
，
log4
为底
2=log9为底
3,log2
为底
3=log4
为底
9,log3
为底
2=log9
为底
4.
因而一共有
56-4+1=53
个。
【例
17
】
六人排成一排，要求甲在乙的前面，
（不一定 相邻），共有多少种不同的方
法
?
如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢
?
分析：（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法
数。因而有
A(6
，
6)/2=360
种。
（二）先考虑六人全排列
A(6,6)
种；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，
因而前面的排法数重 复了
A(3,3)
种，
∴ 有
A(6
，
6)/A(3,3)=120
种。
【例
18
】
5
男
4
女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有 多少种不同的方
法
?
分析：首先不考虑男生的站位要求，共
A
（< br>9,9
）种；男生从左至右按从高到矮的顺序，
只有一种站法，因而上述站法重复了A(5,5)
次。因而有
A(9,9,)/A(5,5,)=9×8×7×6=3024< br>种
若男生从右至左按从高到矮的顺序，
只有一种站法，
同 理也有
3024
种，
综上，
有
6048
种。
【例
19
】
三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法
?
分析：先认为 三个红球互不相同，共
A
（
5,5
）
=120
种方法。
而由于三个红球所占位置相同的情况下，
共
A
（
3,3
）
=6
变化，
因而共
A
（
5,5
）
/A
（
3,3
）
=20
种。
公式
P
是指排列，从
N
个元素取
R
个进行排列（即排序）。
（
P< br>是旧用法，教材上多用
A
，
Arrangement)
公式
C
是指组合，从
N
个元素取
R
个，不进行排列（即不排序）。
挡板的使用
【例
20
】
10
个名额分配到八 个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法
?
分析：把
10
个名 额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置
放置档板，则每一种放置方式就相当 于一种分配方式。因而共
36
种。
区别与联系
所有的排 列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段（排序）
可转化为排列问题。
【例
21
】用数字
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
组成没有重复数字的四位数，
⑴可组成多少个不同的四位数
?
⑵可组成多少个不同的四位
偶数
⑶可组成多少个能被
3
整除的四位数
?
分析：⑴有
A（
6,4
）
-A
（
5,3
）
=300
个。
⑵分为两类：
0
在末位，则有
A
（
5,3< br>）
=60
种：
0
不在末位，则有
C
（
2,1
）×A（
5,3
）
-C
（
2,1
）×A（
4,2
）
=96
种。
∴ 共
60+96=156
种。
⑶先把四个相加能被
3
整除的四个数从小到大列举出来，即先选
0
，
1
，
2
，
3
0
，
1
，
3
，
5
0
，
2
，
3
，
4
0
，
3
，
4
，
5
1
，
2
，
4
，
5
它们排列出来的数一定 可以被
3
整除，再排列，有：4×[A（
4,4
）
-A
（< br>3,3
）
]+A
（
4,4
）
=96
种。
分组问题
【例
22
】
5
名学生分配到< br>4
个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学
生参加，则分配方法共有多少 种？
分析：（一）先把
5
个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。
其中涉及到平均分成四组，有
C
（
5,3
）
=10
种分组方 法。可以看成
4
个板三个板不空
的
隔板法
。
（二 ）再考虑分配到四个不同的科技小组，有
A
（
4,4
）
=24
种，
由（一）（二）可知，共
10×24=240
种。
几何问题
【例
23
】某区有
7
条南北 向街道，
5
条东西向街道（如右图）
⑴图中共有多少个矩形？
⑵从
A
点到
B
点最近的走法有多少种？
分析：⑴ 在
7
条竖线中任选
2
条，
5
条横线中任选
2
条，这样
4
条线
可组成
1
个矩形，故可组成矩形
C
（
7,2
）·C（
5,2
）
=210
个
⑵每条东西向的街道被分成
4
段，每条南北向的街道被分成
6
段 ，从
A
到
B
最短的走
法，
无论怎样走，
一定包括< br>10
段，
其中
6
段方向相同，
另外
4
段方向 相同，
每种走法，
即是从
10
段中选出
6
段，这
6
段是走东西方向的，共有
C
（
10,6
）
=C
（< br>10,4
）
=210
种
走法（同样可以从
10
段中选 出
4
段走南北方向，每一种选法即是
1
种走法）。所以共
有
210
种走法。
口诀
排列、组合、二项式定理公式口诀：
加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。
[4]
两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。
排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。
不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。
关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。
四，概率问题（基于排列组合）
（一）基础计算题
（二）分步乘法型
=
满足条件的每个步骤的概率之积（猜密码）；
（三）分类加法型
=
总体概率
=
满足条件的各种情况概率之和（比赛问题）；
（四）逆向计算型
=
某条件成立概率
=1-
该条件不成立 的概率；
（五）拓展技巧型
1.
几何概率：满足条件的概率
=
满足条件的几何区域面积（总几何面积）；
2.
条件概率：
“
A
成立”
时，
“B
成立”
的概率
=
“
A,B
同时成立的概率
/ A
成立的概率”
；
3.
概率期望值：各个实现值乘以各自成立的概率，最后再相加。
五，抽屉原理
1.
最不利原则：考虑对于需要满足的条件的“最不利情况”，最后加“
1
” 即可；
2.
遇到有排列组合的，先算出排列组合再算最不利原则。
第七章
比例计算模块
一，溶液问题—基本方法—十字相乘（注意饱和溶液陷阱）
1.
混合稀释型
③
溶液倒出比例为
a
％的溶液，再 加入相同的溶液，则浓度变为：
1-a
％；
④
溶液加入 比例为
a
％的溶液，再倒出相同的溶液，则浓度变为：
1/1+a
％
2.
在浓有关度问题中，
有类题目不涉及具体溶液总量，
只涉及溶 质和溶液的相对比例，
通常令其中的“不变量”或者“相等量”为一特值，简化计算过程。
< br>行测考试中，“溶液问题”是一类典型的“比例型”计算问题，大家首先要熟悉“溶
液”、“溶质 ”和“溶剂”三者的关系，这是解题的基础和关键，然后考生还需掌握
溶液问题常用的方法和技巧，比如 方程法，赋值法等。
一、需要掌握的关键点
溶液
=
溶质
+
溶剂
;
浓度
=< br>溶质÷溶液
;
溶质
=
溶液×浓度
;
溶液
=
溶质÷浓度
二、重点题型
溶质不变型
(
简单溶液混合、等溶质增减溶剂、溶液比例问题
)
溶质变化型
(
混合稀释问题
)
饱和浓度型
三、重点方法
简单溶液混合：运用溶液基本概念或基础公式
等溶质增减溶剂：设处溶质，得出溶液，即可解决
溶液比例问题：运用设整思想，根据所给条件将溶质或者溶液设出
溶质变化混合稀释问题：抓住浓度本质，看溶质最后剩下多少就能快速得到答案
四、例题巩固
1
、溶质不变型
例：一容器内有浓度为
30%
的糖水，若再加入
30< br>千克水与
6
千克糖。则糖水的浓
度变为
25%
。问原来糖水中 含糖多少千克
?( )
A.15
千克
B.18
千克
C.21
千克
D.24
千克
【答案】
B
< br>【讲授说明】方程法。设原有糖水里糖为
3X
，则糖水的质量为
10X
，
(3X+6)÷(10X+36)=25%。可知
3X=18
，原有糖水中含糖18
千克。
2
、溶质变化型
例：杯中原有浓度为
18%
的盐水溶液
100ml
，重复 以下操作
2
次，加入
100ml
水，
充分配合后，倒出
10 0ml
溶液，问杯中盐水溶液的浓度变成了多少
?
A.9% B.7.5% C.4.5% D.3.6%
【答案】
C
【讲授说明】加入比例为
1
，则浓度为：18%×(1/2)2=4.5% ,选择
C
。
小结：等于混合稀释型溶液问题，需记得下列两个公式：
溶液到出比例为
M
的溶液，再加入相同的溶液，则浓度变成原来的
(1-M)
溶液加入比例为
M
的溶剂，再倒出相同的溶液，则浓度变成原来的
1/1+M
3
、饱和浓度型
例：将
28g
某种溶质放入
99g
水中恰好配成饱和溶液，从中取出溶液加入
4g
溶质
和
11g
水，
请问此时浓度
A.21.61% B.22.05% C.23.53% D.24.15%
【答案】
B
【讲授说明】由于
99g水最多可溶解
28g
溶质，则
11g
水最多可溶解
28/9g< br>溶质，
即小于
4g
的溶质，因此饱和溶液加入
4g
和
11g
谁为饱和溶液，故浓度为
28/(28+99)=22.05%
。
小结：判断溶液的浓度，首先要判断溶液是否饱和。特别是题目中出现“饱和”< br>字眼，或再次加溶质的问题，一定要判断溶液是否饱和。
二，牛吃草问题
经典公式：原有草量
=
（牛头数
-
每天草长量）
*
天数
草长速度
=
（牛头数
1*
吃草时间
1-
牛头数
2*
吃草时间
2
）
/
（吃草时间
1-
吃草时间
2
）
①
基本公式题型
牛头数
*
天数
=
原有草量
+
每天草长量
*
天数；
当题干出现“连续不断的开采”或“不至于枯竭”时，指的是时间整无穷大；
②
牛羊混吃型
将其全部转化为牛或羊，再代入公式进行计算；
③
自然消亡型（不用牛吃草也可以自行消亡）
当计算出草长量为负数时，则不是自然生长，而是自然消亡；
④
大小草场型
如果草场有面积区别“如
m
头牛吃
w
亩草”，则
N
用
m/w
表示；
将题干转换成
m/w
头牛，一亩地，吃多长时间；
⑤
增添型或撤减型
N
出现阶段性变化，则先算出总量，再根据：时间
*
（牛头数
-
草长速度）来计算；
⑥
特殊变形
售票厅或收银员问题（针对好每个量对应牛吃草中的含义）；
行测秒杀技巧之
“牛吃草”问题
【含义】
“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这
类问题的特点在 于要考虑草边吃边长这个因素。
【数量关系】
草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数
【解题思路和方法】
解这类题的关键是求出草每天的生长量。
例
1
一块草地，
10
头牛
20天可以把草吃完，
15
头牛
10
天可以把草吃完。问多少
头牛< br>5
天可以把草吃完？
解
草是均匀生长的，所以 ，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头
牛
5
天可以把草吃完”，就是 说
5
天内的草总量要
5
天吃完的话，得有多少头
牛？
设每头牛每天吃草量为
1
，按以下步骤解答：
（
1
）求草每天的生长量
因为，一方面
20
天内 的草总量就是
10
头牛
20
天所吃的草，即（
1
×
10
×
20
）；另一
方面，
20
天内的草总量又等于原有草 量加上
20
天内的生长量，所以
1
×
10
×
20
＝原有草量＋
20
天内生长量
同理
1
×
15
×
10
＝原有草量＋
10< br>天内生长量
由此可知
（
20
－
10
）天内草的生长量为
1
×
10
×
20
－
1×
15
×
10
＝
50
因此，草每天的生长量为
50
÷（
20
－
10
）＝
5
（
2
）求原有草量
原有草量＝
10
天 内总草量－
10
内生长量＝
1
×
15
×
10
－
5
×
10
＝
100
（
3
）求
5
天内草总量
5
天内草总 量＝原有草量＋
5
天内生长量＝
100
＋
5
×
5< br>＝
125
（
4
）求多少头牛
5
天吃完草
因为每头牛每天吃草量为
1
，所以每头牛
5天吃草量为
5
。
因此
5
天吃完草需要牛的头数
125
÷
5
＝
25
（头）
答：需要
5
头牛
5
天可以把草吃完。
例
2
一只船有一个漏洞，
水以均匀速度进 入船内，
发现漏洞时已经进了一些水。
如果有
12
个人淘水，
3小时可以淘完；如果只有
5
人淘水，要
10
小时才能淘完。求
1 7
人几小时可以淘完？
解
这是一道变相的“牛吃草” 问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当
于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1
，按以下步骤计算：
（
1
）求每小时进水量
因为，
3
小时内的总水量＝
1
×
12
×
3＝原有水量＋
3
小时进水量
10
小时内的总水量＝
1
×
5
×
10
＝原有水量＋
10
小时进水量
所以，（
10
－
3
）小时内的进水量为
1
×
5
×
10
－
1
×
12
×
3
＝
14
因此，每小时的进水量为
14
÷（
10
－
3
）＝
2
（
2
）求淘水前原有水量
原有水量＝
1
×
12
×
3
－
3
小时进水量＝
36
－
2< br>×
3
＝
30
（
3
）求
17
人几小时淘完
17
人每小 时淘水量为
17
，因为每小时漏进水为
2
，所以实际上船中每小时减少的水量
为（
17
－
2
），所以
17
人淘完水的时间是
30
÷（
17
－
2
）＝
2
（小时）
答：
17
人
2
小时可以淘完水。
华图差量法解读牛吃草：
牛吃草问题是公务员考试中比较难的一类问题， 常规的解决牛吃草问题的办法是牛
吃草公式，即
y=
（
N-x
）×< br>T
，其中
y
代表原有存量（比如原有草量），
N
代表促使原< br>有存量减少的外生可变数
（比如牛数）
，
x
代表存量的自然增长速度< br>（比如草长速度）
，
T
代表存量完全消失所耗用时间。注意此公式中默认了每头 牛吃草的速度为
1
。运用此
公式解决牛吃草问题的程序是列出方程组解题，具体过程不 再详细叙述，接下来我们
从牛吃草公式本身出发看看此公式带给我们的信息。
牛吃草公式可以变形为
y+Tx=NT
，
此式子表达的意思是原有 存量与存量增长量之和
等于消耗的总量，而一般来说原有存量和存量的自然增长速度是不变的，则在此假 定
条件下我们可以得到
x
△
T=
△
(NT)
，此式子说明两种不同吃草×方式的该变量等于对应
的两种长草方式的改变量，而且可以看出草生长的 改变量只与天数的变化有关，而牛
吃草的改变量与牛的头数和天数都有关。
这个式子就是差量法 解决牛吃草问题的基础。
例如：
例
1
、有一 块牧场，可供
10
头牛吃
20
天，
15
头牛吃
10
天，则它可供多少头牛吃
4
天？（
）（
2003
年广东公务员考试行测第
14
题）
A
、
20
B
、
25
C
、
30
D
、
35
< br>这道题目用差量法求解过程如下：设可供
x
头牛吃
4
天。则
1 0
头牛吃
20
天和
15
头牛吃
10
天两种吃法的改 变量为
10
×
20
—
15
×
10,
对应的 草生长的改变量为
20
—
10
；
我们还可以得到
15
头牛吃
10
天和
x
头牛吃
4
天两种吃法的改变量为
15
×
10
—
4x,
对应
的草生长的改变量为
1 0
—
4
。则我们可以列出如下的方程：
=
，解此方程可得
x=30
。
如果求天数，求解过程是一样的，比如下面这道题目：
例2
、林子里有猴子喜欢吃的野果，
23
只猴子可以在
9
周内吃光 ，
21
只猴子可以
在
12
周内吃光，问如果有
33
只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速
度不变）（
）（
20 07
年浙江公务员考试行测
A
类第
24
题）
A
、
2
周
B
、
3
周
C
、
4
周
D
、
5
周
这道题目可设需要
x
周吃光，则根据差量法列出如下比例式：
=
，解此方程可得
x=4.
以上两种情况 是最常规的牛吃草问题，实际上牛吃草问题还有很多变形，比如有
些时候牛吃草的速度会改变，但是依然 可以用差量法解决。
例
3
、一个水库在年降水量不变 的情况下，能够维持全市
12
万人
20
年的用水量。
在该市新迁入< br>3
万人之后，该水库只够维持
15
年的用水量，市政府号召节约用水，希
望能将水库的使用寿命提高到
30
年。那么，该市市民平均需要节约多少比例的水才能
实现政府制定的目标？（
）（
2009
年国家公务员考试行测试卷第
119
题）
A
、
2/5
B
、
2/7
C
、
1/3
D
、
1/4
这道题 目设该市市民需要节约
x
比例的水才能实现政府制定的目标。
则
12
万人
20
年和
15
万人
15
年两种吃水方式的差为
12
×
20
—
15
×
15
，
对应的降水量 的改变量为
20
—
15
；
15
万人
30
年 与
15
万人
15
年两种吃水方式的差为
15
×（
1
—
x
）×
30-15
×
15
，
对应的降水 量的改变量为
30
—
15
，则可列出如下的比例式：
=
，解此方程得
x=2/5
。
如果改变的是草生长的速度一样可以用差量法解答。例如下面的例子：
例
4
、
在春运高峰时，
某客运中心售票大厅站满等待买票的旅客，< br>为保证售票大厅
的旅客安全，大厅入口处旅客排队以等速度进入大厅按次序等待买票买好票的旅客 及
时离开大厅。按照这种安排，如果开出
10
个售票窗口，
5
小时可 使大厅内所有旅客买
到票；如果开出
12
个售票窗口，
3
小时可使大 厅内所有旅客买到票，假设每个窗口售
票速度相同。如果大厅入口处旅客速度增加到原速度的
1 .5
倍，在
2
小时内使大厅中
所有旅客买到票，按这样的安排至少应开售票窗 口数为（
）（
2008
年江苏公务员考
试行测试卷
C类第
19
题）
A.15
B.16
C.18
D.19
此 题设至少应开售票窗口数为
x
。
10
个售票窗口
5
小时可使 大厅内所有旅客买到
票和开出
12
个售票窗口
3
小时可使大厅内所有 旅客买到票两种方式票的差量为
5
×
10
—
3
×
1 2
，对应的旅客差量为
5-3
；
10
个售票窗口
5
小时可使大厅内所有旅客买到票和
大厅入口处旅客速度增加为原速度
1.5
倍时开出< br>x
个售票窗口
2
小时可使大厅内所有
旅客买到票这两种方式的差量为< br>5
×
10
—
2x
，对应的旅客差量为
5-2
×
1.5
，则可列出
下列比例式：
=
解得
x=18
。
除了上述两种变 形的情况以外，还有另外一种变形的牛吃草问题，即改变原有草
量。此种类型的题目表面上看似乎不能用 差量法解了，实际上经过简单的变换后依然
可以用差量法解答，比如：
如果
22
头牛吃
33
公亩牧场的草，
54
天后可以 吃尽，
17
头牛吃
28
公亩牧场的草，
84
天可以吃尽，那 么要在
24
天内吃尽
40
公亩牧场的草，需要多少头牛？（
）
A
、
50
B
、
46
C
、
38
D
、
35
根据题意我们可以知道
40
公亩牧场吃
54
天 需要
22
×
40
÷
33=80/3
头牛，
而
40
公
亩牧场吃
84
天需要
17
×
40
÷
28=170/7
头牛，列出差量法的比例式如下：
=
，解得
x=35
。
本例子中 出现了不是整头牛的情况，不太容易理解，实际上把消耗量的整体看作
一个整体的话，牛的数目并不重要 ，只要计算出消耗草的能力即可。
综上所述，差量法是一种比牛吃草公 式更为简捷的办法，而且对于所有变形的牛
吃草问题都适用，是一种很值得推广的方法。
核心公式
【熟记】
牛吃草问题的核心公式：草场草量
=
（牛数－每天长草量
)×
天数，通常设每
天长草量为
x
基础题型演练
【例
1
】有一块牧场可供10
头牛吃
20
天；
15
头牛吃
10
天；则它 可供
25
头牛吃？天
【解答】
根据核心公式 ：（
10
－
x)×
20=
（
15
－
x)×
10=
（
25
－
x)×
？
（
10
－
x)×
20=
（
15
－
x)×10 →x=5
将
x=5
代入，
?=5
【例
2
】有一块牧场，可供
10
头牛吃
20
天；
15
头牛吃
10
天；则它可供
?
头牛吃
4
天
【解答】
根据核心公式：（
10
－
x)×
20=
（
15
－
x)×
10=
（
?
－
x)×
4
（
10
－
x)×
20=
（
15
－
x)×10→x=5
将
x=5
代入，
?=30
较为复杂的情形
【例
3
】
22
头牛吃
33
公亩牧场的草 ，
54
天可以吃尽；
17
头牛吃
28
公亩牧场的草，
84
天可以吃尽；
？头牛吃
40
公亩牧场的草，
24
天可以吃尽？
A.50 B.46 C.38 D.35
【解答】
设每公亩牧场每天新长出来的草可供
x
头牛吃
1
天，每公亩牧草量为
y
根据核心公式：
33y=
（
22
－
33x )×54→y=
（
2
－
3x)×
18=36
－
54x
28y=
（17
－
28x)×84→y=
（
17
－
28x)× 3=51
－
84x
40y=
（
?
－
40x)×
24
36
－
54x=51
－
84x→x=1/2→y=9
40×
9=(?-
20)×24→?=35
其它情形
：漏水问题，排队等候问题
...
等均可看作这种问题。
三，钟表问题
1.
钟表一圈分成
12
格，则时针每小时转一格
30
°，分针
12
格
/
小时；< br>
2.
钟表表面每两格之间
30
°，时针与分针成某种角度都有对称的两种；
3.
重合问题的实质是追击问题
4.
快钟，慢钟问题，根据标准时间进行对比（常用比例法）；
时钟问题是一类古典题型 ，在行测考试中经常出现。有关时钟问题的题目中，考查得
比较多的是表盘计算与快慢钟计算问题，在本 文中，华图公务员
[
微博
]
考试研究中心
将给出解决这两类问题的思 路方法。
1.
表盘计算
表盘计算，主要涉及的是时间和指针(
通常是时针和分针
)
角度的对应关系。我们知道，
n
点时，分针与时针之间的角度为
30n
度
(
这个度数是指分针沿顺时针方向 到时针的度
数
)
；同时，时针每分钟走
0.5°，分针每分钟走
6° ，所以过
m
分时，分针比时针多
走度
(6-0.5)m=5.5m
， 因此，
n
点
m
分时，时针和分针之间的角度就应该是
30n-5.5 m
度
(
这个度数仍然是指分针沿顺时针方向到时针的度数
)
。
这样，我们就得到了关于表盘计算的核心公式：
n
点
m
分，时针 和分针之间的角度为
30n-5.5m
度，利用该公式，我们可以轻松解决很多行测考试中的表 盘指针计算问题。
关于该公式的使用，需注意以下两点：
1.
该公式算出的 度数为分针沿顺时针方向到时
针的度数，因此，若算出的角度为负数，则取其绝对值；若算出的角度大于
180°，则
用
360°减去该角即可；
2.
当时间为
12
点时，取
n=12
或
n=0
皆可，但为了计算方便，
往往取
n=0
。
【例
3
】
(
黑龙江
2010)
张某下午六时多外出买菜，出门时看手表，发现表的时针和分
针的夹角为< br>110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是
110°，那么
张某外出 买菜用了多少分钟？
(
)
A.20
分钟
B.30
分钟
C.40
分钟
D.50
分钟
[
答案
]C
2.
快慢钟计算
钟表问 题中，常常涉及到的第二类问题就是快慢钟问题。快慢钟的产生，是因快
(
慢
)
钟走的速度与标准钟走的速度不同导致的，所以，快慢钟问题本质上是比例行程问题，
解决快慢钟问题 的关键，是抓住不同钟表的“速度比”。
【例
1
】
(
深圳 事业单位
2010)
火车速度为
118
千米
/
时，一位旅客 的手表比标准时间每
小时要慢
1
分钟，则在该旅客手表所显示的
2
小 时内，火车跑了大约
(
)
千米。
A.230 B.236 C.240 D.248
[
答案
]C
【例
2
】
(
河北
2009)
一个快钟每小时比标准 时间快
3
分钟，一个慢钟每小时比标准时
间慢
2
分钟。如果将两个钟 同时调到标准时间，结果在
24
小时内，快钟显示
11
点整
时，慢钟 显示
9
点半。则此时标准时间是
(
)
A.10
点
35
分
B.10
点
30
分
C.10
点
15
分
D.10
点
06
分
[
答案
]D
【例
3
】
(
浙江
2010)
有一只怪钟，每昼夜设计成
10
小时，每小时
100
分钟。当这只怪
钟显示
5
点时，实际上是中午
12
点，当这只怪钟显示
8
点
50
分钟 ，实际上是什么时
间？
(
)
A.17
点
50
分
B.18
点
10
分
C.20
点
04
分
D.20
点
24
分
[
答案
]D
由以上例题可以看出，处理“已知时间，求角度”的问题，直接使用表盘计算公式计
算即可，而在处 理“已知角度，求时间”的问题时，分析出分针沿顺时针方向到时针
的度数是正确使用表盘计算公式的关 键之处。
而对于快慢钟问题，首先需根据已知条件找出不同钟表的“速度比”，再根据“速度
比”求出题目中要求的时间。
只要掌握了以上两种问题的处理方法，便能轻松应对行测考试中的时钟问题了。
第八章
初等数学模块
一，
最大公约数和最小公倍数（短除法）
1.
小数分数型
①
将给定的小数和分数乘以
N
（可以不是整数），使之全部变为整数；
②
求第一步得到的整数的最大公约数和最小公倍数；
③
将得到的最大公约数和最小公倍数分别除以
N
，即是结果；
2.
约数个数型
如果将一个数进行质因数分解，
把各个 质因数的幂次分别加
1
，
再相乘，
得到的数字就
是这个数字的约数的 个数，最小公约数为
1
，最大公约数为自己
例如：
360=2³
*3
²
*5
，共有（
3+1
）
*
（
2+1
）
*
（
1+1
）
=24
个约数；< br>
二，多位数字问题
代入排除法：逐位选择型（考虑各个位置可以选择的范围，利用排列组合）
页码数字型：利用公式
三位数页码公式—页码
=
字数÷
3+36
，
多位数表示型：
100a+10b+c
；
三，余数同余问题
1.
代入排除法，
2.
余数等式型：被除数
=
除数
*
商
+
余数（
0
≤余数＜除数）
3.
余同加余，和同加和，差同补差，公倍数做周期
4.
经典题型：
在
1000
以内除以
3
余
2
，除以
7
余
3
，除以
11
余
4
的数共有几个？