黄山毛峰冲泡方法-两年后

2021年1月19日发(作者：邢承国)

有理数的运算
有理数的加法

将一个或多个有理数的值相加的过程叫有理数的加法，如：
23+64+52=139

分析理解

|


与小学加法的联系
有理数的加法 与小学的加法大有不同
,
小学的加法不涉及到符号的问题
,
而有理数的加法运算总是涉及到两个问题
:
一是确定结果的符号
;
二是求结果的绝对值
.

法则理解

在进行有理数加法运算时
,
首先判 断两个加数的符号
:
是同号还是异号
,
是否有
0.
从而确< br>定用那一条法则
.
在应用过程中
,
一定要牢记

先符号
,
后绝对值

熟练以后就不会出错了
.

法则拓广

多个有理数的加法
,
可以从左向右计算
,
也可以用加法的运算定律计算
,
但是在下笔前一
定要思考好
,
哪一 个要用定律哪一个要从左往右计算
.

有理数加法
法则

Ⅰ
.
同号两数相加
,
取相同的符号
,
并把绝对值相加
.

[

Ⅱ
.
异号两数相加，
绝对值相等时，和为零，
绝对值不等时，
取绝对值较大的数的符号，
并用较大的绝对值减去较小的 绝对值

Ⅲ
.
一个数与
0
相加
,
仍得这个 数
.

运算律

1
、有理数的加法同样拥有交换律和结合律
(
和整数得交换律和结合律一样
)
用字母表示
为
:
交换律
:a+b=b+a
两个数相加，交换加数的位置，和不变。

结合律
:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
。

2
、三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

有理数的加法解析

一般地，同号两数相加有下面的法则：

~

同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

一般地，异号两数相加有下面的法则：



异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

另外，有理数相加还有以下法则：

互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数。

有理数相加的例子：

两个有理数相加，有多少种不同的情形

为此，我们来看一个大家熟悉的实际问题：

。

足球比赛中赢球个 数与输球个数是相反意义的量．
若我们规定赢球为
“
正
”
，
输球为
“
负
”
，
打平为
“0”
．比如，赢
3
球记为
+3
，输
1
球记为
-1
．学校足球队在一 场比赛中的胜负可能有
以下各种不同的情形：

(1)
上半场赢了
3
球，下半场赢了
1
球，那么全场共赢了
4
球．也就是

(+3)+(+1)=+4
．

(2)
上半场输了
2
球，下半场输了
1
球，那么全场共输了
3
球．也就是

(-2)+(-1)=-3
．

现在，请同学们说出其他可能的情形．

答：上半场赢了
3
球，下半 场输了
2
球，全场赢了
1
球，也就是

(+3)+(-2)=+1
；

#

上半场输了
3
球，下半场赢了
2
球，全场输了
1
球，也就是

(-3)+(+2)=-1
；

上半场赢了
3
球下半场不输不赢，全场仍赢
3
球，也就是

(+3)+0=+3
；

上半场输了
2
球，下半场两队都没 有进球，全场仍输
2
球，也就是

(-2)+0=-2
；

上半场打平，下半场也打平，全场仍是平局，也就是

0+0=0
．

-

上面我们列出了两个有理数相加的
7
种不同情形，并根据它们的 具体意义得出了它们
相加的和．
但是，要计算两个有理数相加所得的和，我们总不能一直用这种 方法．
现在请同
学们仔细观察比较这
7
个算式，
你能从中发现有理数 加法的运算法则吗也就是结果的符号怎
么定绝对值怎么算

1
．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2
．绝对值 不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去
较小的绝对值，互为相反数的 两个数相加得
0
；

3
．一个数同
0
相加，仍得这个数．

有理数的加法与小学 的加法大有不同，小学的加法不涉及到符号的问题，而有理数的
加法运算总是涉及到两个问题：一是确定 结果的符号；二是求结果的绝对值。



在进行有理数加法运算时，
首先判断两个加数的符号：
是同号还是异号，
是否有
0
。
从
而确定用那一条法则。
在应用过程中，
一定要牢记

先符号，
后绝对 值

熟练以后就不会出错
了。

多个有理数的加法，可以从左向右计算 ，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔
前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。

要点

￥

同号相加不变
,
异号相加变 减
.
欲问符号怎么定
,
绝对值大号选。

在进行有理数加法运算时，一般采取：

1.
是互为相反数的先加（抵消）；

2.
同号的先加；

3.
同分母的先加；

4.
能凑整数的先加
;

5.
异分母分数相加
,
先通分
,
再计算
.

。

6.
几个数相加能得到整数的可以先相加。

记忆口诀

有理加法不含糊

同号异号分清楚

如果两数号相同

绝对相加号相从

如果两数号相异

大绝来把小绝去

结果符号大绝替

（


有理数减法
有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。其中： 两变：减法运算变加法运算，减数变
成它的相反数。一不变：被减数不变。可以表示成：

a
－
b=a+
（－
b
）。

表达式
:

a-b=a+(-b)

例题
1
：

计算：
1
、（
-3
）
-
（
-5
）
=

2
、
0-7=



3
、（）
=

[

4
、
0-
（
-8
）
=

例
2
：
数轴上
A
、
B
、
C
、
D< br>所表示的有理数分别是
+1
、
+3
、
-2
、
-4
，用有理数减法的算
式分别表示以下两点间的距离。

（
1
）
A
、
B
两点。

（
2
）
C
、
D
两点。

（
3
）
A
、
D
两点。

（
4
）
D
、
C
两点。

例
3
、
世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约是
8844
米，吐鲁 番盆地的海
拔高度大约是－
155
米．两处高度相差多少米

解：< br>8844-
（
-155
）
=8844+155=8999
（米 ）

答：两处高度相差
8999
米

：

（强调解题格式）

练习

1.
两个有理数相减，是否存在
“
不够减
”
的问题呢

差一定小于被减数吗
2.
若
a
与
b
两数相减，差是负数，则
a 。

小结

有理数乘法


有理数乘法法则即两数 相乘，
同号得正，
异号得负，
并把绝对值相乘。
任何一个数与
0相乘，积仍为
0
。有理数乘法运算律即分配律、结合律、交换律。用字母表示为：
ab=ba
、
a(bc)=(ab)c
、
a(b+c)=ab+ac
。

符号法则
:

两数相乘，同号得正，异号得负

&

具体步骤：

（
1
）两数相乘，同号得正，异 号得负，并把绝对值相乘。例：
（
-5
）
×
（
-3
）
= +
（
5 x 3
）
特殊运用
:

任何数与
0
相乘，积仍为
0

=15
（
-6
）
×4= -
（
6 x 4
）
= -24

（
2
）任何数与
0
相乘，积为
0.
例：
0×1=0

（
3
）
几个不等于
0< br>的数相乘，
积的符号由负因数的个数决定。
当负因数有奇数个数时，
积为负数； 当负因数有偶数个数时，积为正数。并把其绝对值相乘。例：（
-10
）
×
〔
-5
〕
×
（）
×
（
-6)=
积为正数，而 （
-4
）
×
（
-7
）
× (-25
）
=
积为负数

（
4
）几个数相乘，有一个因数为
0
时，积为
0.
例：
3×
（
-2
）
×0=0
（
5
）乘积为一的
两个有理数
互为倒数
（
reciprocal
）。例 如，
—
3
与
—
1/3
，
—
3/8
与
—
8/3

(5)0
没有倒数


< br>(6)
如果有两个有理数的乘积为
1
，那么称其中一个数为另一个数的倒数（< br>reciprocal)
，
也称这两个有理数互为倒数。例如：
3
与< br>3
分之一互为倒数，负八分之三与负三分之八互为
倒数。

]

[
同号得正，异号得负
]

重点：运用有理数乘法法则正确进行计算。

难点：有理数乘法法则的探索过程，符号法则及对法则的理解。

1
、

创设问题情景：由于长期干旱，水库放水抗旱。每天放水
2< br>米，已经放了
3
天，
现在水深
20
米，
问放水抗旱前 水库水深多少米学生：
26
米。
教师：
能写出算式吗学生：
……教师：这涉及有理数乘法运算法则，正是我们今天需要讨论的问题（教师板书课题）

2
、

小组探索、归纳法则

（
1
）出示以下问题，
学生以组为单位探索。
以原点为起点，
规定向东的方向为正方向，
向西的方向为负方向。
a. 2 ×3
看作向东运动
2
米，
×3
看作向原方向运动
3
次。结果：向

运
动

米
2 ×3= b. -2 ×3-2
看作向西运动
2
米，
×3
看作向原方向运动
3
次。
结果：
向

运动

米
-2 ×3=
c. 2 ×
（
-3）
2
看作向东运动
2
米，
×
（
-3
）
看作向反方向运动
3
次。
结果：
向

运动

米
2 ×
（
-3
）
= d.
（
-2
）

×
（
-3
）
-2看作向西运动
2
米，
×
（
-3
）看作向反方向运动3
次。结果：向

运动

米（
-2
）

×
（
-3
）
= e
．被乘数是零或乘数是零，结果是人仍在原处。

（
2
）
学生归纳法则
a.
符号：
在上述
4
个式子中，
我们只看符号 ，
有什么规律
（
+
）
×
（
+
）
=
（

）

同号得

（
-
）
×
（
+
）
=
（

）

异号得

（
+
）
×
（
-
）
=
（

）

异号得

（
-
）
×
（
-
）
=
（

）

同号得

b.
积的绝对值等于

。
c.
任何数与零相乘，积仍为

。

（
3
）师生共同用文字叙述有理数乘法法则。

（

3
、

运用法则计算，巩固法则。

（
1
）教师按课本
P75
例
1
板书，要求学生述说每一步理由。

（
2
）引导学生观察、分析例
1
中

（
3
）小题两因数的关系，得出两个有理数互为倒数，它们的积为
1
。

（
4
）学生做

P76
练习
1
的①、③两题，教师评析。

（
5
）教师引导学生做
P75
例
2
，让学生说出 每步法则，使之进一步熟悉法则，同时让
学生总结出多因数相乘的符号法则。多个因数相乘
,< br>积的符号由

决定
,
当负因数个数有

,
积
为

；

当负因数个数有

,
积为

；只要有一个因数为零
,
积就为

。

4
、

讨论对比，
使学生知识系统化。

有理数乘法

有理数加法

同号

得正

取相同的符
号

把绝对值相乘（
-2
）
×
（
-3
）
=6
把绝对值相加（
-2
）
+
（
-3
）
=-5
异号

得负

取绝对值大
的加数的符号

把绝对值相乘（
-2
）
×3= -6
（
-2
）
+3=1
用较大的绝对值减小的绝对值

任何数
与零

得零

得任何数

5
、

分层作业，巩固提高。



六、

教学反思：
本节课由情景引入，使学生迅速进入角色，很快投入到探究 有理数
乘法法则上来，提高了本节课的教学效率。在本节课的教学实施中自始至终引导学生探索、


归纳，
真正体现了以学生为主体的教学理念。
本节课特别注重过程教学 ，
有利于培养学生的
分析归纳能力。
教学效果令人比较满意。
如果是在法则运 用时，
编制一些训练符号法则的口
算题，效果可能更好。。

相关题目

计算：

1
）（
-54
）×
（）
×
（
-100/21
）
×
（
- 2
）
=

2
）（
-4
）
X
（
-5
）
X ==5

3
）

100 X
（
-3
）
X
（
-5
）
X =(-300)X(-5)==15

4
）（
1/9 - 1/6 - 1/18
）
X 36=(-1/18-1/18)X36=-1/9X36=-4

5
）（
1/4 - 1/2 - 1/8
）
X 128=(-1/4-1/8)X128=-3/8X128=-48

—


有理数除法法则

法则一、除以一个不等于
0
的数等于乘这个数的倒 数。（注意：
0
没有倒数）公式：
a÷b=a×1/b

法则二、两 数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（
0
除以任何一个非
0
的数 ，都得
0
）

说明
: 0
没有倒数

（< br>1
）
0
除以任何一个不等于
0
的数，都等于
0
。

（
2
）
0
在任何条件下都不能做除数。

（
3
）
0
没有倒数。

$$

（
4
）倒数是它本身的数是
1
和
-1
。

（
5
）同号得正，异号得负。

（
6
）除以一个不为
0
的数等于乘这个数的倒数。

运算公式

a÷b=a×1/b
（
b≠0)

一般步骤

1.

两个有理数相除时，首先确定商的符号，其次确定商的绝对值。

2.
有理数除法运算的步骤：（
1
）
“÷”
改为
“×”
，除 数变倒数；（
2
）乘法运算。

—


有理数乘方



求相同因数的积叫做乘方（
involu tion
）。乘方运算的结果叫幂（
power
）。正数的任何
次幂都是正数 ，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
[1]

表示

2
2
、
7
3
也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读 作
“2
的
2
次幂
”
、
“7
的
3< br>次幂
”
，其中
2
与
7
叫做底数（
base< br>）
,2
与
3
叫做指数（
exponent
）。

这种求
n
个相同因数
a
的积运算叫做
乘方
（< br>power
），乘方的结果叫做
幂
（
power
），
a
叫做底数（
base number
），
n
叫指数（
ex ponent
）。任何数的
0
次方都是
1
，例：
3º=1< br>（注：
0º
无意义）

(2^5=2*2*2*2*2)
[2]


？

1
、重点：在理解有理数乘方意义的基础上进行有理数的乘方运算。

2
、难点：与所学知识进行衔接，处理带各种符号的乘方运算。

创设情境
:

①听音频资料，通过《棋盘上的学问》一则故事，引入问题：< br>64
个二相乘怎么计算吸
引学生注意，为下文引入乘方的概念铺垫。

师：到底国王傻不傻呢大家先别急着下结论，等大家学完了本节课程，就能回答这个
问题了。

②请大家看细胞分裂示意图，由计算并用算式表示出第一次，第二次，第三次，第
n
次 分裂后细胞的个数，引入乘方的概念。

师：有些时候，我们会遇到几个相同因数相乘的式子， 比如五个
2
相乘，我们要写很
长，这样的式子有更简单的表示方式吗

①什么叫乘方

|

求

个相同因数的积的运算叫乘方

②用字母怎么表示读作什么

③每个字母表示什么

分别请学生回答相关的问题，培养学生自主学习的能力。

注：

①乘方是一种和加减乘除一样的一种运算；

②指数
n
要以小写的形式写于底数的右上角；

③了解乘方的意义，从幂转为乘。

（
3
）了解乘方的指数，底数，幂的定义



、

乘方的结果叫做幂；在中，叫做底数，叫做指数。

明确了表示
a
的幂的这个式子的结构之后，做几道口答题。看屏幕，用基础题来调动
学生参与讨论 回答的积极性，为后续学习热身。

性质

正数的任何次幂都是正数，负数的 奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，
0
的任何正
整数次幂都得
0.

例题

某种细胞每过
30
分便由一个分裂成
2
个。 经过
5h
，这种细胞由一个能分裂成多少个

解答：
1
个细 胞
30min
后分裂成
2
个，
1h
后分裂成
2×2
个，后分裂成
2×2×2
个
……

5h
后要分裂< br>10
次，分裂成
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1 024
（个）

^

为了简便，可将
2×2×2×2×2× 2×2×2×2×2
记为
2¹
º
。

有理数混合运算法则

有理数的运算顺序：

有理数的混合运算法则即先算乘方或开方，

再算乘法或除法，后算
加法或减 法。有括号时、先算小括号里面的运算，再算中括号，然后
算大括号。

[5
×（
4-5+5
）
]÷5

=
（
5
×
4
）
÷5

=4

运算律：


^


①加法的交换律：
a+b=b+a
；

②加法的结合律：
(a+b)+c=a+(b+c)
；

③乘法的交换律：
ab=ba
；


④乘法的结合律：
(ab)c=a(bc)
；




⑤乘法对加法的分配律：
a(b+c)=ab+ac
；


注：除法没有分配律。

有理数的加减混合运算
的几个技巧
:

小学生进入初中以后，接触了 正，负数，很多同学觉得数学的知识增
加了很多。
但一开始学习有理数加减混合运算，
他们发现很容易犯错
误，而且在运算过程中有时不知所措。
有理数的运算是初中数学中的基础< br>运算，
熟练地掌握有关的运算技巧，
巧妙地运用有关数学方法，
是提高运算速度
和准确性的必要保证．下面介绍一些运算技巧．

一、

、

二、

归类运算

进行有理数的加减运算时，
运用交换律、
结合律归类加减，
常常可以使运算
简捷．如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分 母与同分母结合等．

1
1
) +
－
(7
)
．

4
2
1
1
1
1
1
解法一：－－
(
－
3
) +
－
(7
) = (
－

+

+ (3
－
7
) =
－
4
=
－
2
．

4
2
4
2
4
1
1
1
1
1
解法二：－－
(
－
3
) +
－
(7
) =
－

+ 3
+
－
7
= (3 + 2
－
7 ) + (
－

+
+

4
2
4
2
4
例
1

计算：－－
(
－
3
1
－
=
－
2
．

2
评析：
解法一是小数与小数相结合，
解法二整数与整数结合，
这样 解决了既含分数又含
小数的有理数加减运算问题．
同学们遇到类似问题时，
应学会灵活 选择解题方法．
将同类数
（如正数或负数）归类计算。

练习
: < br>计算：


2


3

1



3


2



4

。

解：原式


3

1< br>
2






2
< br>


3




4
< br>


—










6



9












3
。

将分母相同或易于通分的数结合。



计算：解：原式


12


5
5


5
11


5



2

10


6
24


9
18

5
1

13

8
6
13










5

24









7
二、
凑整数法。
在式子中若既有分数又有小数，
有些数相加后能凑
出整数，这样做的目的是使得运算简 便

将和为整数的数结合计算。

/

例
2

计算：
36.54

22

82
63.46
。

解：原式


36.54
< br>63.46


22

82










100

22

82










122

82










40

将相加得零的数结合计算。

计算：
5


4


6

4

3


3




2

。
原式





4


4< br>




5



3< br>



2




6< br>
3

，








0

0

9










9

“ 凑整”就是把“一些分数（或小数）凑成整数”
，把“一些整数凑成
10
的
整 倍数”
，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分
解因数、提公因数 等方法技巧。

（
1
）
19
＋
299
＋< br>3999
＋
49999

2
2
（
2
）
3.6

1994

2006.9

6

5
5
（
3
）
365

455

455

211

545

365
< br>211

545

4
3
5
1
（4
）
0.7

1

15

2


0.7


15

9
4
9
4
三、变换顺序

(



在有理数的运算中，
适当改变运算顺序，
有时可以减少运算量，
在 具体运算
过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．

5
1
2
7
＋
(
－
)]
＋
[(< br>－
)
＋
6
]
．

12
7
7
12
5
1
2
7
解：
[4
＋
(－
)]
＋
[(
－
)
＋
6
]

12
7
7
12
5
1
2
7
= 4< br>＋
(
－
)
＋
(
－
)
＋
6< br>
12
7
7
12
5
7
2
1
= [4
＋
6
]
＋
[(
－
)
＋
(
－
)]

12
12
7
7
3
= 11
＋
(
－
)

7
4
= 10
．

7
例
3


计算：
[4

计算：


12.5



31




|
< br>4





0.1



5


解：原式



12. 5



4


0.1

31

5



1

31


31

评析：在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等 ，适当
交换一下各数的位置，达到简化运算、快速解题的目的．


四、

逆用运算律

在处理有理数的数字运算中，
若能根据 题目所显示的结构、
关系特征，
对此
加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简 洁明快．

例
4


计算：×
37
＋×＋×
88
．

解：×
37
＋×＋×
88 =
×
37
＋×
10)
×＋×
44

=
×
37
＋×
19
＋×
44

(

=
×
(37
＋
19
＋
44)

= 1748
．

2

2

8

3< br>



2




< br>1


0.25

5

5

21

4


黄山毛峰冲泡方法-两年后

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