初中数学竞赛有理数及其运算的技巧(含答案)
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2021年01月19日 21:46
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有理数及其运算技巧
有理数运算是中学数学中一切运算的基础，准确的理 解有理数相关的概念，以
及它的运算法则、公式，并且善于根据所给题目要求，将推理与计算相结合，灵 活
巧妙的选择简捷的算法，可以很好的提高思维的敏捷性。将现实中的问题与学习中
的知识相结 合，并合理的解决它，你会发现数学的很多乐趣。
当我们认识了零、负整数和负分数后，就引 出了有理数的概念。整数（正整数、
零、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数，任何一个有理 数都可以表示
为一个既约分数
。并且，有理数可以比较大小，有
理数的和、差、积、商 （分母不为零）仍为有理数，任意两个有理数之间都有无穷
个有理数，有理数运算是中学数学中一切运算 的基础，它要求同学们在理解有理数
的有关概念、法则的基础上，能根据法则，公式等正确、迅速地进行 运算，同时还
要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解
决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。
§
1
、数轴与大小：
两个有理数的大小由它 们在数轴上对应点的位置关系来确定：对应点在右边的
数总比对应点在左边的数大。
例
1
观察图
1
中的数轴
用字母
a,b,c
依次表示点
A
，
B
，
C
对应的数，试确定
大小关系。
这三个数的
思路：由
B
点在
A
点右边，知
b-a>0
，而A
，
B
都在原点左边，故
ab>0
，又
c>0
，
这说明要比较
的大小，只需比较分母
ab,b-a,c
的大小。
解：因为
C
点在
1
的右边，所以
c>1
，
因为
A
点在
-1
与
1
，即
之间，
B
点在
与
0
之间，所以
AB
的距离大于
而小于
由同样的理由有
所以
，
。
又
ab>0,
故
从而有
0
所以
.
例
2
：设< br>a,b
是两个有理数，且
a
证明
1
：
∵ a
-a>0.
而
∴
∴
证明
2 ∵
∴
∴
∴
故
又
即
即
说明：由本例可知，任意两个不相等的有理数
a,b
之间存在一个有理数
由此可推知，任意两个有理数之间存在无限多个有理数。
§
2
、符号与括号
，
有理数运算是代数入门的重点，又是难点，怎样突破这一难点，除了要正确理
解概念和掌握运算 法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，由于负数的
引入，符号“+”与“
-
”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也
是表示正数与负数的性质符号，因此进行有 理数运算时，一定要正确运用有理数的
运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序， 从而使复杂问题
变得较简单，在此应特别注意去添括号时符号的变化。
例
3
计算
思路：不难看出这个算 式的规律是任何相邻两项之和或为
1
或为
-1
，如果按照
将第一与第 二项，第三与第四项，
......
，分别配对的方式计算，就能得到一系列
的
-1
。
解：
下面需对
n
的奇偶性进行讨论：
当
n
为偶数时，上式是
即
个（
-1
）的和，
；
个（
-1
）的和，再加上最后一项
，所
当
n
为奇数时，上式是
以有
说明：两种情况可以合并为：
例
4
计算
解法
1
原式< br>=(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+(9+10-11-12)+
…
+(19 97+1998-1999-2000)
=(-4)
×
500+2001=1
解法
2
原式
说明：以上两例说明妙添括号，有利于快速解题。
§
3
、算对与算巧
求
的 和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算
然后将两个式子的对应
下来不仅工作量很大 ，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有
这样做，他把这个算式头尾倒过来写成项相加得到
100
个
101
，
101
乘
100
再除以
2
便得到所求的和。这样不但算得对，而
且算得快，这是一个脍炙人口 的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。
例
5
计算
:
（
1
）
（
2
）
（
3
）
解：
（
1
）应用关系式
；
；
来进行“拆项”。
原式
（
2
）∵
…
，
∴
原式
=
或者用下面的“错位相减法”求和。
令
，则