天涯明月刀片尾曲-非主流情侣签名

2021年1月20日发(作者：吕飞)
圆周率
的由来

圆周率（
Pi
）是圆的周长与直径的比值， 一般用希腊字母
π
表示，是一个在
数学及物理学中普遍存在的数学常数。
π< br>也等于圆形之面积与半径平方之比。是
精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。< br>
在分析学里，
π
可以
严格地定义为满足
sin x = 0
的最小正实数
x
。

圆周率用字母

（读作pài
）表示，是一个常数（约等于
3.141592654
）
，是代< br>表圆周长和直径的比值。它是一个无理数，即无限不循环小数。在日常生活中，
通常都用
3.14
代表圆周率去进行近似计算。
而用十位小数
3.141592654
便足以应
付一般计算。
即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，
充其量也只需取 值
至小数点后几百个位。


这个符号，亦是希腊语

περιφρεια
（表示周边，地域，圆周等意思）的首
字母。
1706
年英国数学家威廉
·
琼斯（
William Jones
，
1675
－
1749
）最先使用
“π”
来表示圆周率

。
1736
年，
瑞士大数学家欧拉也开始用
表示圆周率。
从 此，
便
成了圆周率的代名词。要注意不可把
和其大写
Π
混用，后者是 指连乘的意思。

公式编辑


圆周率（
）一般定义为一个 圆形的周长（
）与直径（
）之比：
。


由相似图形的性质 可知，
对于任何圆形，
的值都是一样。
这样就定义出常数
。

第二个做法是，
以圆形半径为边长作一正方形，
然後把圆形面积和此正方形面积
的比 例订为

，即圆形之面积与半径平方之比。

定义圆周率不一定要用到几何概 念，比如，我们可以定义
为满足
最小正实数
。

的
这里的正弦函数定义为幂级数

历史发展：

实验时期


一块古巴比伦石匾
（约产于公元前
1900< br>年至
1600
年）
清楚地记载了圆周率

=
25
/8
=
3.125
。
[4]
同一时期的古埃及
文物，莱因德数学纸草书（
Rhind
Mathematical Papyrus
）
也表明圆周率等于分数
16/ 9
的平方，
约等于
3.1605
。
[4]
埃
及人似乎在更早的时候就知道圆周率了。

英国作家

John Taylor (1781
–
1864)
在
其名著《金字塔》
（
《
The Great Pyramid: Why was it built, and who built it?
》
）中指
出，造于公元前
2500
年左右的胡夫金字塔和圆周率有关。例如，金字塔的周长
和 高度之比等于圆周率的两倍，正好等于圆的周长和半径之比。公元前
800
至
600< br>年成文的古印度宗教巨著《百道梵书》
（
Satapatha Brahmana
）显示了圆周率
等于分数
339/108
，约等于
3.139
。< br>[5]

几何法时期


古希腊作为古代几何王国对圆周 率的贡献尤为突出。
古希腊大数学家阿基米
德
(
公元前
287
–
212
年
)
开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。< br>阿基米德从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为
3
，再用外接正
六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于
4
。接着，他对内接正六边形和外
接正六 边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正
12
边形和外接正
12
边形，< br>再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。
他逐步对内接正多边形和外接正多边
形的边数 加倍，
直到内接正
96
边形和外接正
96
边形为止。
最后，
他求出圆周率
的下界和上界分别为
223
/71
和
22
/7
，

并取它们的平均值
3.141851
为圆周率的
近似值。阿基米德用到了迭 代算法和两侧数值逼近的概念，称得上是
“
计算数学
”
的鼻祖。
< br>中国古算书《周髀算经》
（约公元前
2
世纪）的中有
“
径一而 周三
”
的记载，意即
取

。汉朝时，张衡得出
，即
（约为
3.162
）
。这个值不太准确，但它
简单易理解。

公元
263
年，中国数学家刘徽用
“
割圆术
”
计算圆周率 ，他先从圆内接正六边
形，逐次分割一直算到圆内接正
192
边形。他说
“< br>割之弥细，所失弥少，割之又
割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”
，包含了求极限的思想。刘徽
给出
π=3.141024
的圆周率近似值，
刘 徽在得圆周率
=3.14
之后，
将这个数值和晋
武库中汉王莽时代制造的铜制 体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验，发现
3.14
这个数值还是偏小。
于是继续 割圆到
1536
边形，
求出
3072
边形的面积，
得
到令自己满意的圆周率


。

480
年左右，
南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后
7
位的
结果，给出不足近似值< br>3.1415926
和过剩近似值
3.1415927
，还得到两个近似分数值，密率

和约率
。密率是个很好的分数近似值，要取到
才能得出比< br>略准确的
近似。
（参见丢番图逼近）

在之后的
800
年里祖冲之计算出的
π
值都是最准确的。
其中的密率在西方直
到
1 573
年才由德国人奥托（
Valentinus
Otho
）得到，
1625
年发表于荷兰工程师
安托尼斯（
Metius
）的著作中，欧洲称 之为
Metius' number
。

约在公元
530
年 ，印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为
。婆罗摩
笈多采用另一套方法，推论出圆周率等于10
的算术平方根。

阿拉伯数学家卡西在
15
世纪初求得圆周 率
17
位精确小数值，
打破祖冲之保
持近千年的纪录。德国数学家鲁道夫·
范
·
科伊伦（
Ludolph
van
Ceule n
）于
1596
年将
π
值算到
20
位小数值，后投 入毕生精力，于
1610
年算到小数后
35
位数，
该数值被用他的名 字称为鲁道夫数。

计算机时代


电子计算机的出现使
π
值计算有了突飞猛进的发展。
1949
年，
美国制造的世上首部电脑－
ENIAC
（
Electronic
圆周率

（
Numerical Integrator And Computer
）在阿伯 丁试
验场启用了。次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这
部电脑，计算出
π< br>的
2037
个小数位。这部电脑只用了
70
小时
就完成了这项 工作，扣除插入打孔卡所花的时间，等于平均两
分钟算出一位数。五年后，
IBM NORC< br>（海军兵器研究计算机）
只用了
13
分钟，就算出
π
的
3089
个小数位。科技不断进步，
电脑的运算速度也越来越快，在
60
年 代至
70
年代，随着美、
英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争，
π< br>的值也越来越精确。在
1973
年，
Jean Guilloud
和
Martin Bouyer
以电脑
CDC 7600
发现了
π
的第一百万个小数
位。

在
1976
年，新的突破出现了。萨拉明（
Eugene Salamin< br>）发表了一条新的公
式，那是一条二次收敛算则，也就是说每经过一次计算，有效数字就会倍增。 高
斯以前也发现了一条类似的公式，
但十分复杂，
在那没有电脑的时代是不可行的。< br>这算法被称为布伦特
-
萨拉明（或萨拉明
-
布伦特）演算法，亦称高斯
-
勒让德演算
法。

1989
年美国哥伦比亚大学研究人员 用克雷－
2
型（
Cray-2
）和
IBM
－
309 0/VF
型
巨型电子计算机计算出
π
值小数点后
4.8
亿位 数，后又继续算到小数点后
10.1
亿位数。
2010
年
1
月
7
日
——
法国工程师法布里斯
·
贝拉将圆周率算到小数点 后
27000
亿位。
2010
年
8
月
30
日
——
日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云
计算相结合，计算出圆周率到小数点 后
5
万亿位。

2011
年
10
月
16< br>日，日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率
计算到小数点后
10
万亿位，
刷新了
2010
年
8
月由他自己创下的
5
万亿位吉尼斯
世界纪录。
56
岁的近藤茂使用的是自己组装的计算机，从
1 0
月起开始计算，花
费约一年时间刷新了纪录。

日期

前
20
世纪

前
20
世纪

前
12
世纪

前
6
世纪中

前
3
世纪

公元前
20
年

计算者

巴比伦人

印度人

中国

圣经列王记上
7
章
23
节

阿基米德
维特鲁威
纪录

π= 3.125

π= 3.160493...

π=3

π=3

π=3.1418

π= 3.125

公元前
50
年－公元
前
23
年

130
年

150
年

250
年

263
年

480
年

499
年

598
年

800
年

12
世纪
刘歆
张衡
王蕃
刘徽
π=3.1547

π=3.162277...

托勒密
π=3.141666...

π=3.155555...

π=3.14159

3.1415926 <π< 3.1415927

祖冲之
阿耶波多
花拉子米
斐波那契
Madhava
π= 3.1416

婆罗摩笈多
π=3.162277...

π=3.1416

婆什迦罗第二
π=3.14156

π=3.141818

π=3.

π=16
位小数

π=6
位小数

π=9
位小数

π=15
位小数

π=20
位小数

1220
年

1400
年

1424
年

1573
年

1593
年

1593
年

1596
年

1615
年

1621
年

1665
年

1699
年

1700
年

1706
年

1706
年

1719
年

1723
年

1730
年

1734
年

1739
年

1761
年

1775
年

Jamshid Masud Al Kashi
Valentinus Otho
弗朗索瓦
·
韦达
Adriaan van Roomen
鲁道夫
·
范
·
科伊伦
π=32
位小数

π=35
位小数

π=16
位小数

π=71
位小数

π=10
位小数

π=100
位小数

引入希腊字母
π

π=127
位小数

（只有
112
位正确）

威理博
·
司乃耳，

范
·
科伊
伦的学生

牛顿
Abraham Sharp
关孝和
John Machin
William Jones
De Lagny
建部贤弘
Kamata
莱昂哈德
·
欧拉
松永良弼

约翰
·
海因里 希
·
兰伯特
欧拉
π=41
位小数

π=25
位小数

引入希腊字母
π
并肯定其普
及性

π=50
位小数

证明
π
是无理数

指出
π
可能是超越数

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