初中数学数与代数
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2021年01月20日 06:42
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高一地理试题-
初中数学数与代数
花园镇中学陈军林
数与代数在这一部分内容主要涉及到
6
个话题，前三个是和内
容 有关系的，第一个话题是数与式，第二个话题方程与不等式，第三
个话题是函数；
另外三个话题 ，
是基于知识之上侧重培养学生的一些
方面的能力，一是运算能力，一是符号意识，再一个是模 型思想。
话题一
数与式
一、重点
关于数与式的主要内容，
包括有理数、
实数、
代数式和二次根式，
代数式主要是整式和分式。
这一部分内容的重点应当是强调理解数 的
意义，建立数感，理解代数式的表述功能，建立符号感，同时理解运
算的意义，强调运算的必 要性。
二、内容的变化
（一）降低了对于实数运算 的要求。比如“会用平方运算求某些
非负数的平方根与算术平方根，
用立方运算求某些数的立方 根”
转化
为
“会用平方运算求百以内整数的平方根，
会用立方运算求百以内整
数（对应的负整数）的立方根”
。
（二）取消了对“有效数字”的要求，但 重视学生的估算能力，
要求学生理解近似数。例如
“能用有理数估计一个无理数的大致范
围”
,
“了解近似数，
在解 决实际问题中，
能用计算器进行近似计算，
并按问题的要求对结果取近似值”
。
（三）与实验稿比较，加强了对二次根式的要求，比如对二次根
式的化简，
分母有 理化，
但二次根式的运算仅仅限于根号下是数的情
况。
（四）在具体情境中 理解字母表示数的意义。例如要求“借助现
实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。
”
（五）注重代数式的实际应用和实际意义。例如要求“能分析简
单问题中的数量 关系，并用代数式表示。
”以及“会求代数式的值；
能根据特定的问题查阅资料，
找到 所需要的公式，
并会代入具体的值
进行计算。
”
（六）对于代数式的意义，除了关注数学意义外，还关注现实的
意义。
（七）强调几何直观的作用。
（八）知道｜
a
｜的含义（这里
a
表示有理数）
。
三、价值及作用
数与式这部分内容，
在代数当中甚至在整个数学领域当中，
都是
非常重要的。具体的来 讲，有下面的几点：
第一点，
通过数与式的学习，
使学生体会到 数学与现实生活的密
切联系，感受到数学的价值，能够培养学生对数学学习的兴趣，增强
学生的 应用意识。
关于数学和生活的联系，
以及培养学生具有应用意识，
可以举如
下的例子：在我们学习数轴的时候，学生通过观察温度计、天平的标
尺以及常见的两 个相反方向行走的例子，
能够从这些现象当中得到数
轴、
抽象出数轴的这样一个概念。
接下来我们就可以利用数轴联系数
学内部的一些知识，即应用于数学内部。同时数轴作为一种工 具，它
又能很好地帮助学生理解其他生活中的问题，
比如时区问题，
化学中
的 一些常见的问题等等。
这就是我们说的核心的概念：
几何直观。
从温度计抽象出数轴来，
同时数轴又帮助学生理解有理数及实数的概念。
学习有理数之后数轴< br>还不能被充满，
但是学了实数之后这个数轴就被充满了。
这样直观的
一个工具， 对于学生来理解实数是非常有帮助的。
第二点，我们来谈谈关于数的概念和运算、 代数式的建立、以及
推导与探究性的活动，有利于学生形成数感、符号感的问题。学习数
的概念 和数的运算，
除了学生会运算之外，
数感和符号感也都是在这
个过程当中逐渐发展起来 的，
而且通过学习数的概念和数的运算，
不
仅能够提高学生的运算能力，
同时 也能够发展学生的推理能力，
对于
提高学生的思维水平都是非常重要的载体。
如：对于一般化的处理方
法，
因为字母表示数，
实际上就是把数的概念和运算进行了一 般化的
处理，
这样就把学生的思维水平提高到抽象化的水平，
同时也会逐渐
通 过式的建立以及对式的进一步学习，逐步形成模型的思想。
我们在学习幂的运算这 一部分内容时，
教师们通常是让学生在原
有的一些知识基础之上，
猜想观察猜想出幂的 运算规律，
从数的计算
开始，
103
×
102 = 10 5 =10 3+2
，
a 4
×
a 3 =a 7 =a4+3
，
a m
·
a n
＝
a m + n
逐步地提升到用字母来表示。
再将这个公式应用于数学问
题 ，这样的话，
学生经历了从特殊到一般，再从一般到特殊这样一个
过程，
体会了这样一 个数学思想。
但这个过程我想其实充分体现了符
号对数学学习的意义。
我们 观察幂的运算公式，
会发现幂之间所做的运算，
如果幂之间
做的是乘除运算，
到了指数上它就会变为加减运算，
运算等级降了一
级，幂做乘方的运算，在指数上就变为了乘法 的运算，其实也是降了
一级。而学生无论通过观察，还是在教师的适当引导下，他都能够认
识这 样的规律，产生这样的意识，这正是学生积累了一定的符号感。
符号感的获得一方面基于对算理的理解，
也是基于学生不断的归纳和
类比和各种方法的运用，就可以逐步获得这样一种意识。
这个例子挺好，
里面就体现了符号表示的一般化作用，
因为在前
面 通过具体的数字产生了一种猜想，
有可能这个同底的幂做乘法是指
数相加，
然后再根据 指数幂的意义进行计算，
就得到一个一般化结论，
所以这个过程中除了有符号感，
也有 合情推理的成分。
因此我们认为，
这部分内容不仅能够发展学生的运算能力，
而且也发 展了学生的符号
感还有推理能力。
第三点价值，
体现在数学里面 ，
我们经常看到一些对立统一思想。
例如在一些概念、一些量中我们会发现，正数与负数，精确 与近似，
还有已知与未知之间的转换等等这些概念中都蕴含着统一思想。
这些
内容的学 习确实有助于学生提高他们用唯物主义的思想和科学的观
点来认识客观事件的能力。而且也体现模型思想 ，比如正数与负数，
在生活中我们表示东与西就用正数与负数，
所以正数负数它不单纯就
是我们所学的计算等等，
最后它已经成为表示具有相反意义的量的一
个数学模型。
话题二
方程与不等式
一、重点
方程与不等式在初中阶段主要涉及到这样一些内容，
一 个就是关
于方程的，比方说一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，
可化为一元一次方 程的分式方程。
不等式主要是一元一次不等式，
和
一元一次不等式组。
方程和不等式这个话题里面，
这部分内容一个我们强调方程和不
等式的模型 思想，
也就是说如何从现实生活中去把问题进行抽象，
用
这种方程的形式和不等式的关 系刻划出来，
然后进行讲学，
最后运用
到现实问题。
所以这一部分内容就是一 个重点，
还是突出它的模型思
想，当然另外一个部分，也是我们在这部分内容所突出的一个重点 ，
那就是如何解这个方程和不等式。
二、内容的变化
在方程部分变化的内容为：
（一）与实验稿相比，有些内容适当增加：如 一元二次方程的根
与系数的关系，
但不要求应用这个关系解决其他问题，
了解就可以了 ，
不要深挖洞。
（二）三元一次方程组作为选学内容。
（三）
一些具体要求，
如一元二次方程只要求解数字系数的一元
二 次方程；
分式方程只要求解可化为一元一次方程的分式方程，
并且
方程中的分式不超过 两个。
（四）
删除了部分内容，
如由一个二元一次方程和一个二 元二次
方程组成的方程组的解法；
由一个二元二次方程和一个可以分解为两
个二元一次 方程的方程组成的方程组的解法。
这是与大纲相比发生的
变化。
在不等式部分变化的内容为：
（一）强调结合具体问题，在具体情境中探 索不等式的意义。而
且强调了过程目标
“探索”
，
强调对于不等式组解的几何 意义的理解。
（二）删除了一元一次不等式组的应用。
（三）
解不等式中对相关的内容作出了限定。
如能解数字系数的
一元一次不等式。
三、价值及作用
这里想突出方程与不等式的三个主 要的作用，第一个是模型思
想。这点非常重要。另外涉及到的一点就是化归的思想方法，我们解
方程组等等一系列过程都涉及到化归。
第三点，
这部分内容对后续学
习是一个非常重要 的内容，
因此我们说它在整个数与代数里面有着非
常重要的作用和价值。
首先，方程与不等式的学习，有助于学生形成建模思想。
方程的模型思想 主要是指根据具体问题中的数量关系，
经过必要
的抽象，
提炼出未知数与已知数之间具 有的等量关系，
列出方程
（组）
；
在列出方程后，再运用方程（组）求解的各 种方法，求出方程（组）
的解，进而解决问题，从而体会方程（组）是刻画现实世界的一个有
效 的数学模型，是贯穿方程与方程组的一条主线。
“相等”与“不等”是数学中两种 基本的数量关系，二者相辅相
成，
形成对数量关系的完整认识，
是进一步学习数学不可 缺少的基础
知识和有效工具，也是分析和解决一些实际问题的重要方法。
说到模型思想，
我们在教学当中曾经用到这样一个案例：
一位同
学小明，如果给出了他 的走路速度和跑步速度：走路平均速度为
6km/h
，跑步平均速度为
10km/h
，又给出了从家到学校的距离为
2km
，有了这 样的条件，可以提出什么样的一些问题呢？在和同学
们讨论之后，
学生反应非常热烈。
这里我们拿出一个例子跟老师们分
享：有的学生提出了这样一个补充条件，说他走在路上，走着走着突< br>然发现自己有东西落在家里了，
于是就赶紧跑回去，
跑回家去取东西，
接下来又 跑到学校，
跑到学校发现所用的时间和走到学校的时间是一
样，
也就是说到校的时间是 没有变化，
那问小明是在什么地方或者走
了多久发现自己落了东西？
学生在提出这样一个问题之后，
要想确定出这个问题的模型，
首
先就要考虑，小明 走到学校到底要花多长时间？通过计算得出用
20
分钟。接下来在这次上学的过程 中，到底发生了一些什么样的事情，
先走了一段路，接下来往回折返跑回去，相当于从家又跑到了学校，
这个过程当中学生们通过分析通过画图通过各种各样的方法，
发现他
跑的这一段路程实 际上走路的路程多出来的就是家到学校的距离，
即
2
公里。如果设未知数，我们就可以利用等量关系列出方程：
设
t
分钟之后返回，用
2
公里这个路程作为等量关系可以列出
这样的方程：
，进而解决问题。
当然学生还可以改变条件，
或提出各种各样的 补充条件，
在这样
一个问题的基础上，寻找“等量”
“不等”这样不同的关系，建立各
种各样的模型，用方程或不等式等多种方法来表述问题、解决问题，
这个案例我想供老师们参考 ，希望能给大家一些启发和思考。
关于列方程解决实际运用问题，
有很多 老师反应比较难，
找等量
关系方面学生就比较有困难；
找出等量关系了方程却列不出来 。
像刚
才的问题，
有没有什么好的建议？即怎么使学生能够在分析实际问题
的 过程中抓住主要的关系，
怎么能够读懂题目？怎么能够提高他们分
析问题和解决问题的能力？< br>
这确实是老师们比较头疼的一个问题。
学生在面对数学和生活联
系 的时候，
往往很难直接找到它们之间的联系建立模型。
实际上学生
在生活当中，本身就 应用着数学，经常面对数学，而教师们在设计问
题或者说设计教学的时候，
有的时候会忽略学生 和实际数学之间的联
系。如果说利用刚才这样的案例，给学生一个比较开放性的平台，即
给出的 条件是不充足的，你再补充其他条件，这样，问题也许会比较
简单，也许会比较复杂，也许有解也许没有 解，不同的阶梯性补充，
可能对水平存在差异的同学来说，确实是有很好的帮助。
有经验的教师也会发现，
在解决方程与不等式建立模型或者说是
列方程解决问题的时候 ，
往往是在教师的引导下把问题简化，
指出主
干让学生去抓住问题当中最基础的这样一 个关系，
这样会使问题变得
简单，
如果说一上来问题就比较复杂的话，
往往会 挫伤学生的积极性，
并且再处理起来，也确实无从下手。
第二方面，当学生学方程和不等式的时候，
对形成化归的思想非
常有帮助，
我们知道，
化归就是把你原来不会的问题转化成你能够解
决的问题，
把复杂的问题变成一个简单的问题。
我们在求解方程的过
程当中，我们经常用到合并同类项，移项去括号去分母等等，这样一
些方法来解决一元一次方程，以及可化为一元一次方程的分式方程，
这是老师都比较熟悉的这样一个解 方程的步骤。
再一个当学二元一次
方程组求解的时候，就可以通过消元，即把两元变成一元，转 化成已
经学过的内容。
当我们再学到一元二次方程的时候，
我们也是想办法
降 次，降次我们可能用到配方法，因式分解法，其实这些都体现了我
们所说的化归思想。
第三方面，
方程不等式同样也是后面学习高等数学一个非常重要
的基石，< br>例如我们谈到根与系数的关系这部分内容。
当然在一元二次
方程中，
只要学生能 够体会这种关系，
而不需要他去扩展解决其他问
题。实际上根与系数的关系，作为一个普遍的规 律在高次方程，一元
n
次方程的情况还是有适用性的。
所以，
学 生通过这样一个探索会发
现一般性的规律。一次方程，二次方程，高次方程等等这些方程，甚
至 是将来高等数学以及经济学当中，
根与系数关系都体现了一个很好
的应用，都体现了方程的模型 思想，不同的只是解法不同。初中阶段
学习的方程和不等式其实对后续的学习是有非常大的帮助。
话题三
函数
一、重点
初中阶段函数部分的内容，主要包括一次函数、二次函数、反比
例函数，
在 这个阶段学习函数，重点就是要借助现实背景，在现实
情景中理解函数的概念。
而且在研究函数 的性质过程当中，
重点应该
是要利用图象的方法直观地发现函数。
例如一次函数有什么 特点？二
次函数有什么特点？反比例函数呢？此外还有一个非常重要的方面，
就是体会函数各种 表示之间的联系。
例如函数的表示法，
我们有表格
表示，
就是具体的看有一个
x
怎么和
y
对应，
另外就是有解析式表< br>示，还有图象表示。以前在传统的教学当中，可能这个解析式的表示
我们用的比较多，表格、图象 表示用的比较少，不管在标准的实验稿
当中还是修订稿中，
我们都要关注函数的图象表示，借助函数的图象
来研究函数的性质，
这是一种非常直观的办法。
同时在这个修订版 的
标准当中，
也强调了对自变量取值范围的讨论，
应该结合具体的实际
问题， 在实际问题中讨论自变量取值范围，而不是说泛泛地、一般性
地讨论自变量的定义域、值域。
二、内容的变化
（一）强调一次函数的现实意义。如要求“结 合具体情境体会一
次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式。
”
（二）
强调一次函数与二元一次方程的关系，
但不要求用图象法
求 二元一次方程组的近似解。
（三）强调对于一次函数图象变化的探索。例如“根据一次函数
的图象和表达式
y = kx + b (k
≠
0)
探索并理解
k
＞
0
和
k
＜
0
时，图象的变化情况。
”
（四）
强调用反 比例函数解决实际问题。
如要求在具体情境中理
解反比例函数的意义。
（五）突出反比例函数的图象功能。能画出反比例函数的图象，
根据图象和表达式
(k
≠
0)
探索并理解
k
＞
0
和
k
＜
0
时，图
象的变化情况。
（六）
强调用函数解决实际问题 。
如要求在实际问题中分析体会
二次函数的意义，
并运用于实际，
在实际问题 中考虑自变量的取值范
围。
三、价值及作用
函数是非常有价值的内容，
首先变量之间的关系在现实世界当中
就是普遍存在的，
如 何研究变量之间的关系，
从数学上解决这个问题，
它的工具就是函数。
所以对于学生来 讲，
利用函数的方法解决现实问
题，实际上是从常量的数学走到变量的数学，像在方程中，x
表示未
知数，
它实际上不是变量，
其实它是一个常量。
在函 数当中就不一样，
它可能是自变量，也可能是因变量，所以从这个角度来讲，从学生的
思维角度 来讲，它是一种飞跃，而且通过变量的学习，学生可以逐渐
地形成辩证唯物主义的思想。