小学数学数与代数知识整理
萌到你眼炸
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2021年01月20日 06:52
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数学
1
数与代数
知识梳理
一
概念
（一）整数
1
、整数的意义
自然数和
0
都是整数。
< br>像
-1
，
-2
，
-3
……这样的数也叫整数。
2
、自然数
我们在数物体的时候，用来表示物体个数的
1< br>，
2
，
3
……叫做自然数。
一个物体也没有，用
0
表示。
0
也是自然数。
3
、计数单位
一（个）
、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是
10
。这样的计数法叫做十进制计数法。
4
、
数位
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5
、数的整除
整数
a
除以整数
b(b
≠
0
）
，除得的商是整数而没有余数，我们就说
a
能被< br>b
整除，或者说
b
能整除
a
。
如果数
a
能被数
b
（
b
≠
0
）整除，
a
就叫做
b
的倍数，
b
就叫做
a
的约数（或
a
的因数）
。倍数和约
数是相互依存的。
因为
35
能被
7
整除，所以
35
是
7
的倍数，
7
是
35
的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是
1
，最大的
约数 是它本身。例如：
10
的约数有
1
、
2
、
5
、
10
，其中最小的约数是
1
，最大的约数是
10
。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3
的倍数有：
3
、
6
、
9
、
12
……其中最小
的倍数 是
3
，没有最大的倍数。
个位上是
0
、
2、
4
、
6
、
8
的数，都能被
2
整除， 例如：
202
、
480
、
304
，都能被
2
整除。
。
个位上是
0
或
5
的数，都能被
5
整除，例如：
5
、
30
、
405
都能被
5
整除。
。
一个数的各位上的数的和能被
3
整除，这个 数就能被
3
整除，例如：
12
、
108
、
204< br>都能被
3
整除。
一个数各位数上的和能被
9
整除，这个数就能被
9
整除。
能被
3
整除的数不一定能被
9
整除，但是能被
9
整 除的数一定能被
3
整除。
一个数的末两位数能被
4
（或< br>25
）整除，这个数就能被
4
（或
25
）整除。例如：
16
、
404
、
1256
都能
被
4
整除 ，
50
、
325
、
500
、
1675
都能 被
25
整除。
一个数的末三位数能被
8
（或
12 5
）
整除，
这个数就能被
8
（或
125
）
整除。
例如：
1168
、
4600
、
5000
、< br>12344
都能被
8
整除，
1125
、
13375< br>、
5000
都能被
125
整除。
能被
2
整除的数叫做偶数。
不能被
2
整除的数叫做奇数。
0
也是偶数。自然数按能否被
2
整除的特征可分为奇数和偶数。
一个数，如果只有
1
和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）
，100
以内的质数有：
2
、
3
、
5
、
7
、
11
、
13
、
17
、
19
、
23
、
29
、
31
、
37
、
41
、
43
、
47
、
53
、
59
、< br>61
、
67
、
71
、
73
、
79< br>、
83
、
89
、
97
。
一个数，如果除了
1
和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如
4< br>、
6
、
8
、
9
、
12
都是合数。< br>
1
不是质数也不是合数，自然数除了
1
外，不是质数就是合数。如果 把自然数按其约数的个数的不同
分类，可分为质数、合数和
1
。
每 个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数，
叫做这个合数的质 因
数，例如
15=3
×
5
，
3
和
5
叫做
15
的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如把
28
分解质因数
28=2
×
2
×
7
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其 中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如
2
12
的约数有
1
、
2
、
3
、
4
、
6
、
12
；
18
的约数有
1
、
2
、
3
、
6
、
9
、
18
。其中，
1
、
2
、
3
、
6
是
12
和
1 8
的公
约数，
6
是它们的最大公约数。
公约数只有
1
的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：
1
和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
例如：
15
和
7
互质，
14
和
7
不互质。
两个合数的公约数只有
1
时，这两个合数互质。
如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是
1
。
几个数公有的倍 数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如
2
的
倍 数有
2
、
4
、
6
、
8
、
10< br>、
12
、
14
、
16
、
18
……
3
的倍数有
3
、
6
、
9< br>、
12
、
15
、
18
……
其中
6
、
12
、
……是
2
、
3
的公倍 数，
6
是它们的最小公倍数。
。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
（二）小数
1
小数的意义
把整数
1
平均分成
10
份、
100
份、
1000
份……
得到的十分之几、百分之几、千分之几……
可以用
小数表示。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……
在小数 里，每相邻两个计数单位之间的进率都是
10
。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数< br>部分的最低单位“一”之间的进率也是
10
。
2
小数的分类
纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：
0.25
、
0.368
都是纯小数。
带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。
例如：
3.25
、
5.26
都是带小数。
有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。
例如：
41.7
、
25.3
、
0.23
都是有
限小数。
无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。
例如：
4.33
……
3.1415926
……
无限不循环小数：< br>一个数的小数部分，
数字排列无规律且位数无限，
这样的小数叫做无限不循环小数。
例如：∏
循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重 复出现，这个数叫做循环小数。
例如：
3.555
……
0.0333
……
12.109109
……
一个循环小数的小数部分，
依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
例如：
3.99
……
的循环节是“
9
”
，
0.5454
……的循环节是“
54
”
。
纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。
例如：
3.111
……
0.5656
……
混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。
3.1222
……
0.03333
……
写循环小数的时候，为了简便，小数 的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数
字上各点一个圆点。如果循环
节只有
一个数字，就只在它的上面点一个点。例如：
3.777
……
简写作
0.5302302
……
简写作
。
（三）分数
1
分数的意义
把单位“
1
”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
< br>在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“
1
”平均 分成多少份；
分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
把单位“
1
”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
3
2
分数的分类
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于
1
。
假分数 ：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于
1
。
带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
3
约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数
，叫做约分。
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
（四）百分数
表示一个数是另一个数的百分之几的数
叫做百分数
,
也叫做百分率
或百分比。百分数表示的两个数
量间的关系，而不是表示一种数量，所以不带单位名称。
二
方法
（一）数的读法和写法
1.
整数的读法：从高位 到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后
面加一个
“亿”或
“万”
字。
每一级末尾的
0
都不读出来，
其它数位连 续有几个
0
都只读一个零。
3000600
（读成“三百万六百”或“三百万 零六百”都对
2.
整数的写法：
（略）
（二）数的改写
一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿 ”作单位的数。有时还可以根据
需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。
1.
准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的 数。改
写后的数是原数的准确数。
例如把
1254300000
改写成以万做单位的数是
125430
万；
改写成
以亿做单
位
的数
12.543
亿。
2.
近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近 似数来
表示。
例如：
1302490015
省略亿后面的尾数是
13
亿。
3.
四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是
4
或者比
4
小，就把 尾数去掉；如果尾数的最高位
上的数是
5
或者比
5
大，
就把 尾数舍去，
并向它的前一位进
1
。
例如：
省略
345900
万后面的尾数约是
35
万。省略
4725097420
亿后面的尾数约是
47
亿。
4.
大小比较
1.
比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最 高位上
的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。
2.
比较小数的大小：
先看它们的整数部分，
，整数部分大的那个数就大； 整数部分相同的，十分位上
的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大 ……
3.
比较分数的大小
:
分母相同的分数，分子大的分数比较 大；分子相同的数，分母小的分数大。
分数
的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的 大小。
（三）数的互化
1.
小数化成分数：原来有几位小数， 就在
1
的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分
子，能约分的要约分。< br>
2.
分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不 能化成有限小数
的，一般保留两位小数。
3.
一个最简分数，
如 果分母中除了
2
和
5
以外，
不含有其他的质因数，
这个分数 就能化成有限小数；
如果分母中含有
2
和
5
以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
4
4.
小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
5.
百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
6.
分数化成百分数：
通常先把分数化成小数
（除不尽时，
通常保 留三位小数
)
，
再把小数化成百分数。
7.
百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
（四）数的整除
1.
把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除 这个合数的质数去除，一直除到商是质数为
止，再把除数和商写成连乘的形式。
2.
求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约
数
1
为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数
。
3.
求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数 ）的公约数去除，一直除到互
质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几 个数的最小公倍数。
（五）
约分和通分
约分的方法： 用分子和分母的公约数（
1
除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
通分的方法：
先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，
然后把各分数化成用这个最小 公倍数作分母
的分数。
三
性质和规律
（一）商不变的规律
商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。
（二）小数的性质
小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化
1.
小数点向右移动一位，
原来的数就扩大
10
倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大
100
倍；小
数点向右移动三位，原来的数就扩大
1000
倍……
2.
小数点向左移动一位，原来的数就缩小……
3.
小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“
0
补
足位。
（四）分数的基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数 （零除外）
，分数的大小不变。
（五）分数与除法的关系
1.
被除数÷除数
=
被除数
/
除数
被除数
相当于分子，除数相当于分母。
2.
因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。
四
运算的意义
（一）整数四则运算
1
整数加法：
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
2
整数减法：
已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。
加法和减法互为逆运算。
5