长沙名片-

2021年1月20日发(作者：毛凤朝)
参考资料

儿童是怎样学习“
20
以内数的认识”

陈凤伟北京市东城区史家小学

杨敬芝北京市东城区史家小学

景立新北京市东城区史家小学

一、案例分析

引发思考

提出问题

（一）案例简述

案例一
：
5+8=
？
5+7=
？

为什么
1-6
年级学生都会出现同样的错误“
12
”和“
13
”？ 而且这种错误带有固定的循环
性。学生的解释是：没算就直接写出来了！

580+3 00
算成
58+3=61
，仅仅是疏忽了数末尾的“
0
”吗？

案例二：
12
名幼儿园大班的儿童，都能拿对“
5
块橡皮”，但 有
6
人没有拿对指定的“第
5
块橡皮”，拿对的
6
人中，只 有
1
人能说清楚“第五块”和“
5
块”是不一样的。

还是 这
12
名儿童面对
“散放”
的
16
颗珠子，
要求< br>“看着数”
，
结果
4
人正确，
8
人数错了。
改变要求为“动手点数”时，结果
10
人正确，
2
人数错。

案例三：
计算
8+4
，
12
名儿童中
2
名“数手 指”算，
5
名“摆手指”算，还有
5
名能流利地
说出“凑十法”的计 算过程。

（二）引发思考

儿童在数数和算数的起始阶段都要借助“手”作 为计数器，这种司空见惯的现象有没有更
深层次的原因？如何帮助儿童从“数手指”、“摆手指”过渡到 抽象的计数和计算呢？

儿童“基数”的经验多余“序数”。怎样利用学生已有的“序数”经验 ，挖掘教材中存在
的“序数”因素，寻找生活中的“序数”情景，促进学生的理解和掌握？

（三）提出问题

问题一：
儿童在数数和算数的起始阶段都要借助“手”作为 计数器，如何帮助儿童从“数
手指”、“摆手指”过渡到抽象的计数和计算呢？

问题 二
：要提高学生从“记忆库”中输出信息的准确性，就要找到与他们认知规律和数学
学科体系相 一致的“路线图”，即学生是怎样学习“
20
以内数的认识”的？

问题三< br>:
依据《国家数学课程标准》编写的实验版教材，在内容的选择、呈现的方式、模型
的建 立上是否真正符合学生的认知发展规律？

二、研究的方法和结果

（一）理论研究的结果

1
、数学发展史的启示

（
1
）
人们认为数学史的发展过程就是学生学习的过程，数学史上的难关都是学生学习的难关。

首先研究数的发展史，从《周髀》一书和对甲骨文的考古中得到了上面观点的证据， 即数
发展的过程也是儿童认识数的必然过程。儿童“数手指”、
“摆手指”的计数和计算策略， 恰好
是遵循了自然和人的本能。如何合理、有效的引导儿童由自然、直观的手指策略，向高层次的、抽象的手指策略过渡呢？

（
2
）
“十进位值制计数法”是数发 展史的基础和重大突破
。

这一点不仅在新石器时代的彩陶和半坡文化中有据可考，而 且中国古代对圆周率的计算比
欧洲早了一千多年，也是证据之一。所以在儿童的学习“路线图”中，要选 择形象、直观、贴近
他们生活的模型，帮助他们理解“十进位位值制计数法”。

2
．数学教育理论的启示

“模型”在小学“
20
以内数的 认识”的教学中，有着广泛的运用。对“模型”与儿童数学
认知发展有深入研究的，当推

和

等。他们强调儿童数学推理的整体结构
,
提
出了一系列利用模型 ，帮助学生从“具体
-
抽象”的概念发展过程。

（
1
）< br>学习过程就是儿童主动构建认知结构的过程。数学模型是儿童数学学习的工具。那么
在儿童“20
以内数的认识”的学习路线图中，要广泛运用各种模型，给学生创设能够操作“模
型” 的情境活动，活动情境的核心就应该是“模型”的选择与呈现。

（
2
）借助豪敦对数感的描述，
获得了
“数数的程序”
是关键的概念化思想的启发
。
所以
“数
数的程序”要纳入“
20
以内数的认识”学习路线图， 要重视它背后的深层次意义，即作为与数
有关的数学思想的发展基础。
特别数感、
符号 感等数学思想和能力的培养，
也是以
“数数的程序”
为基础的。

3
．心理学研究的启示

儿童数学学习是以直观行动思维、具体形象思维为主 ，并与抽象逻辑思维相互促进的过程。
林崇德在《关于儿童数概念和运算能力发展的研究》中得出：7-8
岁儿童的概括水平和幼儿的概
括水平差不多，属于形象直观的概括水平。

“
20
以内数的认识”是面对
6-7
岁儿童的学习，他们的概括水平 与学前儿童的差异不大，
所以在学习中就应该依据“形象直观”的特性，来引导他们建立数的概念。
4
．《国家数学课程标准》与教材的启示

《国家数学课程标准》中对 “数的认识”的具体目标是：通过观察、操作、解决问题等丰
富的活动，感受数的意义，体会用数来表达 和交流，初步建立“数感”。重视口算，加强估算，
提倡算法多样化。

依据《国家数 学课程标准》编写的现行教材，对“
20
以内数的认识”的编写思路是：先集
中认识< br>1
—
5
各数，之后单独安排学习第几、几和几、加减法。在学习
6—
10
的认识和加减法时，
把
6
、
7
、
8
、
9
合在一起认识，
10
单独认识。蕴含了位置值的思想。把< br>20
以内进位加法放在一
年级上册，退位减法放在一年级下册。

（二）实际调研和结果

1
．
对学前儿童的访谈结果

某幼儿园，从两个大班随意选择了
12
位小朋友。进行一对一的测试和访谈。

（
1
）
测试和访谈的题目

①物体的个数：数一数一共有多 少个珠子？第一次用眼睛看着数，不要动手；第二次可以
动手点数。

②数数：从1
数到
20
。
29
后面是几？
39
前面的数是 谁？后面的数是谁？

③基数和序数：按顺序数一数有几块橡皮？从左边数起，拿出
5
块。
从左边数起，拿出第
5
块。“
5
块”和“第
5
块”的意思一样吗？

④位置值的理解：读出卡片上的数：
11
、< br>14
、
22
、
45
，在计数器

上表示出来 。
14
中的
1
和
4
分别表示多少？
22
中 的两个
2
一样吗？分别表示多少？

⑤计算：
20
以内加减法：
4+3=9+7=8+7=9-6=12-8=
（
2
）测试和访谈的结果

访谈内容

看着数：有
4
人数对。

数物体的个数

结果分类

百分比

33%
83%
100%
83%
100%
50%
点数：
10
人数对。其余2
人数了
2
次也没有数对。

数数：
12
人都能从
1
数到
20
。

抽象数

拐弯数：有
10
人知道。

基数：
12
人数对。并都能说出表示的意义。

序数：
< br>按要求取：
12
人取对“
5
块”，
6
人会取“第5
块”

意义：
1
人知道“
5
块”和“第5
块”表示的意思不
一样。

表示数：
11
人会在计数器上表示数，
1
人不会。

位置值

位置值：只有
1
人理解。

数手指：
2
人

计算

摆手指：
5
人

凑十法：
5
人会说“凑十法”的过程。

（
3
）
对测试和访谈结果的分析

①从数物体的个数看学前儿童已经具备了初步的数概念

基数、序数

8%
91%
8%
17%
41%
41%
从
12
名儿童“数数”的过程中发现，一类是按物“点数”，一类是“群数”。表明儿童在入学前
,
大多数已经学会了简单的数数
,
有了初步的数概念
,< br>但“群数”计数的能力还比较弱。

②从基数和序数看学前儿童数概念的经验积累有差异。

儿童对于基数的经验积累比较 丰富，不仅能数对橡皮的块数，当问到
“
5
能表示什么”
的时
候，他 们都用基数的意义来回答，如：
5
块橡皮、
5
个小朋友等，没有人用序数的意 义来说明。
看来需要在学习中提供丰富的“序数”资源，让儿童充分感知。

③从计算看学前儿童“数概念”的理解程度有差异。

在计算
20
以 内加减法时，
7
名用手指算的儿童
“点数”
和
“摆数”
的水 平是不一样的，
“摆
数”的儿童脑海中已经形成了与某个加数对应的手指图式
,
如“
5
”对应一只手的
5
指
,
“
7
”对 应
一只手的
5
指和另一只手的
2
指
,
而不需要借助 逐一点数来得出与加数对应的手指个数。在这里
也不排除个别儿童是从记忆中直接提取答案的。

2
．小学生计算错误的归因分析

对学前儿童需要了解他们知道了什么？那么 对于“学后儿童”就需要了解他们知道的怎么
样？为此对学后儿童进行了计算错误的归因分析。

调研的对象
:
学校
1-5
年级的学生。

调研的时间
:
一学年的期末考试结束后。

调研的问题：期末考试试卷中的计算错题。

调研的方式：选择试卷中出现的错例，与出现错误的学生本人逐一访谈。

调研的结果如下：

错例

一年级：

68-30=32


学生的阐述

把
30中的
0
看成
10
，
10
减

68
个位上的
8
，
68
中十位上

的
6
再去减
30
十位上的
3
，

最后就得
32
了。

错误归因

机械使用“破十法”，

没有理解减法的意义。



一年级：

55+7=63
把
5+7
算成
13
了，应该得
12
。

凭记忆和感觉直接来

计算
35
＋
7
时，个位5
＋
7
＝
12
，

提取答案。记忆的偏差

35
＋
7
＋
6
＝
想成了
5
＋
7
＝
13
，与
5
＋< br>8
＝
13
集中在
7
加几、
6
加几、

49
混了。

43
5+7
尤为易错。

二年级：

3+2=5
，
8+9=17,0+0=0,
受不进位加法可以从十

8
加几，特别是
5+8
和

380+290=570
所以
380+290=570
。

位算起的影响，从百位

开始计算了。说明“数感”

“位值制”的感悟需要继

续培养。

三年级：

4.3-1.7=3.6




十分位
13-7=6
，个位直接

4-1
了，就得
3.6
。

“十分位”上不够减向个

位借
1
，但是“个位”上

没退位。说明学生对“十

进位为位值制”的理解和

运用还比较模糊。

三年级：

估算
40
×
72=280
40
×
7=280
学生把
72
看成整数
70
，

计算时提取的是

40
×
7=280
。

五年级：

85.7+4.03-929
=89.73-9.29
=80.45
口算末位
13-9
想成
5
了。

学生提取
20
以内退位

减法的记忆出现错误。


（
1
）找到了凭借记忆提取计算信息频繁出错的原因。

学生在考试 时，
注意力与平时比较要集中，
态度也要认真。
但从以上错题可以看到，
与< br>“
20
以内进位加退位减”相关的错误带有普遍性和共性。特别是“
5+8”和“
5+7
”以及相应的减法最
为集中。

皮亚杰的数学认识 论曾指出：
任何学习和任何记忆必须以某些早先存在的结构为基础形成。
所以
“学后儿 童”
对
“计算的提取”
错误必然与他们先前的学习结构有关，
可以把原因定位 在
“
20
以内数的认识”的学习过程中。

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