第六讲蝴蝶定理精编版
玛丽莲梦兔
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2021年01月20日 10:46
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五年级秋季第六讲——蝴蝶模型
——学而思范基程老师
【
知识点总结
】
一、
来源：
蝴蝶模型是几何图形 中非常重要的模型之一，
分为任意四边形与梯形
中的蝴蝶模型，因形似蝴蝶而得名。
二、模型：
1
、任意四边形中的蝴蝶定理：
①
S
1
：
S
2
=S
4
：
S
3
或者
S
1
×
S
3
=S2
×
S
4
②
AO:OC
=
(
S
1
+
S
2
)
:
(
S
3
+
S
4
)
{
DO:BO
=
(
S
1
+
S
4
)
:
(
S
2
+
S
3
)
}
2
、梯形中的蝴蝶定理：
如果
AD:BC=
:
①
S
1
：
S
3
=
②
S
2
= S
4
③
A
a
D
：
S
2
O
S
4
S
3
:
S
1
S
1
: S
3
: S
2
: S
4
=
:
B
b
C
④
梯形面积所 对应的份数为：
3
、总结：
无论是在任意四边形还是梯形当中的蝴蝶模型，都为我们提 供了一种
解决四边形或梯形面积的新的方法。
任意四边形当中，
将不规则四边形的面积 与
四边形内的三角形结合了起来；
而梯形当中，
我们只需要知道梯形上下底之间的比例，
就可以得出被对角线所分成的四个三角形的面积之间的比例关系，
进而知
道 每个三角形的面积所对应的份数。
1
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【例题精讲】
（
2007
年“数学解题能力展示” 读者评选高年级组初赛）如图，长方形
ABCD
被
CE
、
DF
分成四块，已知其中三块的面积分别为
2
、
5
、
8
平方厘 米，那么余下的
四边形
OFBC
的面积为
_________
平方厘 米。
A
E
2
5
F
O
8
B
D
C
【解析】
连结
DE
、
CF
。
（
1
）在梯形
EFCD
中，根据蝴蝶模型，有三角形
EOF
与三角形
DOC
的面积比
为
2:8
，所以得到
DF
：
DC=1:2
。那么，三角形
EOF
与三角形
EOD的面积比为
1:1
×
2=1:2
，所以三角形
EOD
的 面积为
4
（平方厘米）
，三角形
COF
的面积也为
4
（平方厘米）
。因为四边形
OEAD
的面积为
5
（平方厘米），所以，三角形
ADE
的面积为
1
（平方厘米）
。
< br>（
2
）在长方形
ABCD
中，三角形
ECD
的面积是 长方形
ABCD
面积的一半，是
8+4=12
（平方厘米）那么剩下的部分（ 三角形
ADE
与三角形
BCE
的面积和也
是
12
）
，又因为三角形
ECF
的面积为
2+4=6
（平方厘米）
， 所以三角形
BCF
的面
积为
12-1-6=5
（平方厘米）
。
（
3
）四边形
OFBC
的面积
=4+5=9< br>（平方厘米）
。
2