椭圆中的蝴蝶定理及其应用
余年寄山水
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2021年01月20日 10:49
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方特生命之光-
2003
年北京高考数学卷第
18
（
III
）题考查了椭圆 内的蝴蝶定理的
证明，
本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，
并由它们得到
圆锥曲线的若干性质
.
定理
1
：在圆锥曲线中，过弦
AB
中点
M
任作两条弦
CD
和
EF
，直线
CE
与
DF
交直线
AB
于
P
，
Q
，则 有
.
证明
：如图
1
，以
M
为原点，
AB
所在的直线为
y
轴，建立直角坐标系
.
设圆锥曲 线的方程为
B
（
0
，
-t
），知
t
，-t
是
的两个根，所以
(*)
，设
A
（
0，
t
），
.
若
CD
，
EF
有一条斜 率不存在，则
P
，
Q
与
A
，
B
重合，结论 成立
.
若
CD
，
EF
斜率都存在，设
C
（
x1
，
k1x1
）
,
D
（
x2
，
k1x2
），
E
（
x3
，
k2x3
）
,
F
（
x4,k2x4
），
P
（
0，
p
），
Q
（
0
，
q
），
,
,
同理
,
所以
将
代入
(*)
得
,
又
得
,
,
同理
,
.
，所以
，即
注
:20 03
年高考
数学北京卷第
18
（
III
）
题，就是定理
1
中取圆锥曲线为椭圆，
AB
为平行长轴的弦的特殊情形
.
定理
2
：在圆锥曲线中，过弦
AB
端点的切线交于点
M
，过
M
的直线
l
∥
AB
，
过
M
任作两条弦
CD
和
EF
，直线
CE
与
DF
交直线
l
于
P
，
Q
，则有
证明
： 如图
2
，以
M
为原点，
AB
所在的直线为
y
轴，建立直角坐标系
.
.
设圆锥曲线的方程为
(*)
，设A
（
），
B
（
），则切线
MA
的方程是
，切线
MB
的方程是
，
得
略）
，
所以
.
（下面与定理
1
的证明相同，
特别的，当弦
AB
垂直圆锥曲线的对称轴时，点
M
在圆锥曲线的该对称轴上
.
性质
1
：过点
M
（
m
，
0
）做椭圆、双曲线
的弦
CD
，
EF
是其焦点轴，
则直线
CE
、
D F
的连线交点
G
在直线
l
：
上
.
特别的， 当
M
为焦点时，
l
就
是准线
.
当
M
为准线与焦点轴所在直线的交点时，
l
就是过焦点的直线
.
证明
：
如图
3
，
过
M
做直线
AB
垂直焦点轴所 在的直线，
直线
CE
与
DF
交直线
AB
于
P
，
Q
，则根据定理
1
，定理
2
得
. < br>过
G
做
GH
垂直焦点轴所在直线
于
H
，得
，
设
M
（
m
，
0
），
H< br>（
n
，
0
），焦点轴长为
2a
，则有
注:
性质
1
就是文
[1]
中的性质
1
，文
[2]
中的推论
2.
，得
.
若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点 作为其虚拟顶点，把图
3
中的
DF
看作与
焦点轴平行的直线，于是得 到性质
2.
性质
2
：过点
M
（
m
，0
）做抛物线
的弦
CD
，
E
是抛物线的顶点，直
上
.
线
DF
与抛物线的对称轴平行，则直线
CE
、
DF
的连线交点在直线
l
：
特别的，
当
M
为焦点 时，
l
就是准线
.
当
M
为准线与焦点轴的交点时，
l
就是过焦
点的直线
.
注
:2001
年全国高考数学卷第
18
题，就是性质
2
中
M
为焦点的情形
.
性质
2
就是文
[1]
中的性质
2
，文
[2]
中的推论
1.
性质
3
：直线
l
：
，过点
M
（
m
，
0
）做椭圆、双曲线
的弦
CD
，直线
l
与
CD
交于点
I
，则
.
证明< br>：如图
4
，
由定理
1
，
定理
2
及性 质
1
得：
.
性质
4
：过点
M
（
m
，
0
）
做椭圆、双曲线
的弦
CD
、
EF
，则直线
CE
、
DF
的连线交点
G
在 直线
l
：
上
.