蝴蝶定理古今谈
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2021年01月20日 10:49
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蝴蝶定理古今谈
蝴蝶定理
(Butterfly theorem)
，
是古典欧氏平面几何中 最精
彩的结果之一，原本是一个著名的几何难题。该定理最先是
作为一个征求证明的问题，刊载 于
1815
年英国的一份通俗
杂志《男士日记》第
39-40
页上； 而
“
蝴蝶定理
”
这个名称第
一次出现在《美国数学月刊》
1 944
年
2
月号。由于题目中的
几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，因此得名。< br>
蝴蝶定理的证法很多，有综合法、三角法、面积法、不
等式 法、解析法、复数法，反证法等。问题登出的当年，英
国一位自学成才的中学数学教师
W.G< br>.
霍纳给出了第一个繁
琐的证明；至于初等的证法，在国外的有关资料中，一般认
为是由一位中学教师斯特温
(Steven)
首先得到的，
它用的是面
积法 ；另一个早期的证明由理查德
·
泰勒（
Richard Taylor
）给
出；还有一种证明出现在
M.
布兰德（
Miles Bland
）的《几何
问题》
(1827
年
)
一书中；最为 简洁的证法来自射影几何，由
英国的
J·
开世在
“A
Sequel
to
the
First
Six
Books
of
the
Elements of Euclid”(
中译：
近世几何学初编 ，
李俨译，
上海商
务印书馆，
1956)
中给出，只有一句话，用的 是线束的交比；
1981
年，
Crux
杂志刊登了
K.
萨蒂 亚纳拉亚纳（
Kesirajn
Satyanarayana
）
用解析几何 给出的一种比较简单的证法。
1985
年，在河南省《数学教师》创刊号上，
杜锡录教 授以
“
平面几
何中的名题及其妙解
”
为题，向国内介绍了蝴蝶定理；
1988
年，汪江松、黄家礼二教授在《几何明珠》一书的第
21
章，
对
“
蝴蝶定理
”
进行了全面综述，介绍了蝴蝶定理的逆定理及
各种 引申和推广；
1991
年，张景中院士的力作
“
蝴蝶定理的
新故事< br>”
（载于《中学数学》
1991
年第
1
期）以面积比和线段比为工具，与斯特温的证法一脉相承，别开生面，给出了
蝴蝶定理的推广和变异，揭示了该定理与 著名的
Pascal
定理
的深刻联系，令人耳目一新；
2008
年， 本版版主叶中豪老师
在
“
东方论坛
”
发帖
“
蝴蝶定 理的本质
”
，与陈殿林老师就蝴蝶
定理的对合本质展开讨论：从射影几何的观点看，蝴 蝶定理
实质就是迪沙格
(G
．
Desargues
，
159 1
—
1661)
对合定理的推
广。
二十多年来，我国的数学专家学者在各级数学专业刊物
上发文百余篇，沿不同途径、从不同角度对蝴 蝶定理进行了
深入、广泛、细致的探讨，从此，这个奇异而优美的蝴蝶定
理就像一只色彩斑斓的 蝴蝶，在九百六十万平方公里的数学
书刊上翩翩飞舞
......
在网上 溜达了一圈，发现有关
“
蝴蝶定理
”
的文献还真不少，
可谓汗牛充栋 ，浩如烟海。今信手搜集了一些，经整理供大
家参考：
（
1）平面几何中的名题及其巧解，
《数学教师》
1985
年
01
期
（
2
）谈谈蝴蝶定理，
《数学教师》
1985
年
02
期
（
3
）蝴蝶定理的变异，
《数学教师》< br>1985
年
06
期
（
4
）蝴蝶定理的多种 证法，
《数学教学研究》
1987
年
03
期
（< br>5
）蝴蝶定理史话，
《中学生数学》
1989
年
01
期
（
6
）射影变换下
Menelaus
定理和
C eva
定理，
《宁夏大学学
报
(
自然科学版
)
》< br>1990
年
01
期
（
7
）蝴蝶定理的新故 事，
《中学数学》
1991
年
01
期
（
8
）三阶虚圆点曲线的射影变换，
《工程图学学报》
1991
年
02
期
（
9
）直线对上的
“
蝴蝶定理
”，
《中等数学》
1991
年
06
期
（
10
）蝴蝶定理的研究综述，
《玉溪师范学院学报》
1994
年
0 2
期
（
11
）广义蝴蝶定理，
《数学通讯》
19 94
年
04
期
（
12
）关于蝴蝶定理的推广，< br>《温州师范学院学报》
1995
年
03
期
（
13
）
从蝴蝶定理的证明看高等几何对初等几何的作用，
《成
都师范高等专 科学校学报》
1995
年
04
期
（
14
）高观点下的蝴蝶定理，
《安康师专学报》
1996
年
02
期
（
15
）蝴蝶定理及其推广的射影本源，
《数学通报》
1996
年
03
期