奥数专题：蝴蝶定理和风筝定理
巡山小妖精
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2021年01月20日 10:50
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蝴蝶定理和风筝定理
引入
1
、蝴蝶定理
在梯形
ABCD
中，由对角线
AC
与
BD
分成的左右两个三角形（△
ADO
和△
BCO
）形状有
点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图）
，
蝴蝶三角形 的面积相等。
B
A
O
D
即
S
△
ADO
=S
△
BCO
C
2
、风筝定理
在任意四边形
ABCD
中，对角线
AC
、
BD
分成了四个三角形（如图）
，
A
S
1
这四个三角形的面积分别记为：
S
1
、
S
2
、
S
3
、
S
4
。
则它们的关系是：
S
3
O
S
1
×
S
4
=S
2
×
S
3
S
4
即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。
D
B
S
2
C
新授课
【例
1
】
如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小 三角形，已知△
AOD
的面积是
3
平方厘
米，△
DOC的面积是
9
平方厘米，梯形
ABCD
的面积是多少平方厘米？
A
O
D
C
B
练习
1
、如图，
2BO=DO
，且 阴影部分的面积是
4cm
2
，那么梯形
ABCD
的面积是多少平方厘 米？
B
A
O
D
2
、如图，阴影部分面积是
4cm
2
，
OC= 2AO
，求梯形的面积。
B
A
O
C
D
1
C
【 例
2
】
如图，
BD
，
CF
将长方形
ABC D
分成四块，红色三角形的面积是
4
平方厘米，黄
色三角形的面积是
8
平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米？
A
F
红
绿
B
E
黄
C
D
练习
1
、如图，
BD
，
CF
将长方形
ABCD
分成
4< br>块，红色三角形面积是
4
平方厘米，黄色三角形
面积是
6
平方 厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？
F
A
D
红
绿
E
黄
B
C
2
、如图，平行四边形
A BCD
的面积是
36
平方厘米，对角线
AC
、
BD
交于
O
点，
E
为
CD
上一点，已知四边形
EFOG
的面积是
3
平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？
E
D
C
G
F
（
1
）三角形
CEF
的面积，
（2
）
DF
的长度
O
A
B
【例
3
】
如图，
四边形
ABCD
是边长为
18
厘米的正方形，
已知
CE
的长是
ED
的
2
倍。求：
A
D
E
F
B
C
练习
正方形
ABCD
的边长是
12
厘米，已知
DE
是
EC
长 度的
2
倍。
三角形
DEF
的面积是多少平
方厘米？
CF
长多少厘米？
D
A
E
F
B
C
2
【例
4
】
正方形
ABCD
和正方形
CEFG
，且正方形
A BCD
边长为
10
厘米，则图中三角形
BDF
面积为多少平方厘米？
D
A
G
H
B
C
F
E
练习
1
、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是
10
厘米和
12
厘米，求阴影部分的
面积。
E
F
G
A
D
B
C
甲
乙
2
、三个正方形
ABCD
、
BEFG
、
FHKP
如图排列，正方形
BEFG
的边长是
3
厘米，求三角形
DEK的面积。
C
D
G
F
H
A
B
E
P
K
3