蝴蝶定理
温柔似野鬼°
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2021年01月20日 10:51
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问道游戏名-
蝴蝶定理
少
26
杨明煜
蝴蝶定理最早在
1815
年在英国杂志《男士日记》上见刊，征求证明，由于
其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名。蝴 蝶定理出现过许多优美奇特的
解法，
其中最早的，
应首推霍纳在
1815年所给出的证法。
有意思的是，
迟至
1972
年，人们都均用高等数学给 出繁琐的证明。然近些年来，证明者不乏其人，使得
这只翩翩起舞的蝴蝶栖止不定，
变化多端。
至于初等数学的证法，
在国外资料中，
一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的 ，他给予出的是面积证法，其中
应用了面积公式：
S=1/2
AB
·
AC
·
sinA
。
1969
年，查克里恩给出蝴蝶定理的逆定理：任何具有蝴蝶性质的凸闭曲线必定是椭圆。
1985
年，在河南省《数学教师》
创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，向国内介绍蝴蝶
定理，从此蝴蝶定理在 中国传开。接着，我国数学教育者马明在论文中指出，将
蝴蝶定理弦
AB
上的
M
点，拓广到弦
AB
外，蝴蝶定理仍然有成立之处。从此以
后，蝴蝶定理的研 究出现了一个高潮，人们发现，不仅仅是圆，任何二次曲线中
蝴蝶定理都有适用的形式，例如椭圆中的蝴 蝶定理。
1990
年，出现了筝形中的
蝴蝶定理，并发现，蝴蝶定理在退化的二次曲线 中仍然适用。关于蝴蝶定理的证
明，仅在初等几何的范围内，就有多达
50
多种证法， 譬如综合法、面积法、三
角法、解析法、相似法、向量法、全等三角形法等等。
证明
1
引理
1
：共边定理
引理
2
：共角定理
2
证：
引理
3
：
共圆定理
3
连结
AP
，
PD
，
CQ
，
QB
若
MX=MY
，
则
MX/MY=MP/MQ=1,MX/MP=MY/MQ, MX/XP=MY/YQ
，
MX/XP
·
YQ/MY=1
∴往证
MX/XP
·
YQ/MY=1
MX/XP
·
YQ/MY=S
△
AMD/S
△
APD
·
S
△< br>CQB/S
△
CMB(
共边定理
)
= S
△
AMD/S
△
CMB
·
S
△
CQB/ S
△
APD
=MA
·
MD/MB
·
MC(
共角定理
)
·
CQ
·
QB
·BC/AP
·
PD
·
DA(
共圆定理
)
=MA/MB
·
MD/MC
·
QB/AP
·CQ/PD
·
BC/DA
=MA/MB
·
MD/MC
·
MB/MP
·
MQ/MD
·
MC/M A
（相似）
=MQ/MP=1
（证
毕）
4
附录一：引理的证明
1.
共边定理
其实上面给的共边定理仅为共边定理的一部分，真正的共边定理是：设直线
AB
与
PQ
交于
M
，则
S
△
PA B/S
△
QAB=PM/QM
5