美的组词-

2021年1月20日发(作者：相曾贻)
第二十一讲

等积变形




三角形和 平行四边形的关系非常紧密．
回想它们的面积公式，
如果我们把一个平行四边
形沿对角 线分成两块，那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半，如图：




除了上面这种情形外，
下图中的阴影三角形由于和平行四边形底、
高都相同，
所以面积
也是平行四边形的一半．
（注意：长方形也是平行四边形）





底

底

底

底

例题
1
如图，已知平行四边形
ABCD
的面 积是
100
平方
厘米，
E
是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积
是多少平方厘米？

「分析」
辅助线把整个图形分成了左右两个平行
A
E
D
四边形，两个阴影三角形与它们分别有什么关
B
系呢？




练习
1
如图，
E
是平行四边形
AB CD
中的任意一点，
已
知△
AED
与△
EBC
的面 积和是
40
平方厘米，
那么图
中阴影部分的面积是多少？






E
A
C
D
B
C
下图中，两条平行线间有四个三角形：三角形
OAB
、三角形
P
AB
、三角形
MAB
和三角
形
NAB
，它们的底相 同，都是
AB
；高相等，都是两条平行线间的距离，所以这四个三角形
的面积是相等的 ．进一步，我们可以在直线
ON
上任取若干个点，这些点分别与
A
、
B
两点
形成若干个同底等高的三角形，这些三角形的面积是相等的．







A
底

B
高

O
P
M
N
我们把这种“底相同，高相 等”的情况简称为“同底等高”
．
“同底等高”是我们最早碰
到的三角形等积变形的情 形，而“等高”最常见的情况就是平行线间的距离相等．

如果两个三角形同底等高，那么它们的面积相等．

利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，是很常见的三角形等积变形．


例题
2
如图，
平行四边形
ABCD
的底边
AD< br>长
20
厘米，
高
CH
为
9
厘米；
E
是底边
BC
上任意的一点，那
么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？

「分析」
能否通过等积变形，
把两个三角形变
成一个三角形呢？



练习
2
如图，
平行四边形
ABCD
的面积是
100
平方
厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？

A
D
B
E
C
A
F
H
D





例题
3
如图所 示，
ABFE
和
CDEF
都是长方形，
AB
的长是
4
厘
米，
BC
的长是
3
厘米．
那么图中阴影部分的 面积是多少平方
厘米？

「分析」
能否通过等积变形，把上层与下层的三角形
分别变成一个三角形呢？




练习
3
如图，
ABCD
和
CDEF
都是平行四边
形，四边形
ABFE
面积为
60
平 方厘米．请
问：阴影部分面积是多少平方厘米？






B
C
F
A
D
E
F
A
B
B
C
D
C
E
在利用同 底等高三角形计算面积的题目中，
最重要的一步就是去寻找其中的平行线，
进

而寻找同底等高
、面积相等
的三角形．

．．．．
．．．．

例题
4
如图，梯形
ABCD
中，
E
是对角线
AC
上的一点，
已知
DE
和
AB
平行，
那么与△
ADC
面积相等的三角形
一共有哪几 个？

「分析」
要找同底等高面积相等的三角形，
B
E
C
A
D
首先必须找到平行线哦！



练习
4
如图，梯形
ABCD
中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？







A
O
B
D
C
画辅助线是解决几何问题最常用、< br>最重要的方法之一，
一条好的辅助线，
往往能把无从
下手的复杂题目变得非常简 单．一般我们习惯把辅助线画成虚线．

在上一讲中，
我们已经接触过了一些需要画辅 助线解决的题目，
在利用同底等高三角形
计算面积的题目中，
我们往往需要自己画出平 行线
去构造、
寻找同底等高的三角形进而进行
．．．．．
面积转化．


例题
5
如图，大正方形的边长是
10
厘米，小正方形的 边长是
8
厘米．求阴影部分的面积．




< br>「分析」
图中的三角形底、高都是未知并且不可求的，能否通过等积变形，寻找
与它们同 底等高、面积相等的三角形呢？记得先找平行线哦！


如右图，梯形
ABC D
中，对角线相交于
O
点，由于
AD
与
BC
平行， 那么就有△
ABC
与△
DBC
同底等高、面
积相等，△
AB D
与△
ACD
同底等高、面积相等．

那么这个图中还有没有其他面 积相等的三角形呢？
我们观察一下，△
ABC
与△
BCD
都包含有△
OBC
，而△
B
A
O
D
C
AB C
与△
BCD
面积相等，那么就有△
ABO
与△
CDO面积相等．

我们把梯形中出现的这第三对三角形面积相等称作“梯形的两翼相等”
，因为△
ABO
与
△
CDO
恰好如同两片翅膀一般，有的时候我们 也称其为“蝴蝶模型”
．

“蝴蝶模型”在几何中应用非常广泛，尤其是在高年级学习 比例之后，
而且，应用蝴蝶
模型，往往能够使得一些过去非常头疼的题目变得异常简单．


例题
6
如图所示，
长方形
ABCD
内的阴影部分的面
A
积之和为
70
，
AB
=8
，
AD
=15
，四边形< br>EFGO
的
面积是多少？

「分析」
能否应用“蝴蝶模型”
，使得三块
O
E
B
F
G
C
D
分离的三角形合并呢？



课堂内外

蝴蝶定理

蝴蝶定理
（
Butterfly theorem
），是古典欧式平面几何中最精彩的结果之一．

这个命题最早出现在
1815
年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学
月刊》
1944
年
2
月号，
1985
年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同 志以《平
面几何中的名题及妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地
到 处传开．

这个定理最基本的叙述为：设
M
为圆内弦
PQ
的 中点，过
M
作弦
AB
和
CD
，设
AD
和< br>BC
分别相交
PQ
于点
X
和
Y
，则
M
是
XY
的中点．

从图中可以看出题目的图形像一只蝴蝶，该定理名字
由此而得．

实际上，在椭圆中，依然存在蝴蝶定理，把上图“压
扁”即可．

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