包海清-

2021年1月20日发(作者：闵鸿)
平行四边形与梯形的关系

——试论平行四边形是特殊的梯形

【内 容
摘要
】
：
本人从教这几十年来，一直从事小学数学教学，多次面对《平行< br>四边形与梯形》
章节的教学。
每当在教学该章节时感觉教材对平行四边形和梯形
的关系的划分上不是那么科学和恰当，因此，
通过多年的酝酿，
现作如下分析和
论证。

【主题词】
：
平行四边形


梯形



关系

【正文】
：本人从教这几十年来，一直从事小学 数学教学，多次面对《平行四边形
与梯形》
章节的教学。
每当在教学该章节时感觉教材 对平行四边形和梯形的关系
的划分上不是那么科学和恰当，因此，通过多年的酝酿，现作如下分析和论证 。





在小学中年级的数学教材中都编写有
《平行四边形与梯形》这一节内容，在
其中定义梯形的概念是：
“只有一组对边平行的四边形叫 作梯形。
”
这句话大概一
看好像并无什么问题，并且也得到了广大教学工作者的“认可 ”和“理解”来对
自己的学生进行教学。
（当然，我本人虽然有不赞同的想法，但为了应试教育 和
本人的想法还没得到大家认可的情况下，也只好随大流，照本宣科。
）好像谁也
不会 深究下去。接着便会画出四边形各种图形的关系图（如图
(1)
）

（
1
）











从概念定义和关系图上看，
梯形和平行四边形就是 并列的关系，
好像没有什
么不妥，但如果我做如下的一些操作，便会发现，
“如果把并 列关系变为梯形包
含平行四边形更为恰当”
。

“只有一组对边平行的四边形叫梯形。
”如果有一四边形（如下图）

a
A
B
b
c
平行四边形

正方形

长方形

棱形

梯形

四边形




C
D
d



一、如果只有以下某一个条件：
(1)
“
AB//CD
”或者“
AC//BD
”并且我们什
么测量的工具或手段都没有，
让我一定要判断它至少是什么 图形，
这时我想大家
会毫不犹豫地说它至少会是“梯形”
。但实际情况是，如果我通过 测量另一组对
边也平行，那么，我们刚刚毫不犹豫的判断就出问题了。因为教材的定义是“只
有 一组对边平行的四边形才是梯形”这就“绝对”不能是梯形了。而这个理论上
的“绝对不能”
在 实际中并不起作用，
因为把它判断为梯形好像也不会有什么不
可。





二、我们虽然不去测另一对边（假设
AC
、
BD
边）是否平行，但我们却测
量平行的那组对边（假设
AB
、
CD
边）的长度，
AB=a
，
CD=b
，并且还测得平

行边
(AB//CD)
之间的距离为“
h
”
，这时如果我们要计算 该图形的面积就是：
S=1/2(a+b)h
。但实际情况会出现两种现象：
1
、
a
≠
b
；
2
、
a=b
。当然，当“< br>a
≠
b
”
时，这就与教材中梯形概念的定义相吻合，也就没什么问题； 但当“
a=b
”时，
S=1/2(a+b)h
就会变成：
“
S=ah
”或“
S=bh
”
。而这两个等式不正好是平行四边形
的面 积公式吗？这又与教材中的梯形和平行四边形关系的划分而矛盾。而这个
“矛盾”在实际中也不影响解决 的效果。





另外，
如果按照现在对梯形和 平行四边形关系的划分，那么，把正方形划归
于长方形的特殊形式，
也是有问题的；
把 长方形和正方形划归于平行四边形也有
问题。因为，长方形只是对边相等。四个角是直角，而正方形还多 了四条边都相
等这“一重要条件”
，同样，平行四边形与长方形相比较，长方形不也比平行四< br>边形多了一个平行四边形有没有的“四个角都是直角”这一“重要条件”
。





以上的两个“重要条件”
，不正好与梯形和平行四边形比梯形 多一个两组对
边分别平行这一“重要条件”而相似么。

如梯形与平行四边形因此不能 是包含与被包含的关系，
那么，
四边形的关系
图只能如下图了。
（如图）






因此，
我认为，我们 学习数学这一工具学科，
主要目的之一就是用来解决日
平
行
四
边形< br>
正方形

长方形

梯形

四边形

棱形

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