三角函数公式的推导及公式大全
余年寄山水
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2021年01月20日 14:38
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诱导公式
目录·
诱导公式
·
诱导公式记忆口诀
·
同角三角函数基本关系
·
同角三角函数关系六角形记忆法
·
两角和差公式
·
倍角公式
·
半角公式
·
万能公式
·
万能公式推导
·
三倍角公式
·
三倍角公式推导
·
三倍角公式联想记忆
·
和差化积公式
·
积化和差公式
·
和差化积公式推导
诱导公式
★诱导公式★
常用的诱导公式有以下几组：
公式一：
设
α
为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin
（2kπ＋α）＝sinα
cos
（2kπ＋α）＝cosα
tan
（2kπ＋α）＝tanα
cot
（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设
α
为任意角，π+α
的三角函数值与
α
的三角函数值之间的关系：
sin
（π＋α）＝－sinα
cos
（π＋α）＝－cosα
tan
（π＋α）＝tanα
cot
（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角
α
与
-
α
的三角函数值之间的关系：
sin
（－α）＝－sinα
cos
（－α）＝cosα
tan
（－α）＝－tanα
cot
（－α）＝－cotα
1
公式四：
利用公式二和公式三可以得到
π
-
α
与
α
的三角函数值之间的关系：
sin
（π－α）＝
s
inα
cos
（π－α）＝－cosα
tan
（π－α）＝－tanα
cot
（π－α）＝－cotα
公式五：
利 用公式一和公式三可以得到
2π
-
α
与
α
的三角函数值之间 的关系：
sin
（2π－α）＝－sinα
cos
（2π－α）＝cosα
tan
（2π－α）＝－tanα
cot
（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α
及
3π/2±α
与
α
的三角函数值之间的关系：
sin
（π/2＋α）＝cosα
cos
（π/2＋α）＝－sinα
tan
（π/2＋α）＝－cotα
cot
（π/2＋α）＝－tanα
sin
（π
/2
－α）＝cosα
cos
（π/2－α）＝sinα
tan
（π/2－α）＝cotα
cot
（π/2－α）＝tanα
sin
（3π/2＋α）＝－cosα
cos
（3π/2＋α）＝sinα
tan
（3π/2＋α）＝－cotα
cot
（3π/2＋α）＝－tanα
sin
（3π/2－α）＝－cosα
cos
（3π/2－α）＝－sinα
tan
（3π/2－α）＝cotα
cot
（3π/2－α）＝tanα
(
以上
k∈z)
诱导公式记忆口诀
※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于
k·π/2±α(k∈z)的个三角函数值，
2
①当
k
是偶数时，得到
α
的同名函数值，即函数名不改变；
②当
k
是奇数时，得到
α
相应的余函数值，即
sin→co s;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把
α
看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
例如：
sin(2π－α)＝sin (4·π/2－α)，
k
＝
4
为偶数，所以取
sinα。
当
α
是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜
0
，符号为“－”。
所以
sin(2π－α)＝－sinα
上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式 右边的符号为把
α
视为锐角时，角
k·360°+α（k∈z），
-
α、180°±α，360°
-
α
所在象
限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也 可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．
其他三角函数知识：
同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系
:
tanα ·cotα＝
1
sinα ·cscα＝
1
cosα ·secα＝
1
商的关系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
平方关系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝
1
1
＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1
＋cot^2(α)＝csc^2(α)
同角三角函数关系六角形记忆法
3
六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）
构造以
上弦、中切、 下割；左正、右余、中间
1
的正六边形为模型。
（
1
）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（
2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是
两条 虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。
（
3
）平方关系 ：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上
的三角函数值的平方 。
两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin
（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin
（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos
（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos
（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ
tan
（α＋β）＝——————
1
－tanα ·tanβ
tanα－tanβ
tan
（α－β）＝——————
1
＋tanα ·tanβ
倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α )＝2cos^2(α)－
1
＝
1
－2sin^2(α)
2tanα
tan2α＝—————
1
－tan^2(α)
半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
1
－cosα
sin^2(α/2)＝—————
2
1
＋cosα
cos^2(α/2)＝—————
2
4
1
－cosα
tan^2(α/2)＝—————
1
＋cosα
万能公式
⒌万能公式
2tan(α/2)
sinα＝——————
1
＋tan^2(α/2)
1
－tan^2(α/2)
cosα＝——————
1
＋tan^2(α/2)
2tan(α/2)
tanα＝——————
1
－tan^2(α/2)
万能公式推导
附推导：
sin2α=2sinαco sα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，
（因为
cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把
*
分式上下同除
cos^2(α)，可得
sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))
然后用
α/2
代替
α
即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式
⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
3tanα－tan^3(α)
tan3α＝——————
1
－3tan^2(α)
三倍角公式推导
附推导：
tan3α＝sin3α/cos3α
＝(sin2α cosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα
-
sin2αsinα)
＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3( α)－cosαsin^2(α)－
2sin^2(α)cosα)
5
上下同除以
cos^3(α)，得：
tan3α＝(3tanα －tan^3(α))/(1
-
3tan^2(α))
sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋
(1
－2sin^2(α))sinα
＝2sinα－
2sin
^3(α)＋sinα－2sin^2(α)
＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))
＝4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
三倍角公式联想记忆
记忆方法：谐音、联想
正弦三倍角：
3
元
减
4
元
3
角（欠债了
(
被减成负数
)< br>，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）
余弦三倍角：
4
元
3
角
减
3
元（减完之后还有“余”）
☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。
和差化积公式
⒎三角函数的和差化积公式
α＋β
α－β
sinα＋sinβ＝
2sin
—
----
·cos—
---
2
2
α＋β
α－β
sinα－sinβ＝
2cos
—
----
·sin—
----
2
2
α＋β
α－β
cosα＋cosβ＝
2cos
—
-----·cos—
-----
2
2
α＋β
α－β
cosα－cosβ＝－
2sin
—
-----
·sin—
---- -
2
2
积化和差公式
⒏三角函数的积化和差公式
6
sinα ·cosβ＝
0.5[sin
（α＋β）＋
sin
（α－β）
]
cosα ·sinβ＝
0.5[sin
（α＋β）－
sin
（α－β）
]
cosα ·cosβ＝
0.5[cos
（α＋β）＋
cos
（α－β）
]
sinα ·sinβ＝－
0.5[cos
（α＋β）－
cos
（α－β）
]
和差化积公式推导
附推导：
首先
,
我们知道
sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina *cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到
sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以
,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理< br>,
若把两式相减
,
就得到
cosa*sinb=(sin(a+b)- sin(a-b))/2
同样的
,
我们还知道
cos(a+b)=cosa*cosb- sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以
,
把两式相加
,
我们就可以得到
cos(a+b)+cos(a-b)=2co sa*cosb
所以我们就得到
,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 同理
,
两式相减我们就得到
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos (a-b))/2
这样
,
我们就得到了积化和差的四个公式
:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好
,
有了积化和差的四个公式以后
,
我们只需一个变形
,
就可以得到和差化积的 四个公式
.
我们把上述
四个公式中的
a+b
设为
x,a-b
设为
y,
那么
a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把
a,b
分别用
x,y
表示就可以得到和差化积的四个公式
:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx- siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx- cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
利用变角思想
.
A=(A+B)/2+(A-B)/2
B=(A+B)/2-(A-B)/2
sinA+sinB=sin[ (A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]
=si n[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]+ sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]-cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2 ]
=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
其它的同理可得
回答：
2008-09-21
15:32
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8
SBB55
[
学长
]
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-cosasinb
两式求和得
< br>sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb
此式从右往左即为积化和差
令
a+b=x.a-b=y,
则
a=(x+y)/2,b=(x- y)/2
得
sinx+siny=1/2*[sin(x+y)/2co s(x-y)/2]
这就是和差化积
仿此可得其余
6
个公式
三角函数相关公式大全
关键词
：
三角公式
三角函数
最近复习微积分
,
几个三角函数的转换弄得我晕头转向
,
本来高中的时候就没记熟
,
现在又得记一遍了
=.=
好郁闷
,
进度太慢了
...
9
1
三角函数的定义
1.1
三角形中的定义
图
1
在直角三角形中定义三角函数的示意图
在直角三角形
ABC
，如下定义六个三角函数：
•
正弦函数
10
•
余弦函数
•
正切函数
11
•
余切函数
•
正割函数
12
•
余割函数
1.2
直角坐标系中的定义
图
2
在直角坐标系中定义三角函数示意图
在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：
13
•
正弦函数
•
余弦函数
14
•
正切函数
•
余切函数
15
•
正割函数
•
余割函数
2
转化关系
2.1
倒数关系
16
17
2.2
平方关系
18
2
和角公式
19
20
3
倍角公式、半角公式
3.1
倍角公式
21