抽屉原理与排列组合.
余年寄山水
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2021年01月20日 18:50
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一般现在时讲解-
抽屉原理
把
4
只苹果放到
3
个抽屉里 去，
共有
3
种放法，
不论如何放，
必有一个抽屉里至少放进两个苹果。
同样，把
5
只苹果放到
4
个抽屉里去，
必有一个 抽屉里至少放进两个苹果。
……更进
一步，我们能够得出这样的结论：把
n
＋
1
只苹果放到
n
个抽屉里去，那么必定有一个抽屉
里至少放进两个苹 果。这个结论，通常被称为抽屉原理。
利用抽屉原理，可以 说明（证明）许多有趣的现象或结论。不过，抽屉原理不是拿来就
能用的，关键是要应用所学的数学知识 去寻找“抽屉”
，制造“抽屉”
，弄清应当把什么看作
“抽屉”
，把什么看作 “苹果”
。
【例
1
】一个小组共 有
13
名同学，其中至少有
2
名同学同一个月过生日。为什么？
【分析】每年里共有
12
个月，任何一个人的生日， 一定在其中的某一个月。如果把这
12
个月看成
12
个“抽屉”
，把
13
名同学的生日看成
13
只“苹果”
，把
13
只 苹果放进
12
个
抽屉里，
一定有一个抽屉里至少放
2
个苹果 ，
也就是说，
至少有
2
名同学在同一个月过生日。
【例
2
】任意
4
个自然数，其中至 少有两个数的差是
3
的倍数。这是为什么？
【分析】首先我们要弄清这样一条规律：
如果两个自然数除以
3
的余数相同，
那么这两
个自然数的差是
3
的倍数。而任何一个自然数被
3
除的余 数，或者是
0
，或者是
1
，或者是
2
，根据这三种情况，可 以把自然数分成
3
类，这
3
种类型就是我们要制造的
3
个“ 抽屉”
。
我们把
4
个数看作“苹果”
，根据抽屉原理，必定有一个抽 屉里至少有
2
个数。换句话说，
4
个自然数分成
3
类，至少有两个是同一类。
既然是同一类，
那么这两个数被
3
除的余数就一< br>定相同。所以，任意
4
个自然数，至少有
2
个自然数的差是
3
的倍数。
想一想，例
2
中
4
改为
7
，
3
改为
6
，结论成立吗？
【例
3
】有规格尺寸相同的
5
种颜 色的袜子各
15
只混装在箱内，试问不论如何取，从
箱中至少取出多少只就能保证有< br>3
双袜子（袜子无左、右之分）？
【分析】 试想一下，从箱中取出
6
只、
9
只袜子，能配成
3
双袜子吗 ？回答是否定的。
按
5
种颜色制作
5
个抽屉，根据抽屉原理
1
，只要取出
6
只袜子就总有一只抽屉里装
2
只，
这
2
只就可配成一双。拿走这一双，
尚剩
4
只，如果再补进
2
只又成
6
只，
再根据抽屉原理
1
，又可配成一双拿走。如果再补进
2
只，又可取得第
3
双。所以，至少要取
6
＋
2< br>＋
2=10
只袜子，就一定会配成
3
双。
【例
4
】一个布袋中有
35
个同样大小的木球 ，其中白、黄、红三种颜色球各有
10
个，
另外还有
3
个蓝色球、< br>2
个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少
有
4
个是同一颜色的球？
【分析】从最“不利”的取出情况入手。
最不利的 情况是首先取出的
5
个球中，有
3
个是蓝色球、
2
个绿色球 。
接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜 色球相等均超过
4
个，所以，
根据抽屉原理
2
，只要取出的球数多于 （
4-1
）×
3=9
个，即至少应取出
10
个球，就可以保
证取出的球至少有
4
个是同一抽屉（同一颜色）里的球。
故总共至少应取出
10
＋
5=15
个球。
思考：把题中要求改为
4
个不同色，或者是两两同色，情形又如 何？
(
答案分别为
31
和
33
）
当我们遇到
“判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个”
这 样的问题时，
想到它—
—抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。
提示语
抽屉原理还可以反过 来理解：假如把
n
＋
1
个苹果放到
n
个抽屉里，放
2
个或
2
个以上
苹果的抽屉一个也没有（与“必有一个抽屉放
2个或
2
个以上的苹果”相反）
，那么，每个
抽屉最多只放
1个苹果，
n
个抽屉最多有
n
个苹果，与“
n+1
个苹果 ”的条件矛盾。
运用抽屉原理的关键是“制造抽屉”
。通常，可采用把< br>n
个“苹果”进行合理分类的方
法来制造抽屉。比如，若干个同学可按出生的月份不同分 为
12
类，自然数可按被
3
除所得
余数分为
3
类< br>