儿童节目主持人-

2021年1月20日发(作者：全氏)
数学中的抽屉原理



先看简单的事实：把
3
本 书放到两个抽屉里，只有两种
情况：一个一本一个二本，或一个三本一个没有。无论哪种
情况， 都至少有一个抽屉里有两本或两本以上的书。更一般
地说，只要被放置的书数比抽屉数目大，就一定会有 两本或
两本以上的书放进同一抽屉。

（一）抽屉原理的常见式

【 原理一】
：如果把
n
个东西放进
n
（
mn
）只抽屉 里，则至少
有一只抽屉要放进两个或两个以上的东西。

【例
1
】求 证：在任意选取的
n+1
个整数中，至少存在两个
整数，它们的差能被
n整除。

证明：对于
n+1
个整数，被除所得的余数为
0
，
1
，…，
n
－
1
共
n
类，按余数的不 同分成的
n
类中，至少有两个在同一类
里，即这两个数被
n
除时所得 的余数相同，那么它们的差就
一定能被
n
整除。

【例
2< br>】幼儿园有三种塑料玩具（白兔、熊猫、长颈鹿）各
若干个，每个小朋友任意选择两件。证明：不 管怎样挑选，
在七个小朋友中总有两个人选的玩具相同。

证明：
从三种玩具 中挑选两件，
搭配方式共有下列六种：
（兔、
兔）
、
（兔、熊猫）< br>、
（兔、长颈鹿）
、
（熊猫、熊猫）
、
（熊猫、
长颈 鹿）
、
（长颈鹿、长颈鹿）
，每一种可以看作一个抽屉，
七人的
7< br>种选法中，只有
6
种不同的搭配，由抽屉原理，七
第
1
页

人中至少有两人挑选玩具时搭配方式相同。

【原理二】
：如果把多于
m×n
件东西，任意放进
n
个抽屉，
那么至少有一个 抽屉里有不少于
m+1
件东西。

【例
3
】在口袋里有红色 、蓝色和黄色的小球若干个，
21
个
人轮流从袋中取球，每人每次取
3
个球。求证：这
21
个人
中至少有
3
个人取出的颜色相同。

证明：
取出的三个球颜色是同一色的
（即全红、
全蓝或全黄）
有 三种不同的情况，
是两色的
（如两红一蓝等）
有
6
种情况，
是三色的（即红、蓝、黄三色小球各一个）只有一种情况，
故共可分成
10
类。由抽屉 原理二知道，把
21
个人所取出的
球按颜色可归为这
10
类中，则必 有一类至少有（个）
。

所以，
21
个人中至少有
3
人取出的球的颜色相同。
运用抽屉原理只是肯定了“存在”、
“总有”、
“至少有”，
却不能确切地指出哪 个抽屉里存在多少。

（二）怎样应用抽屉原理

应用抽屉原理解题，一般有三个步骤：

（
1
）列出分类对象；

（
2
）找出分类规则（即 构造抽屉）并证明每一类中的东西
符合题意；

（
3
）根据题意应用抽屉原理证明结论成立。

【例
4】给定
997
个整数
1
，
3
，
5
，… ，
1993
，求证：从中
任取
500
个不同的数，其中必有两个整数 的和为
1994
。

第
2
页

证明： 把这
997
个整数中两数相加和为
1994
的每两个数分
为一组，剩 余的数为一组，可分为
499
组，为：

｛
1
，
1 993
｝
，
｛
3
，
1991
｝
，…，｛
995
，
999
｝
，
｛
997
｝< br>
根据原理一，从这
499
组中任取
500
个数，必有两个数 取自
同一组中，那么这两个数之和为
1994
，问题得证。

【例< br>5
】有
21
个自然数，且，求证：所有的差数中至少有四
个相等。
证明：
以所有可能的差
1
，
2
，
3
，
…，
69
作为抽屉扣住“差”，
构成下列差数作为分类对象。
< br>对于可作出
20
个差数
（即）
，
对于可作出
19个差数
（即）
…
直至可作出一个差数，
即
（）
，
因此共有
1+2+3+…+19+20=210
个差数。根据原理二，由
[]+1= 4
，即至少有
4
个差相等，于
是命题得证。

【例
6
】求证：从任意
n
个自然数中可以找到若干个数，使
它们的和是
n
的倍数。

证明：以自然数被
n
除所得的余数
0
，
1
，
2
，…，
n
－
1
分类
制造抽 屉，扣住“和”构造下列和数：

若中有一个是
n
的倍数，问题得证。
（略）

可以看到，如 直接给出了分类对象，只要恰当制造抽屉就可
以了；如果没有直接给出分类对象，就要根据题意先构造出
分类对象。

有些问题要多次应用抽屉原理才能解决。

第
3
页

【例
7
】
对任意给的
84
个互异 的正整数，
试证其中一定存在
四个正整数，仅用减号、乘号和括号将它们适当综合为一个
算式，其结果为
1992
的倍数。

提示：1992=83×24

证明：由例
1
可知，在这
84
个互异的正整数中，至少有两
个数被
83
除的余数相同，不妨设，则：

83|
（）
< br>在这
82
个互异的正整数中，
至少有两数被
24
除的余数相同 ，
不妨设

则
24|
（）

因为（
83
，
24
）
=1
所以，83×24|（）
（）

即：
1992|
（）
（）

则、
、
、即为所求证存在的四个互异的正整数。

【例
8< br>】
从前
30
个自然数中最少要
（不看这些数而以任意方
式）取 出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中
较大的数是较小数的倍数？

分析与解答：

设想有
30
张分别写
1
、
2
、
3
、…、
30
的卡片，背面向上放
在桌子上，从中任意 抽取，如果抽取两张，譬如说可能抽到
3
，
5
，它们之间没有倍数关系，但也 也许抽到
2
、
4
，它们之
间就有倍数关系了。看来只抽两张，不能保 证出现题设的结
第
4
页

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