巧用抽屉原理解题
巡山小妖精
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2021年01月20日 18:54
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第
28
讲
巧用抽屉原理解题
巧点晴——方法和技巧
抽屉原理
I
将
n＋
1
件或更多件的物体随意地放到
n
个抽屉中
去，那么，至少有 一个抽屉中的物体个数不少于
2
个。
抽屉原
II
将多于
m
×
n
个（即
m
×
n
＋
1
，
m
×
n
＋
2
，…）物体
任意放到< br>n
个抽屉中去，
那么，
至少有一个抽屉中的物体个数不少于
m
＋
1
。
巧指导——例题精讲
A
级
冲刺名校·基础点晴
【例
1
】五（
1
）班有40
名学生。班里有
1
个小书架，同学们可
以任意借阅。试问：小书架上 至少要有多少本书，才能保证至少有一
个同学能借到
2
本书？
分析与解
把
40
名学生看成
40
个抽 屉，
多少本书看成多少个物
体。
要满足题意，根据抽屉原理，物体的个数必须多于抽屉的个数，
即书的本数必须多于
40
。
而大于
40
的最小整数是
41
，
所 以至少要放
41
本书才能保证至少有一个同学能借到
2
本书。而大于
40
的最小数
是
41
，所以至少放
41
本书才能保证至少有 一个同学能借到
2
本书。
答：小书架上至少要有
41
本书。
做一做
1
五（
1
）班有
49
名学生，老师至少拿几本书随意分给
大家 ，才能保证至少有一个同学能得到两本书？
1
/
8
【例
2
】有黑色、白色、黄色的筷子各
8
根，混杂放在一起。黑
暗 中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，
问：
至少要取多少根
才能保证达到要求？
分析与解
黑色、白色、黄色可以看成
3
个抽 屉。每抽出
4
根筷
子，放入
3
个抽屉，必有某个抽屉中至少有
2
根，就是有
1
双。
取出这
1
双筷子再补充< br>2
根筷子，则会有
4
极筷子，又可取出
1
双，但已取出的2
双可能同色。最不得的情况下，可能取出
4
双同色
的。
此时这种颜色的筷子已经没有了，抽屉减少
1
个，故只要再放
3
根筷子， 就又可得出
1
双与前不同色的筷子。
故至少要取
8
＋
3=11
（根）筷子。
答：至少要取
11
根筷子。
做一做
2
衣柜里有
10
件绿色衣服，
6
件白色衣服，
7
件红色衣< br>服，
2
件蓝色衣服。如果闭着眼睛取衣服，那么至少要取多少件，才
能保证取出 的衣服中最少有两件颜色相同？
【例
3
】副扑克牌有
4
种花色，每种花色有
13
张，从中任意抽
牌，问：最少要抽多少张牌，才能保 证有
4
张牌是同一花色的？
分析与解
将每种 花色看成是一个抽屉，共有
4
个抽屉，放入
1
至
4
张牌，< br>可能每种花色至多各
1
张，
从而不能保证一定有同花色的
牌出现。
放入
5
至
8
张牌，
可能每种花色到多
2张牌。
放入
9
至
12
张牌，
2
/
8
可能每种花色至多
3
张牌。放入
13
张牌，就一定有< br>4
张牌是同花色
的。
所以，
抽出
3
×4
＋
1=13
张牌，
才能保证有
3
＋
1=4< br>张牌是同花色
的，故最少要抽出
13
张牌。
答：最少要抽出
13
张牌，一定能保证有
4
张牌是同一花色的。
小结
本题利用了抽屉原理
“
m
×
n< br>＋
1
个物品分成
n
类，
至少有
1
类有至少< br>n
＋
1
个物品“。这里
m=3,n=4
。
做一做
3
幼儿园小朋友分水果、有苹果、鸭梨和橘子
3
种。如
果每个小朋友任意拿两个，那么，至少有多少个小朋友拿过后，才一
定会出现两人拿的水 果是相同的？
B
级
培优竞赛·更上层楼
< br>【例
4
】学校开设了音乐、美术、体育和科技
4
个举小组。每位
同学任意参加两个小组的活动，问：至少有几个同学参加活动，就能
保证有
2
个同学 参加的小组相同？
分析与解
每位同学可以任意参加两个小组的活动，这两 个小组
可以是音乐组和美术组，音乐组和体育组，音乐组和科技组，美术组
和体育组，美术组和 科技组，体育组和科技组。把这
6
种选择看做
6
个抽屉，把参加活动的同学看 做物体。
根据抽屉原理，
要保证至少有
2
个同学参加的小组相同，
至少要
有
7
个同学参加活动。
答：至少要有
7
个同学参加活动。
3
/
8
做一做
4
幼儿园买来许多猪、狗、马的塑料玩具，每个小朋友
任 意选择两件。
问：
至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具相
同？
【例
5
】把
135
块饼分给
16
个小朋 友。若每个小朋友至少要分
到一块饼干，
那么不管怎样分，
一定会有两个小朋友得到的 饼干数目
相同。为什么？
分析与解
16
个小 朋友→
16
个抽屉；
135
块饼干→
135
个物体。
如果
16
个小朋友所分到的饼干数都不相同，那么饼干至少要有
1
＋
2
＋
3
＋…＋
16=
（
1
＋
16
）×
16
÷
2=136
（块）
现只有
135
块饼干，我们把
16
个小朋友看做
16
个抽屉时，把
135
块饼干看做是
135
个物体。
当我们把物体放进
16
个抽屉时，
如果每个抽屉的物体数量不同，
那么一定有一个抽屉没有物体；
如果要使每个抽屉里都有物体，
那么
至少有两个抽屉里的物体数量相同。
所以一定有 两个小朋友所得的饼
干数相同。
做一做
5
把
97
件玩具分给幼儿园大班的小朋友，不管怎样分
都至少有一位小朋友分得
5
件或
5
件以上的玩具。
问：
这个班最多有
多少个小朋友？
【例
6
】五（
1
）班有
40
名学生，他们都订阅了《小朋友》
《儿
童时代》
《少年报》三种报刊中的一种、两种或 三种。问：他们当中
至少有多少名学生订阅的报刊种类相同？
分析与解
求解本题的关键是在于找出订阅报刊的方法数。
订阅报刊的种类有：
（
1
）只订一种：
《小朋友》
《儿童时代》或《少年报》
；
4
/
8