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2021年1月20日发(作者：叶迪奇)

抽屉原理


把八个苹果任意地放进七个抽屉里，
不论怎 样放，
至少有一个抽屉放有两个或两个以上
的苹果．

抽屉原则有时也被称为 鸽巢原理，
它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证
明一些数论中的问题，因此，也 称为狄利克雷原则．它是组合数学中一个重要的原理．把它
推广到一般情形有以下几种表现形式．


形式一：

证明：设把
n
＋
1
个元 素分为
n
个集合
A
1
，
A
2
，…，
A
n
，用
a
1
，
a
2
，…，
a
n
表示这
n
个集
合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个
a
i
大于或等于
2
（用反证法）
假设结论不成立，
即对 每一个
a
i
都有
a
i
＜
2
，
则因 为
a
i
是整数，
应有
a
i
≤1，
于是有：

a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
≤1＋
1
＋…＋
1
＝
n
＜
n
＋
1
这与题设矛盾．

所以，至少有一个
a
i
≥2，即必有 一个集合中含有两个或两个以上的元素．

形式二：

设把
n
·
m
＋
1
个元素分为
n
个集合
A
1，
A
2
，…，
A
n
，用
a
1
，
a
2
，…，
a
n
表示这
n
个集合
里相应的元素个数，需要证明至少存在某个
a
i
大于或等于
m
＋< br>1
．

（用反证法）假设结论不成立，即对每一个
a
i
都有
a
i
＜
m
＋
1
，则因为
a
i
是整数，应有
a
i
≤
m
，于是有：

a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
≤
m
＋
m
＋…＋
m
＝
n
·
m

n
个
m

＜
n
·
m
＋
1
这与题设相矛盾．


所以，至少有存在一个
a
i
≥
m
＋
1
高斯函数：

对任意的实数
x
，

[
x
]
表示“不大于
x
的最大整数”．

例如：
[3
．
5]
＝
3
，
[2
．
9]
＝
2
，

[
－
2
．
5]＝－
3
，
[7]
＝
7
，……

一般地 ，我们有：
[
x
]≤
x
＜
[
x
]
＋
1
形式三：

证明：设把
n
个元素分为
k个集合
A
1
，
A
2
，…，
A
k
，用
a
1
，
a
2
，…，
a
k
表 示这
k
个集
合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个
a
i
大于或等于
[
n
/
k
]
．

（用反证法 ）假设结论不成立，即对每一个
a
i
都有
a
i
＜
[
n
/
k
]
，于是有：

a
1
＋< br>a
2
＋…＋
a
k
＜
[
n
/
k
]+[
n
/
k
]+…+[
n
/
k
]

k
个
[
n
/
k
]
＝
k
·[
n
/
k
]≤
k
·(
n
/
k< br>)
＝
n


∴
a
1
＋a
2
＋…＋
a
k
＜
n

这与题设相矛盾．


所以，必有一个集合中元素个数大于或等于
[
n
/
k
]
形式四：

用心




爱心





专心

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