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2021年1月20日发(作者：崔强)

鸡兔同笼问题的解法集锦

鸡兔同笼问题是中国古代著名的数学问题。那是 已知鸡兔的总头数和总足数，求鸡兔各
有多少只的一类典型应用题（本博前面曾多次介绍，为便于阅读在 本文最后加了链接，有兴
趣可点击查看）。它的题型虽然固定，但解题思路方法却多种多样，如假设法、 削补法、转
化法、分组法、盈亏法、倍比法、设零法、代数法等等，且解法还在不断创新。下面举一例< br>给出几种解法供参考。

例：鸡兔同笼，上有
40
个头，下有
100
只足。鸡兔各有多少只？

1
、极端假设
解法一：
假设
40
个头都是鸡，
那么应有足
2×
40= 80
（只）
，
比实际少
100-80=20
（只）
。
这是把兔看作鸡的缘故。
而把一只兔看成一只鸡，
足数就会少
4-2=2
（ 只）
。
因此兔有
20÷
2=10
（只），鸡有
40-10= 30
（只）。

解法二：
假设
40
个头都是兔，
那 么应有足
4×
40=160
（只）
，
比实际多
160-10 0=60
（只）
。
这是把鸡看作兔的缘故。
而把一只鸡看成一只兔，
足数就会多
4-2=2
（只）
。
因此鸡有
60÷
2=30< br>（只），兔有
40-30=10
（只）。

解法三：
假设100
只足都是鸡足，
那么应有头
100÷
2=50
（个），
比实际多
50-40=10
（个）
。
把兔足看作鸡足，兔的只 数（头数）就会扩大
4÷
2
倍，即兔的只数增加（
4÷
2-1
）倍。因此
兔有
10÷
（
4÷
2-1
）
=10< br>（只），鸡有
40-10=30
（只）。

解法四：
假设100
只足都是兔足，
那么应有头
100÷
4=25
（个），
比实际少
40-25=15
（个）
。
把鸡足看作兔足，鸡的只 数（头数）就会缩小
4÷
2
倍，即鸡的只数减少
1-1÷
（
2÷
4
）
=1/2
。
因此鸡有
15÷
1/2=30
（只），兔有
40-30=10
（只）。

2
、任意假设

解法五：
假设
40
个头中，
鸡有
12
个
（
0
至
40
中的任意整数）
，
则兔有
40-12=28
（个）
，
那么它们一共有足
2×
12+4×
28=136
（只），比实际多
136-100=36
（ 只）。这说明有一部分
鸡看作兔了，而把一只鸡看成一只兔，足数就会多
4-2=2
（ 只），因此把鸡看成兔的只数是
36÷
2=18
（只）。那么鸡实际有
12+ 18=30
（只），兔实际有
28-18=10
（只）。

解法六： 假设
100
只足中，有鸡足
80
只（
0
至
100< br>中的任意整数，最好是
2
的倍数），
则兔足有
100-80=20（只），那么它们一共有头
80÷
2+20÷
4=45
（个），比实际多
45-40=5
（个）。这说明把一部分兔足看作鸡足了，而把兔足看成鸡足，兔的只数（头数 ）就会增加

1

（
4÷
2-1
）倍。因此把兔 看作鸡的只数是
5÷
（
4÷
2-1
）
=5
（只）， 那么兔实际有
20÷
4+5=10
（只），鸡实际有
40-10=30
（只）。

通过比较可知：任意假设是极端假设的一般形式，而极端假设是任意假设的特殊形 式，
也是简便解法。

3
、除减法

解法七：用脚的总数除 以
2
，也就是
100÷
2=50
（只）。这里我们可以设想为，每只 鸡都
是一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。这样在
50
这 个数里，
鸡
的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次
.
因此从
5 0
减去总头数
40
，剩下的就是兔子头
数
10
只。有
10
只兔子当然鸡就有
30
只。

这种解法就是《孙子算经》中记 载的：做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多
简单！

4
、盈亏法

解法八：把总足数
100
看作标准数。假设鸡有
25
只，兔则有
40-25=15
（只），那么它
们有足
2×25+4×
15=110
（只），比标准数盈余
110-100=10
（ 只）；再假设鸡有
32
只，兔
则有
40-32=8
（只），那么它们 有足
2×
32+4×
8=96
（只），比标准数不足
100-96= 4
（只）。
根据盈不足术公式，可以求出鸡的只数。即鸡有（
25×
4+32 ×
10
）
÷
（
4+10
）
=30
（只）， 兔
则有
40-30=10
（只）。

5
、比例分配

解法九：
40
个头一共
100
只足，平均每个头有足
100 ÷
40=2.5
（只）。而一只鸡比平均
数少（
2.5-2
）只足， 一只兔比平均数多（
4-2.5
）只足。根据平均问题的
“
移多补少
”
思想：超
出总数等于不足总数，故知：（
2.5-2
）
×
鸡的只数
=
（
4-2.5
）
×
兔的只数。因此，

鸡的只数︰兔的只数
=
（
4-2.5
）︰（
2.5-2）
=1.5
︰
0.5=3
︰
1
按比例分配可以求出鸡 兔各有多少只。
即鸡有
40×
3/
（
3+1
）
=3 0
（只）
，
而兔则有
40×
1/
（
3+1
）
=10
（只）。

6
、布列方程

解法十：设鸡 有
x
只，那么兔有（
40-x
）只。根据题意列方程：

2x+4
（
40-x
）
=100
解这个方程得：
x=30 40-x=40-30=10
那么鸡有
30只，兔有
10
只。


2

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