(完整版)小学三年级数学思维训练简单数列的规律
余年寄山水
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2021年01月20日 22:41
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小学三年级数学思维训练简单数列的规律
第六讲找简单数列的规律
日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：
自然数：
1< br>，
2
，
3
，
4
，
5
，
6< br>，
7
，
…
（
1
）
年份：
1990
，
1991
，
1992
，
1993
，< br>1994
，
1995
，
1996
（
2
）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五
班 排列）
45
，
45
，
44
，
46
，
45
（
3
）
像上面的这些例子，
按一定次序排列的一 列数就叫做数列
.
数列中的每一个数都叫做这
个数列的项，其中第
1
个数称为这个数列的第
1
项，第
2
个数称为第
2
项，
…
，第
n
个数就称
为第
n
项
.< br>如数列（
3
）中，第
1
项是
45
，第
2项也是
45
，第
3
项是
44
，第
4
项 是
46
，第
5
项
45
。
根据数列中项的 个数分类，
我们把项数有限的数列
（即有有穷多个项的数列）
称为有穷数列，
把项数无限的数列
（即有无穷多个项的数列）
称为无穷数列，
上面的几个例子中，（
2
）
（
3
）
是有穷数列，（
1
）是 无穷数列。研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解
决问题的依据，本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律。
例
1
观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在
括号中填上合适的数
.
①
2
，
5
，
8
，
11
，（），< br>17
，
20
。
②
19
，
17，
15
，
13
，（），
9
，
7
。
③
1
，
3
，
9
，
27
，（ ），
243
。
④
64
，
32
，
16
，
8
，（），
2
。
⑤
1
，
1
，
2
，
3
，
5
，
8
， （），
21
，
34…
⑥
1
，
3
，
4
，
7
，
11
，
18
，（），
47…
⑦
1
，
3
，
6
，
10< br>，（），
21
，
28
，
36
，（）
. ⑧
1
，
2
，
6
，
24
，
12 0
，（），
5040
。
⑨
1
，
1
，
3
，
7
，
13
，（），
31
。
⑩
1
，
3
，
7
，
15
，31
，（），
127
，
255
。
(11)1
，
4
，
9
，
16
，
25
，（），
49
，
64
。
(12)0
，
3
，
8
，
15
，
24
，（），
48
，
63
。
(13)1
，
2
，
2
，
4
，
3
，
8
，
4
，
16
，5
，（）
.
(14)2
，
1
，
4
，
3
，
6
，
9
，
8
，
27
，
10
，（）
.
分析与解答
①
不难发现，从第
2
项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于
3.
因此，括号中应填的< br>数是
14
，即：
11
＋
3=14
。
②
同
①
考虑，
可以看出，
每相邻两项的差是一定 值
2.
所以，
括号中应填
11
，
即：
13
—
2=11
。
不妨把
①
与
②
联系起来继 续观察，容易看出：
数列
①
中，
随项数的增大，每一项的数值也相
应 增大，即数列
①
是递增的；数列
②
中，随项数的增大，每一项的值却依次减小 ，即数列
②
是递减的
.
但是除了上述的不同点之外，这两个数列却有一个共同 的性质：即相邻两项的差
都是一个定值
.
我们把类似
①②
这样的数列 ，称为等差数列
.
③
1
，
3
，
9
，27
，（），
243
。
此数列中，从相邻两项的差是看不出规 律的，但是，从第
2
项开始，每一项都是其前面一项
的
3
倍
.
即：
3=1×3
，
9= 3×3
，
27=9×3.
因此，括号中应填
81
，即
81= 27×3
，代入后，
243
也符合规律，即
243
＝
81×3
。
④
64
，
32
，
16
，
8
，（），
2
与
③
类似，本题中，从第
1
项开始，每一项是其后面一项的
2
倍，即： 因此，括号中填
4
，代入后符合规律。综合
③④
考虑，数列
③
是递增的数列，数
列
④
是递减的数列，但它们却有一个共同的特点：每列数中，相邻 两项的商都相等
.
像
③④
这样的数列，我们把它称为等比数列。
⑤
1
，
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，（
），
21
，
34…
首先可以看出，这个数列既不是等差数
列，也不是等比数列
.
现在我们不妨看 看相邻项之间是否还有别的关系，可以发现，从第
3
项
开始，每一项等于它前面两项的 和
.
即
2=1+1
，
3=2+1
，
5=2+3，
8=3
＋
5.
因此，括号中应
填的数是
13
，即
13=5+8
，
21=8+13
，
34=13+21
。
这个以
1
，
1
分别为第
1
、第
2
项，以后各项都 等于其前两项之和的无穷数列，就是数学上有
名的斐波那契数列，它来源于一个有趣的问题：如果一对成 熟的兔子一个月能生一对小兔，
小兔一个月后就长成了大兔子，
于是，下一个月也能生一对小兔 子，这样下去，假定一切情
况均理想的话，
每一对兔子都是一公一母，
兔子的数目将按 一定的规律迅速增长，
按顺序记
录每个月中所有兔子的数目（以对为单位，一月记一次），就得 到了一个数列，这个数列就
是数列
⑤
的原型，
因此，
数列
⑤
又称为兔子数列，
这些在高年级递推方法中我们还要作详细
介绍。
⑥
1
，
3
，
4
，
7
，
11
，
18
，（
），
47
…
在学习了数列
⑤
的前提下，数列⑥
的规律就显而易见了，从第
3
项开始，每一项都等于其前
两项的和.
因此，括号中应填的是
29
，即
29=11
＋18
。数列
⑥
不同于数列
⑤
的原因是：数
列
⑥
的第
2
项为
3
，而数列
⑤
为
1
， 数列
⑥
称为鲁卡斯数列。
⑦
1
，
3
，< br>6
，
10
，（
），
21
，
28
，
36
，（
）。
方法
1
：继续考察相邻项之间的关系，可以发现：因此，可以 猜想，这个数列的规律为：每
一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第
5
项为15
，即
15=10+5
，最后一项即第
9
项
为
45
，即
45
＝
36
＋
9.
代入验算，正确。
方法
2
：其实，这一列数有如下的规律：
第
1
项：
1=1
第
2
项：
3=1
＋
2
第
3
项：
6=1+2+3
第
4
项：
10=1+2+3+4
第
5
项：（
）
第
6
项：
21=1+2+3+4+5+6
第
7
项：
28=1+2+3+4+5+6+7
第
8
项；
36=1+2+3+4+5+6+7+8
第
9
项：（
）
即这个数列的规律是：每一项都等于从
1
开始，以其项数为最大数的
n 个连续自然数的和
.
因此，
第五项为
15
，
即：
15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5
；
第九项为
45
，
即：5=1+2+3+4+5+6+7+8+9
。
⑧
1
，
2
，
6
，
24
，
120
，（
），
5040
。
方法
1
：这个数列不同于上面的 数列，相邻项相加减后，看不出任何规律
.
考虑到等比数列，
我们不妨研究相邻项的商 ，显然：所以，这个数列的规律是：除第
1
项以外的每一项都等于
其项数与其前一项的 乘积
.
因此，括号中的数为第
6
项
720
，即
72 0=120×6
。
方法
2
：受
⑦
的影响，可以考虑连续自然数，显然：
第
1
项
1=1
第
2
项
2=1×2
第
3
项
6=1×2×3
第
4
项
24=1×2×3×4
第
5
项
120=1×2×3×4×5
第
6
项
（
）
第
7
项
5040=1×2×3×4×5×6×7
所以，第
6
项应为
1×2×3×4×5×6=720
< br>⑨
1
，
1
，
3
，
7
，
13
，（
），
31
与
⑦
类似：可以猜想，数列⑨
的规律是该项
=
前项
+2×
（项数
-2
）（ 第
1
项除外），那么，
括号中应填
21
，代入验证，符合规律。
⑩
1
，
3
，
7
，
15
，< br>31
，（
），
127
，
255
。
则：
因此，括号中的数应填为
63
。
小结：寻找数列的规律，通常从两个方面来考虑：
①
寻找