(完整版)小学三年级数学思维训练简单数列的规律
萌到你眼炸
618次浏览
2021年01月20日 22:41
最佳经验
本文由作者推荐
免费英语在线学习-
小学三年级数学思维训练简单数列的规律
第六讲找简单数列的规律
日常生活中,我们经常接触到许多按一定顺序排列的数,如:
自然数:
1< br>,
2
,
3
,
4
,
5
,
6< br>,
7
,
…
(
1
)
年份:
1990
,
1991
,
1992
,
1993
,< br>1994
,
1995
,
1996
(
2
)某年级各班的学生人数(按班级顺序一、二、三、四、五
班 排列)
45
,
45
,
44
,
46
,
45
(
3
)
像上面的这些例子,
按一定次序排列的一 列数就叫做数列
.
数列中的每一个数都叫做这
个数列的项,其中第
1
个数称为这个数列的第
1
项,第
2
个数称为第
2
项,
…
,第
n
个数就称
为第
n
项
.< br>如数列(
3
)中,第
1
项是
45
,第
2项也是
45
,第
3
项是
44
,第
4
项 是
46
,第
5
项
45
。
根据数列中项的 个数分类,
我们把项数有限的数列
(即有有穷多个项的数列)
称为有穷数列,
把项数无限的数列
(即有无穷多个项的数列)
称为无穷数列,
上面的几个例子中,(
2
)
(
3
)
是有穷数列,(
1
)是 无穷数列。研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性,以作为解
决问题的依据,本讲将从简单数列出发,来找出数列的规律。
例
1
观察下面的数列,找出其中的规律,并根据规律,在
括号中填上合适的数
.
①
2
,
5
,
8
,
11
,(),< br>17
,
20
。
②
19
,
17,
15
,
13
,(),
9
,
7
。
③
1
,
3
,
9
,
27
,( ),
243
。
④
64
,
32
,
16
,
8
,(),
2
。
⑤
1
,
1
,
2
,
3
,
5
,
8
, (),
21
,
34…
⑥
1
,
3
,
4
,
7
,
11
,
18
,(),
47…
⑦
1
,
3
,
6
,
10< br>,(),
21
,
28
,
36
,()
. ⑧
1
,
2
,
6
,
24
,
12 0
,(),
5040
。
⑨
1
,
1
,
3
,
7
,
13
,(),
31
。
⑩
1
,
3
,
7
,
15
,31
,(),
127
,
255
。
(11)1
,
4
,
9
,
16
,
25
,(),
49
,
64
。
(12)0
,
3
,
8
,
15
,
24
,(),
48
,
63
。
(13)1
,
2
,
2
,
4
,
3
,
8
,
4
,
16
,5
,()
.
(14)2
,
1
,
4
,
3
,
6
,
9
,
8
,
27
,
10
,()
.
分析与解答
①
不难发现,从第
2
项开始,每一项减去它前面一项所得的差都等于
3.
因此,括号中应填的< br>数是
14
,即:
11
+
3=14
。
②
同
①
考虑,
可以看出,
每相邻两项的差是一定 值
2.
所以,
括号中应填
11
,
即:
13
—
2=11
。
不妨把
①
与
②
联系起来继 续观察,容易看出:
数列
①
中,
随项数的增大,每一项的数值也相
应 增大,即数列
①
是递增的;数列
②
中,随项数的增大,每一项的值却依次减小 ,即数列
②
是递减的
.
但是除了上述的不同点之外,这两个数列却有一个共同 的性质:即相邻两项的差
都是一个定值
.
我们把类似
①②
这样的数列 ,称为等差数列
.
③
1
,
3
,
9
,27
,(),
243
。
此数列中,从相邻两项的差是看不出规 律的,但是,从第
2
项开始,每一项都是其前面一项
的
3
倍
.
即:
3=1×3
,
9= 3×3
,
27=9×3.
因此,括号中应填
81
,即
81= 27×3
,代入后,
243
也符合规律,即
243
=
81×3
。
④
64
,
32
,
16
,
8
,(),
2
与
③
类似,本题中,从第
1
项开始,每一项是其后面一项的
2
倍,即: 因此,括号中填
4
,代入后符合规律。综合
③④
考虑,数列
③
是递增的数列,数
列
④
是递减的数列,但它们却有一个共同的特点:每列数中,相邻 两项的商都相等
.
像
③④
这样的数列,我们把它称为等比数列。
⑤
1
,
1
,
2
,
3
,
5
,
8
,(
),
21
,
34…
首先可以看出,这个数列既不是等差数
列,也不是等比数列
.
现在我们不妨看 看相邻项之间是否还有别的关系,可以发现,从第
3
项
开始,每一项等于它前面两项的 和
.
即
2=1+1
,
3=2+1
,
5=2+3,
8=3
+
5.
因此,括号中应
填的数是
13
,即
13=5+8
,
21=8+13
,
34=13+21
。
这个以
1
,
1
分别为第
1
、第
2
项,以后各项都 等于其前两项之和的无穷数列,就是数学上有
名的斐波那契数列,它来源于一个有趣的问题:如果一对成 熟的兔子一个月能生一对小兔,
小兔一个月后就长成了大兔子,
于是,下一个月也能生一对小兔 子,这样下去,假定一切情
况均理想的话,
每一对兔子都是一公一母,
兔子的数目将按 一定的规律迅速增长,
按顺序记
录每个月中所有兔子的数目(以对为单位,一月记一次),就得 到了一个数列,这个数列就
是数列
⑤
的原型,
因此,
数列
⑤
又称为兔子数列,
这些在高年级递推方法中我们还要作详细
介绍。
⑥
1
,
3
,
4
,
7
,
11
,
18
,(
),
47
…
在学习了数列
⑤
的前提下,数列⑥
的规律就显而易见了,从第
3
项开始,每一项都等于其前
两项的和.
因此,括号中应填的是
29
,即
29=11
+18
。数列
⑥
不同于数列
⑤
的原因是:数
列
⑥
的第
2
项为
3
,而数列
⑤
为
1
, 数列
⑥
称为鲁卡斯数列。
⑦
1
,
3
,< br>6
,
10
,(
),
21
,
28
,
36
,(
)。
方法
1
:继续考察相邻项之间的关系,可以发现:因此,可以 猜想,这个数列的规律为:每
一项等于它的项数与其前一项的和,那么,第
5
项为15
,即
15=10+5
,最后一项即第
9
项
为
45
,即
45
=
36
+
9.
代入验算,正确。
方法
2
:其实,这一列数有如下的规律:
第
1
项:
1=1
第
2
项:
3=1
+
2
第
3
项:
6=1+2+3
第
4
项:
10=1+2+3+4
第
5
项:(
)
第
6
项:
21=1+2+3+4+5+6
第
7
项:
28=1+2+3+4+5+6+7
第
8
项;
36=1+2+3+4+5+6+7+8
第
9
项:(
)
即这个数列的规律是:每一项都等于从
1
开始,以其项数为最大数的
n 个连续自然数的和
.
因此,
第五项为
15
,
即:
15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5
;
第九项为
45
,
即:5=1+2+3+4+5+6+7+8+9
。
⑧
1
,
2
,
6
,
24
,
120
,(
),
5040
。
方法
1
:这个数列不同于上面的 数列,相邻项相加减后,看不出任何规律
.
考虑到等比数列,
我们不妨研究相邻项的商 ,显然:所以,这个数列的规律是:除第
1
项以外的每一项都等于
其项数与其前一项的 乘积
.
因此,括号中的数为第
6
项
720
,即
72 0=120×6
。
方法
2
:受
⑦
的影响,可以考虑连续自然数,显然:
第
1
项
1=1
第
2
项
2=1×2
第
3
项
6=1×2×3
第
4
项
24=1×2×3×4
第
5
项
120=1×2×3×4×5
第
6
项
(
)
第
7
项
5040=1×2×3×4×5×6×7
所以,第
6
项应为
1×2×3×4×5×6=720
< br>⑨
1
,
1
,
3
,
7
,
13
,(
),
31
与
⑦
类似:可以猜想,数列⑨
的规律是该项
=
前项
+2×
(项数
-2
)( 第
1
项除外),那么,
括号中应填
21
,代入验证,符合规律。
⑩
1
,
3
,
7
,
15
,< br>31
,(
),
127
,
255
。
则:
因此,括号中的数应填为
63
。
小结:寻找数列的规律,通常从两个方面来考虑:
①
寻找