(完整版)小学三年级数学思维训练简单数列的规律

萌到你眼炸
618次浏览
2021年01月20日 22:41
最佳经验
本文由作者推荐

免费英语在线学习-

2021年1月20日发(作者:马震武)
小学三年级数学思维训练简单数列的规律

第六讲找简单数列的规律

日常生活中,我们经常接触到许多按一定顺序排列的数,如:

自然数:
1< br>,
2

3

4

5

6< br>,
7



1


年份:
1990

1991

1992

1993
,< br>1994

1995

1996

2
)某年级各班的学生人数(按班级顺序一、二、三、四、五

班 排列)
45

45

44

46

45


3

像上面的这些例子,
按一定次序排列的一 列数就叫做数列
.
数列中的每一个数都叫做这
个数列的项,其中第
1
个数称为这个数列的第
1
项,第
2
个数称为第
2
项,

,第
n
个数就称

为第
n

.< br>如数列(
3
)中,第
1
项是
45
,第
2项也是
45
,第
3
项是
44
,第
4
项 是
46
,第
5

45


根据数列中项的 个数分类,
我们把项数有限的数列
(即有有穷多个项的数列)
称为有穷数列,
把项数无限的数列
(即有无穷多个项的数列)
称为无穷数列,
上面的几个例子中,
2


3

是有穷数列,(
1
)是 无穷数列。研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性,以作为解

决问题的依据,本讲将从简单数列出发,来找出数列的规律。


1
观察下面的数列,找出其中的规律,并根据规律,在

括号中填上合适的数
.

2

5

8

11
,(),< br>17

20



19

17
15

13
,(),
9

7


1

3

9

27
,( ),
243



64

32

16

8
,(),
2



1

1

2

3

5

8
, (),
21

34…


1

3

4

7

11

18
,(),
47…


1

3

6

10< br>,(),
21

28

36
,()
.
1

2

6

24

12 0
,(),
5040



1

1

3

7

13
,(),
31



1

3

7

15
31
,(),
127

255


(11)1

4

9

16

25
,(),
49

64


(12)0

3

8

15

24
,(),
48

63


(13)1

2

2

4

3

8

4

16
5
,()
.
(14)2

1

4

3

6

9

8

27

10
,()
.
分析与解答


不难发现,从第
2
项开始,每一项减去它前面一项所得的差都等于
3.
因此,括号中应填的< br>数是
14
,即:
11

3=14






考虑,
可以看出,
每相邻两项的差是一定 值
2.
所以,
括号中应填
11

即:
13

2=11


不妨把



联系起来继 续观察,容易看出:
数列

中,
随项数的增大,每一项的数值也相
应 增大,即数列

是递增的;数列

中,随项数的增大,每一项的值却依次减小 ,即数列

是递减的
.
但是除了上述的不同点之外,这两个数列却有一个共同 的性质:即相邻两项的差
都是一个定值
.
我们把类似
①②
这样的数列 ,称为等差数列
.

1

3

9
27
,(),
243


此数列中,从相邻两项的差是看不出规 律的,但是,从第
2
项开始,每一项都是其前面一项

3

.
即:
3=1×3

9= 3×3

27=9×3.
因此,括号中应填

81
,即

81= 27×3
,代入后,

243
也符合规律,即

243

81×3



64

32

16

8
,(),
2


类似,本题中,从第
1
项开始,每一项是其后面一项的

2
倍,即: 因此,括号中填
4
,代入后符合规律。综合
③④
考虑,数列

是递增的数列,数


是递减的数列,但它们却有一个共同的特点:每列数中,相邻 两项的商都相等
.

③④
这样的数列,我们把它称为等比数列。



1


1


2


3


5


8
,(

),

21


34…
首先可以看出,这个数列既不是等差数
列,也不是等比数列
.
现在我们不妨看 看相邻项之间是否还有别的关系,可以发现,从第
3

开始,每一项等于它前面两项的 和
.

2=1+1

3=2+1

5=2+3
8=3

5.
因此,括号中应
填的数是

13
,即
13=5+8


21=8+13


34=13+21


这个以
1

1
分别为第
1
、第
2
项,以后各项都 等于其前两项之和的无穷数列,就是数学上有
名的斐波那契数列,它来源于一个有趣的问题:如果一对成 熟的兔子一个月能生一对小兔,
小兔一个月后就长成了大兔子,
于是,下一个月也能生一对小兔 子,这样下去,假定一切情
况均理想的话,
每一对兔子都是一公一母,
兔子的数目将按 一定的规律迅速增长,
按顺序记
录每个月中所有兔子的数目(以对为单位,一月记一次),就得 到了一个数列,这个数列就
是数列

的原型,
因此,
数列

又称为兔子数列,
这些在高年级递推方法中我们还要作详细
介绍。


1


3


4


7


11


18
,(

),
47


在学习了数列

的前提下,数列
的规律就显而易见了,从第
3
项开始,每一项都等于其前
两项的和.
因此,括号中应填的是
29
,即

29=11
18
。数列

不同于数列

的原因是:数


的第
2
项为
3
,而数列


1
, 数列

称为鲁卡斯数列。


1

3
,< br>6

10
,(

),

21


28


36
,(

)。

方法
1
:继续考察相邻项之间的关系,可以发现:因此,可以 猜想,这个数列的规律为:每
一项等于它的项数与其前一项的和,那么,第
5
项为15
,即
15=10+5
,最后一项即第

9



45
,即

45

36

9.
代入验算,正确。

方法
2
:其实,这一列数有如下的规律:


1
项:
1=1

2
项:
3=1

2

3
项:
6=1+2+3

4
项:
10=1+2+3+4

5
项:(




6
项:
21=1+2+3+4+5+6

7
项:
28=1+2+3+4+5+6+7

8
项;
36=1+2+3+4+5+6+7+8

9
项:(



即这个数列的规律是:每一项都等于从
1
开始,以其项数为最大数的
n 个连续自然数的和
.
因此,
第五项为
15

即:
15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5

第九项为
45

即:5=1+2+3+4+5+6+7+8+9



1

2

6

24

120
,(

),
5040


方法
1
:这个数列不同于上面的 数列,相邻项相加减后,看不出任何规律
.
考虑到等比数列,
我们不妨研究相邻项的商 ,显然:所以,这个数列的规律是:除第
1
项以外的每一项都等于
其项数与其前一项的 乘积
.
因此,括号中的数为第
6

720
,即
72 0=120×6


方法
2
:受

的影响,可以考虑连续自然数,显然:


1


1=1

2


2=1×2


3


6=1×2×3


4


24=1×2×3×4


5


120=1×2×3×4×5


6







7


5040=1×2×3×4×5×6×7

所以,第
6
项应为

1×2×3×4×5×6=720
< br>⑨
1

1

3

7

13
,(

),
31


类似:可以猜想,数列
的规律是该项
=
前项
+2×
(项数
-2
)( 第
1
项除外),那么,
括号中应填
21
,代入验证,符合规律。

1

3

7

15
,< br>31
,(

),
127

255


则:

因此,括号中的数应填为
63


小结:寻找数列的规律,通常从两个方面来考虑:

寻找

免费英语在线学习-


免费英语在线学习-


免费英语在线学习-


免费英语在线学习-


免费英语在线学习-


免费英语在线学习-


免费英语在线学习-


免费英语在线学习-