三角形面积计算公式
余年寄山水
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2021年01月21日 01:02
最佳经验
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大熊猫习性-
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《三角形面积计算公式》教学设计
四卦小学
白保华
教学容：
人教版九年义务教育六年制小学数学第九册三角形面积
教材分析：
人教版五年级上册
84
、
85
页三角形的面积是本单元教学容的第二 课时，是在
学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的，是进< br>一步学习梯形面积和组合图形面积的基础，教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际
问题引 入三角形面积计算的问题，接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的
思路，把三角形也转 化成学过的图形，通过学生动手操作和探索，推导出三角形面积计算公
式，最后用字母表示出面积计算公 式，这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和
转化是有规律的，另一方面有助于发展学生的空 间观念。
学情分析：
学生在以前的学习中，初步认识了各种平面图形的特征，掌握了 长方形、正方
形、平行四边形的面积计算，学生学习时并不陌生，在前面的图形教学中，学生学会了运用
折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识，在学习方法上也有一定的基础，教学时从
学生 的现实生活与日常经验出发，设置贴近生活现实的情境，通过多姿多彩的图形，把学习
过程变成有趣的、 充满想象和富有推理的活动。
教学目标：
1
、
让学生经 历三角形面积计算公式的探索过程，
理解三角形面积公式的来源；
并能灵活运用
公式解 决简单的实际问题。
2
、在学习活动中，培养学生的实践动手能力，合作探索意识和 能力，培养创新意识和能力。
3
、
通过实践操作，
自主探究，使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题培养团结互助
的合作思想品质。
教学重点：
三角形面积计算公式的推导。
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教学难点：
运用拼、剪、平移、旋转等方法，发现正方形、长方形、平形四边形 及三角形
面积的相互联系推导出三角形面积计算公式。
教具准备：
多媒体课件一套，投影仪。
学具准备：
工具（尺、剪刀 ）
，三组学具（①完全相同的锐角三角形、直角三角形、钝角
三角形各两个②长方形、正方形、 平行四边形各一个③任意三角形若干个）
教学设计
:
一、创设问题情境，质疑激励探索
师：同学们，今天老师为大家带来了几位老朋友，你们想和它们见见面吗？
1
、课件出示：
学生说名称及特征后，
平行四边形
出示关系集合图
长方形
正方形
师问：谁愿意说出三种图形的面积的计算方法和计算公式的推导过程。
课件展示三角形的图片
请同学们观察猜测：
三角形的面积会怎样计算呢？该怎样转化呢？
揭题：三角形面积计算公式（板书课题）
（设计意图：创设轻松的学习氛围，用多媒 体手段帮助学生回忆长方形、正方形、平行四边
形的面积计算公式及其所属关系，为后面的探究活动中图 形及公式的转化作好铺垫。激励学
生用已有的经验深入认识“老朋友”（三角形）的欲望和倍心，同时又 导出了探索的目标和
方向。
〕
二、合作探索新知，循序渐进解谜。
（一）实践操作的合作探索：
：根据你的猜想，动手操作验证一下吧
!
第一次小组合作：
1.
同学们，请你们选择三组学具中你喜欢的一种，用你们喜欢的方法进行
实验
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2.
通过折、剪、拼、你会转化成哪种已学过的面积的图形？
3.
转化后的图形与原三角形有什么联系？
4.
组展示交流：你是怎样操作的，得到什么样的结论
（二）汇报操作验证结果
生上台展示：把一三角形纸片的三个角向对折，变成一个小 长方形，得到长方形的长是原来
三角形底的一半，
宽就是三角形的高的一半，
为此，< br>三角形的面积等于小长方形面积的
2
倍。
2
倍与其中的一个“一半”抵 消，还剩一个“一半”为此，三角形的面积等于底乘高除以
2
生上台展示：将三角形的顶角向 底边平行对折，再沿折痕剪开，把得到的小三角形沿中间对
折再剪开，分别补在剩下图形的两侧，变成一 个长方形。三角形的底没变，高缩小了一半，
为此，三角形的面积等于底乘高除以
2
师 ：这个办法怎么样？
生：也很合理。
（表扬，祝贺）
师：还有其他做法吗？
生：把等腰三角形对折，剪开一半拼成平行四边形（含长方形 、正方形）
，拼成的平行四边形
的底等于三角形的底，平行四边形的高是三角形的高，平行四边 形的面积等于三角形的面积
的
2
倍
生：
选两个完全一样的 直角三角形、
锐角三角形、
钝角三角形都可以拼成一个平形四边形
（含
长方形 、正方形）拼得的平行四边形的底是原来三角形底的
2
倍，高不变，所以，三角形的
面积等于底乘高除以
2
。
师 ：这个办法怎么样？看来同学们在探究三角形面积的推导想出的办法还真不少！那么，你
感觉哪种办法最 好？最有创意？〔设计意图：尊重学生的知识基础和喜好，让学生自由选择
三组学具中的一组，使学生更 满意地完成任务，同时也培养学生学会。倾听别人的正确意见，
给予排斥、质疑、认同的思维空间，创造 客观评价他人和自己的机会，掌握三种基本思路，
（即拼法、剪法、和割补法）
，鼓励个性割补 法。多媒体课件的分类图展，多次发散验证学生
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推导的准确性，更能帮助学生构建新的知识网，充分享受成功的喜悦，激发学生的积极性 ，
真正体现的学生为主体，面向全体学生的教育思想。
（三）各组同学可以上台采访 和自己拼法不一样的小组，交流经验，比较这四种方法，你喜
欢哪种方法？为什么？如果你觉得自己的拼 法有不足之处，你想向哪一组同学学习？他们的
拼法好在哪里。
（各小组交流经验）
〔 设计用意：及时反思使学生产生鲜明的对照，能及时地
改进自己操作中的不足，多吸取他人的优点，积累 操作经验，拓宽思路。合理的评价机制真
正起到了鼓励的作用。教师小组评价、同学对比评价、自己反思 评价的客观多元评价方法，
培养学生自我评价的能力，
鼓励学生参与他人平等竞争，
使 学生产生挫败和成功的情感体验，
提高心理素质。
〕
（四）小组合作二：
小组交流：
1.
三角形的面积如何计算呢？用字母如何表示？
2.
在本上书写计算公式
汇报结果：
生：三角形的面积等于底乘高除以
2
。
生：如果用
S表示三角形的面积，用
a
表示三角形的底，用
h
表示三角形的高，字母表 示三
角形的面积公式
S =
ah ÷ 2（设计意图：通过比较、归纳，揭示三角 形面积计算公式及字母
表达式。公式的推导是全体学生亲身经历探索的过程、发现的过程，推理的过程， 是学生个
人独立思考与小组合作学习的过程，学生对公式的来源理解深刻，为实际应用及拓展创新铺下了坚实的基础）
。
（五）第三次合作：
我们运用合作的力 量探究出了三角形的面积计算公式，同学们太了不起了！请把三角形的面
积的计算公式的推导过程与组伙 伴分享
板书两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于三角形的
.
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底，这个平行四边形的高等于三角形的高，因为每个三角形的面积 等于拼成平行四边形面积
的一半，又因为平行四边形的面积
=
底×高
所以：三角形的面积
=
底×高÷2
三、实践运用，拓展创新：
1
、尝试解答例题。
课件出 示：一种零件有一面是三角形，三角形的底是
5.6
厘米，高是
4
厘米。这个 三角形的
面积是多少平方厘米？（学生独立尝试解答，教师巡视辅导，集体订正。
）
课作业，课外延伸。
2
、巩固练习
练习十七
1-3
题
四、全课总结：
通过与伙伴的合作探究，你有什么收获？你对自己的表现满意吗？
板书设计：
三角形的面积
两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形
拼成的平行四边形的底等于三角形的底，
拼成的平行四边形的高等于三角形的高，
因为每个三角形的面积等于拼成平行四边形面积的一半，
又因为
平行四边形的面积
=
底×高
所以
三角形的面积
=
底×高÷2
S =
ah ÷ 2
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小学数学概念教学
白保华
数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中中的反映。数 学概念比
一般概念更要准确掌握。数学概念是构建数学理论体系的基础，因此必须重
视。小学生年龄
小，生活经验不足，知识面窄，构成了概念教学中的障碍。数学概念又是小学数学基础知 识
的一项重要容，是学生理解、掌握数学知识的首要条
件，也是进行计算和解题的前 提。因此
重视数学概念教学，
对于提高教学质量有着举足轻重的作用。
教师在概念教学 中
,
要创设条件
,
根据不同类型概念运用不同教学策略
,
采 用不同教学方法
.
可以通过演示操作、
建立表象、
逐步
抽象、形成概 念、强化练习、巩固概念、灵活运用、提高能力等方法与策略进行概念教学
.
一、什么是数学概念
数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式 的本质属性在人脑中中的反映。数学的研究
对象是客观事物的数量关系和空间形式。在数学中，客观事物 的颜色、材料、气味等方面的
属性都被看作非本质属性而被舍弃，只保留它们在形状、大小、位置及数量 关系等方面的共
同属性。在数学科学中，数学概念的含义都要给出精确的规定，因而数学概念比一般概念 更
准确。
小学数学中有很多概念，包括：数的概念、运算的概念、 量与计量的概念、几何形体的概
念、比和比例的概念、方程的概念，以及统计初步知识的有关概念等。这 些概念是构成小学
数学基础知识的重要容，它们是互相联系着的。如只有明确牢固地掌握数的概念，才能 理解
运算概念，而运算概念的掌握，又能促进数的整除性概念的形成。
二、小学数学概念的表现形式
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在小学数学教材中的概念，根据小学生的接受能力，表现形式各不相同 ，其中描述式和定
义式是最主要的两种表示方式。
1
．定义式
定义式是用简明而完整的语言揭示概念的涵或外延的方 法，具体的做法是用原有的概念说
明要定义的新概念。这些定义式的概念抓住了一类事物的本质特征，揭 示的是一类事物的本
质属性。这样的概念，是在对大量的探究材料的分析、综合、比较、分类中，使之从 直观到
表象、继而上升为理性的认识。如“有两条边相等的三角形叫等腰三角形”；“含有未知数
的等式叫方程”等等。这样定义的概念，条件和结论十分明显，便于学生一下子抓住数学概
念的本质。
2
．描述式
用一些生动、具体的语言 对概念进行描述，叫做描述式。这种方法与定义式不同，描述式
概念，一般借助于学生通过感知所建立的 表象，选取有代表性的特例做参照物而建立。如：
“我们在数物体的时候，用来表示物体个数的
1
、
2
、
3
、
4
、5……叫自然数”；“象
1.25
、
0.726
、
0.005
等都是小数”等。
这 样的概念将随着儿童知识的增多和认识的深化而日趋完善，
在小学数学教材中一般用于以下两种情况。< br>
一种是对数学中的点、线、体、集合等原始概念都用描述法加以说明。例如， “直线”这
一概念，教材是这样描述的：拿一条直线，把它拉紧，就成了一条直线。“平面”就用“课< br>桌面”、“黑板面”、“湖面”来说明。
另一种是对于一些较难理解 的概念，如果用简练、概括的定义出现不易被小学生理解，就
改用描述式。例如，对直圆柱和直圆锥的认 识，由于小学生还缺乏运动的观点，不能像中学
生那样用旋转体来定义，因此只能通过实物形象地描述了 它们的特征，并没有以定义的形式
.
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揭示它们的本质属性 。学生在观察、摆拼中，认识到圆柱体的特征是上下两个底面是相等的
圆，侧面展开的形状是长方形。< br>
一般来说，在数学教材中，小学低年级的概念采用描述式较多，随着小学生思 维能力的逐
步发展，中年级逐步采用定义式，不过有些定义只是初步的，是有待发展的。在整个小学阶< br>段，由于数学概念的抽象性与学生思维的形象性的矛盾，大部分概念没有下严格的定义；而
是从学 生所了解的实际事例或已有的知识经验出发，尽可能通过直观的具体形象，帮助学生
认识概念的本质属性 。对于不容易理解的概念就暂不给出定义或者采用分阶段逐步渗透的办
法来解决。因此，小学数学概念呈 现出两大特点：一是数学概念的直观性；二是数学概念的
阶段性。在进行数学概念教学时，我们必须注意 充分领会教材的这两个特点。
三、小学数学概念教学的意义
首先，数学概念是数学基础知识的重要组成部分。
小学数学的基础知识包括：概念、定律、性质、法则、公式等，其中数学概念不仅是数学
基础知识的重 要组成部分，而且是学习其他数学知识的基础。学生掌握基础知识的过程，实
际上就是掌握概念并运用概 念进行判断、推理的过程。数学中的法则都是建立在一系列概念
的基础上的。事实证明，如果学生有了正 确、清晰、完整的数学概念，就有助于掌握基础知
识，提高运算和解题技能。相反，如果一个学生概念不 清，就无法掌握定律、法则和公式。
例如，整数百以的笔算加法法则为：“相同数位对齐，从个位加起， 个位满十，就向十位进
一。”要使学生理解掌握这个法则，必须事先使他们弄清“数位”、“个位”、“ 十位”、
“个位满十”等的意义，如果对这些概念理解不清，就无法学习这一法则。又如，圆的面积公式
S=π
r2
，要以“圆”、“半径”、“平方”、“圆周率”等概念为基础。 总之小学数学
中的一些概念对于今后的学习而言，都是一些基本的、基础的知识。小学数学是一门概念性
很强的学科，也就是说，任何一部分容的教学，都离不开概念教学。
.
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其次，数学概念是发展思维、培养数学能力的基础。
概念是思维形 式之一，也是判断和推理的起点，所以概念教学对培养学生的思维能力能起
重要作用。没有正确的概念， 就不可能有正确的判断和推理，更谈不上逻辑思维能力的培养。
例如，“含有未知数的等式叫做方程”， 这是一个判断。在这个判断中，学生必须对“未知
数”、
“等式”这几个概念十分清楚，
才能形成这个判断，
并以此来推断出下面的
6
道题目，
哪些是方程。
(1)56+23
＝
79 (2)23-x
＝
67
(3)x÷5＝
4.5
(4)44×2＝
88
(5)75÷x＝
4 (6)9+x
＝
123
在概念教学过程中，为了使学生顺利地获取 有关概念，常常要提供丰富的感性材料让学生
观察，在观察的基础上通过教师的启发引导，对感性材料进 行比较、分析、综合，最后再抽
象概括出概念的本质属性。通过一系列的判断、推理使概念得到巩固和运 用。从而使学生的
初步逻辑思维能力逐步得到提高。
6.1.3
数学概念教学的一般要求
1
．使学生准确理解概念
理解概念，一要能举出概念所反映的现实原型，二要明确概念的涵与外延，即明确概念 所
反映的一类事物的共同本质属性，和概念所反映的全体对象，三要掌握表示概念的词语或符
号 。
2
．使学生牢固掌握概念
掌握概念 是指要在理解概念的基础上记住概念，正确区分概念的肯定例证和否定例证。能
对概念进行分类，形成一 定的概念系统。
3
．使学生能正确运用概念
.
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..
. .
..
概念的运用主要表现在学生能在不同的具体情况下，辨认出概念的 本质属性，运用概念的有
关属性进行判断推理。
四、小学数学概念教学的过程与方法
根据数学概念学习的心理过程及特征，数学概念 的教学一般也分为三个阶段：①引入概念，
使学生感知概念，形成表象；②通过分析、抽象和概括，使学 生理解和明确概念；③通过例
题、习题使学生巩固和应用概念。
（一）数学概念的引入
数学概念的引入，是数学概念教学的第一个环节，也是十分重 要的环节。概念引入得当，就
可以紧紧地围绕课题，充分地激发起学生的兴趣和学习动机，为学生顺利地 掌握概念起到奠
基作用。
引出新概念的过程，是揭示概念的发生和形成过程，而各个 数学概念的发生形成过程又不尽
相同，有的是现实模型的直接反映；有的是在已有概念的基础上经过一次 或多次抽象后得到
的；有的是从数学理论发展的需要中产生的；有的是为解决实际问题的需要而产生的； 有的
是将思维对象理想化，经过推理而得；有的则是从理论上的存在性或从数学对象的结构中构
造产生的。因此，教学中必须根据各种概念的产生背景，结合学生的具体情况，适当地选取
不同的方式去 引入概念。一般来说，数学概念的引入可以采用如下几种方法。
1
、以感性材料为基础引入新概念。
用学生在日常生活中所接触到的事物或 教材中的实际问题以及模型、图形、图表等作为感性
材料，引导学生通过观察、分析、比较、归纳和概括 去获取概念。
例如，要学习“平行线”的概念，可以让学生辨认一些熟悉的实例，像铁轨、门 框的上下两
条边、黑板的上下边缘等，然后分化出各例的属性，从中找出共同的本质属性。铁轨有属性：
是铁制的、可以看成是两条直线、在同一个平面、两条边可以无限延长、永不相交等。同样
.
.
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..
. .
..
可分析出门框和黑板上下边的属性。通过比较可以发现，它们的共 同属性是：可以抽象地看
成两条直线；两条直线在同一平面；彼此间距离处处相等；两条直线没有公共点 等，最后抽
象出本质属性，得到平行线的定义。
以感性材料为基础引入新概念，是用 概念形成的方式去进行教学的，因此教学中应选择那些
能充分显示被引入概念的特征性质的事例，正确引 导学生去进行观察和分析，这样才能使学
生从事例中归纳和概括出共同的本质属性，形成概念。
2
、以新、旧概念之间的关系引入新概念。
如果新、旧概念之间存在某种关 系，如相容关系、不相容关系等，那么新概念的引入就可以
充分地利用这种关系去进行。
例如，学习“乘法意义”时，可以从“加法意义”来引入。又如，学习“整除”概念时，可
以从“除 法”中的“除尽”来引入。又如，学习“质因数”可以从“因数”和“质数”这两
个概念引入。
再如，
在学习质数、
合数概念时，
可用约数概念引入：“请同学们写出数
1< br>，
2
，
6
，
7
，
8
，
12
，
11
，
15
的所有约数。它们各有几个约数？你能给出一个分类标 准，把这些数
进行分类吗？你能找出多种分类方法吗？你找出的所有分类方法中，哪一种分类方法是最新
的分类方法？”
3
、以“问题”的形式引入新概念。
以“问题”的形式引入新概念，这也是概念教学中常用的方法。一般来说，用“问题”引入
概念的途径有 两条：①从现实生活中的问题引入数学概念；②从数学问题或理论本身的发展
需要引入概念。
4
、从概念的发生过程引入新概念。
数学中有些概念是用发生式定义的，在 进行这类概念的教学时，可以采用演示活动的直观教
具或演示画图说明的方法去揭示事物的发生过程。例 如，小数、分数等概念都可以这样引入。
.
.
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. .
..
这种方法 生动直观，体现了运动变化的观点和思想，同时，引入的过程又自然地、无可辩驳
地阐明了这一概念的客 观存在性。
（二）数学概念的形成
引入概念，仅是概念教学的第一步，要 使学生获得概念，还必须引导学生准确地理解概念，
明确概念的涵与外延，正确表述概念的本质属性。为 此，教学中可采用一些具有针对性的方
法。
1
、对比与类比。
< br>对比概念，可以找出概念间的差异，类比概念，可以发现概念间的相同或相似之处。例如，
学习“ 整除”概念时，可以与“除法”中的“除尽”概念进行对比，去比较发现两者的不同
点。用对比或类比讲 述新概念，一定要突出新、旧概念的差异，明确新概念的涵，防止旧概
念对学习新概念产生的负迁移作用 的影响。
2
、恰当运用反例。
概念教学中，除了从正面去揭示概 念的涵外，还应考虑运用适当的反例去突出概念的本质属
性，尤其是让学生通过对比正例与反例的差异， 对自己出现的错误进行反思，更利于强化学
生对概念本质属性的理解。
用反例去突出 概念的本质属性，实质是使学生明确概念的外延从而加深对概念涵的理解。凡
具有概念所反映的本质属性 的对象必属于该概念的外延集，而反例的构造，就是让学生找出
不属于概念外延集的对象，显然，这是概 念教学中的一种重要手段。但必须注意，所选的反
例应当恰当，防止过难、过偏，造成学生的注意力分散 ，而达不到突出概念本质属性的目的。
3
、合理运用变式。
依靠 感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非
本质属性具有较明 显的突出特征，容易形成干扰的信息，而削弱学生对概念本质属性的正确
.
.
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