三角形面积公式的五种推导方法图文稿
绝世美人儿
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2021年01月21日 01:04
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高中地理课件-
三
角
形
面
积
公
式
的
五
种
推
导
方
法
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三角形面积公式的五种推导方法
摘自：《小学数学网》
六年制小学数学第九册《三角形面积的计算》一节，教材上是 这样
安排的：一、明确目标；二、用数格的方式不能确定三角形的面积；
三、能否转化成以前学 过的图形进行计算？四、拿两个全等的直角三角
形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形， 直角三角形的
面积是长方形和平行四边形面积的一半；五、验证锐角三角形和钝角三
角形是否也 能拼成平行四边形；六、三次试验确定所有类型的三角形能
转化成平行四边形，两者的关系是“等底等高 ，面积一半”；七、总结
三角形的面积公式。
我们在多次的课堂教学实践和课下辅导 过程中，发现上面的几个
“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下：
第一步没什么问题，每个教师都有自己的导入新课的方式。
第二步也没有什么：学生 在学习长方形和正方形的面积时用的是
“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式，就 是所
谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻的情
况下，面对三角形， 学生们的首选方法就是“数格”。因为这是学生学
习有关面积计算的第一经验，第一印象，第一个技巧。 也是最简单，最
直接（当然也是最麻烦）的方法。关于第三步：教材上只有一句话：能
不能把三 角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化未知为已知的
思维方式，我们常给初中学生提起这些认知 策略，但它的基础却在小学
阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学 思想一笔带过，
把挖掘其内涵，为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并
不特别重 视这句话，只是把它当作一个过渡句，当成进入下面环节的引
言。
第四步。转化是一 定的。但是，转化成什么怎么转化把三角形转化
成“能计算的图形”大致有五种情况。教材推荐的是第五 种（如图）。
教材上的引导方式只有教师的主导性，而忽视了学生的主体位置。
前面 提到，学生计算三角形面积的首选方法是数格，那么次选方法
是什么？他们的第二方案应该还是在自己的 经验中寻找帮助。这些经验
当中，与计算面积有关的直接、简单、容易操作的内容就是在前面的几
节课刚学过的“切割平行四边形成长方形”的方法。他们对“切割”这
个动作记忆犹新。因为：一、这 个技巧刚刚学过；二、切割是个动作，
但这个动作能把不规则变规则，所以印象深刻；三、这个简单的动 作能
完成面积计算的任务。所以他们的下一步动作会是模仿上一节课的做
法，想办法切割三角形 的某一角移动填补另一角，变三角形成长方形或
平行四边形。按这个说法，学生在寻找计算三角形面积的 方法时，他首
先会在他手中所拿的三角形卡片上琢磨，对这个三角形进行加工处理。
在不得要领 ，或是找到了办法，问题解决了，但心有余味，继续探索下
去时才会考虑到利用其他内容扩展思考空间， 再找一个一样的三角形牵
线搭桥，把思路引到问题的外面。
教材中还有一点缺失：学 生在教师的引导下用两个“全等”三角形
进行拼接时，是一个尝试的过程。教材举例说：小华拼出了一个 长方形
一个平行四边形。小林拼出了两个三角形
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一个人 拼的全是能利用
的，一个人拼的全是不能用的，两个人的对比太大。我们想这不是教材
的疏漏， 是为了突出教学任务和目标。另外，教材举的例子是两个三角
形能拼成一个长方形和一个平行四边形。但 实际上能拼成两个平行四边
形，加上长方形就是有三个图形是已经学习过的，都能用来推算三角形
面积。教材忽略这个没有列出的平行四边形，我们猜可能是因为它的倾
斜度过大，在视觉上有一种要“ 倒”的感觉。如果学生受视觉效果的影
响，注意力分散，会影响到他们分析两种图形的底、高和面积的关 系。
也可能是基于简单化原则，有两个就够了，何必要三个。但是按这个说
法，要一个就够了， 何必两个。
按照教材设定的思路，我们可以设想：学生手拿三角形，听老师布
置完任 务。怎么拼，能拼出什么都不太清楚，只能先随便的拼一下试
试。如果运气好或者预想能力较强，可能直 接拼出平行四边形和长方
形。学生在试验时，会发现不等边拼接没有后续效果，因为这些组合图
形都不规则，不能把握。然后，学生会把注意力放在那些特殊图形上。
一类是那些中心对称的平行四边形 ，这是学习过的内容；一类是那些左
右对称的凸多边形，这是好奇心驱使，随后即会放弃。学生的试验， 开
始可能是无序状态，随着注意的集中，目标一个一个的出现，学生的意
识中必定会对自己刚才 的所有拼接进行回顾（很多时候这个回顾是无意
识的），找到拼出所有图形的方法得出两个全等三角形能 顺次拼出三个
形状不同的平行四边形的结论，使自己的思维进入有序状态。
教材把这个过程缩减了，有些教师则更希望把它压缩成一个或几个
动作，为后面的讲 解和练习挤出时间，不愿把时间精力浪费在这个非目
标、非重点、也非难点的中间环节上。认为只要知道 了转换的道理，就
有了“等底等高，面积
2
倍”这个重点的突破。在动手操作上延长时
间，势必影响教学目标的讲解和强调。
其实这是个误解。公式的推导过程本身也是对 公式的熟悉过程，过
程熟悉了，结果也就熟悉了。以后也就无须用多的吓人的练习题让学生
做， 把公式强印到学生的脑子中。举一个化学上的例子：两种物质能发
生反应，这是先决条件。但是反应所需 要的环境如加热、电击、搅拌或
是放在溶液中使其反应更充分，以及催化剂等这些控制反应进行的因素< br>也很重要，甚至是必须的。学生在探寻知识的过程中所取得的经验和教
训就是知识发挥作用的控制 因素。一般上，我们认为把知识放在问题
中，解决问题，知识的作用就发挥出来了。但是，问题从何而来 来自思
维。思考什么思考我们看到的，感觉到的。如果对周围事物的发展、变
化、规律、联系、 相互作用、矛盾冲突以及相似性、特殊点（这些名
词、概念确实存在于我们的意识和思维中）没有任何的 反应，就不会产
生问题、提出问题。不会发现问题的人，一般也不会主动回答别人的问
题。让学 生自己动手就是为了训练学生的动手能力观察能力和感受性。
如果学生在图形的拼 接过程中能集中注意力，边拼接边总结，最后
达到能快速有节奏的拼出所有图形的程度。那么学生至少有 两点除直接