三角形面积公式的五种推导方法
余年寄山水
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2021年01月21日 01:05
最佳经验
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三角形面积公式的五种推导方法
摘自：
《小学数学网》
六年制小学数学第九册《三角形面积的计算》一节，教材上是这样安排的：一、明确目标；
二、 用数格的方式不能确定三角形的面积；
三、能否转化成以前学过的图形进行计算？四、
拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形，
直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半；五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形；
六、
三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形，
两者的关系是
“等底等高，面积一半”
；
七、总结三角形的面积公式。
我们在多次的课堂教学实践 和课下辅导过程中，
发现上面的几个
“环节”
有些地方不太符合
学生的认知特 点。具体分析一下：
第一步没什么问题，每个教师都有自己的导入新课的方式。
< br>第二步也没有什么：学生在学习长方形和正方形的面积时用的是“数格”
的方式。学习平行
四边形时用的是切割再组合的方式，就是所谓的“转化”
。在大部分学生对面积这个概念的理解
还不十分透彻的情况下，面对三角形，学生们的首选方法就是“数格”
。因为这是学生学习有关
面积计算的第一经验，
第一印象，
第一个技巧。
也是最简单，
最直接
（当然也是最麻烦）
的方法。
关于第三步：
教材上只有一句话：
能不能把三 角形转化成已经学过的图形再计算面积。
这是化未
知为已知的思维方式，
我们常给初中 学生提起这些认知策略，
但它的基础却在小学阶段和学生的
日常生活经验中。
教材把这 个重要的数学思想一笔带过，
把挖掘其内涵，
为学生建立辩证观念的
重任留给了老师。
但很多老师并不特别重视这句话，
只是把它当作一个过渡句，
当成进入下面环
节的引言。
第四步。转化是一定的。但是，转化成什么？怎么转化？把三角形转化成“能计算 的图形”
大致有五种情况。教材推荐的是第五种（如图）
。教材上的引导方式只有教师的主导性 ，而忽视
了学生的主体位置。
前面提到，
学生计算三角形面积的首选方法是 数格，
那么次选方法是什么？他们的第二方案
应该还是在自己的经验中寻找帮助。这些经验当中 ，与计算面积有关的直接、
简单、
容易操作的
内容就是在前面的几节课刚学过的“切割 平行四边形成长方形”的方法。他们对“切割”这个动
作记忆犹新。
因为：
一、
这个技巧刚刚学过；
二、
切割是个动作，
但这个动作能把不规则变规则，
所 以印象深刻；
三、
这个简单的动作能完成面积计算的任务。
所以他们的下一步动作会是 模仿上
一节课的做法，想办法切割三角形的某一角移动填补另一角，变三角形成长方形或平行四边形。< br>按这个说法，
学生在寻找计算三角形面积的方法时，
他首先会在他手中所拿的三角形卡片 上琢磨，
对这个三角形进行加工处理。在不得要领，或是找到了办法，问题解决了，但心有余味，继续探
索下去时才会考虑到利用其他内容扩展思考空间，
再找一个一样的三角形牵线搭桥，
把 思路引到
问题的外面。
教材中还有一点缺失：学生在教师的引导下用两个“全等”< br>三角形进行拼接时，
是一个尝试
的过程。
教材举例说：
小华拼出了一个 长方形一个平行四边形。
小林拼出了两个三角形
----
一个
人拼的全是能利 用的，
一个人拼的全是不能用的，
两个人的对比太大。
我们想这不是教材的疏漏，是为了突出教学任务和目标。
另外，
教材举的例子是两个三角形能拼成一个长方形和一个平 行四
边形。
但实际上能拼成两个平行四边形，
加上长方形就是有三个图形是已经学习过 的，
都能用来
推算三角形面积。
教材忽略这个没有列出的平行四边形，
我们猜 可能是因为它的倾斜度过大，
在
视觉上有一种要“倒”的感觉。如果学生受视觉效果的影响，注 意力分散，会影响到他们分析两
种图形的底、高和面积的关系。也可能是基于简单化原则，有两个就够了 ，何必要三个。但是按
这个说法，要一个就够了，何必两个。
按照教材设定的思路， 我们可以设想：学生手拿三角形，听老师布置完任务。怎么拼，能拼
出什么都不太清楚，
只能先 随便的拼一下试试。
如果运气好或者预想能力较强，
可能直接拼出平
行四边形和长方形 。
学生在试验时，
会发现不等边拼接没有后续效果，
因为这些组合图形都不规
则，
不能把握。
然后，
学生会把注意力放在那些特殊图形上。
一类是那些中心 对称的平行四边形，
这是学习过的内容；一类是那些左右对称的凸多边形，这是好奇心驱使，
随 后即会放弃。学生的
试验，开始可能是无序状态，随着注意的集中，目标一个一个的出现，
学生 的意识中必定会对自
己刚才的所有拼接进行回顾（很多时候这个回顾是无意识的）
，找到拼出所 有图形的方法得出两
个全等三角形能顺次拼出三个形状不同的平行四边形的结论，使自己的思维进入有序 状态。
教材把这个过程缩减了，
有些教师则更希望把它压缩成一个或几个动作，为后面的讲解和练
习挤出时间，不愿把时间精力浪费在这个非目标、非重点、
也非难点的中 间环节上。
认为只要知
道了转换的道理，就有了“等底等高，面积
2
倍”这个 重点的突破。在动手操作上延长时间，势
必影响教学目标的讲解和强调。
其实这是个 误解。
公式的推导过程本身也是对公式的熟悉过程，
过程熟悉了，
结果也就熟悉
了。
以后也就无须用多的吓人的练习题让学生做，
把公式强印到学生的脑子中。
举一 个化学上的
例子：两种物质能发生反应，这是先决条件。但是反应所需要的环境如加热、电击、搅拌或是 放
在溶液中使其反应更充分，
以及催化剂等这些控制反应进行的因素也很重要，
甚至是 必须的。
学
生在探寻知识的过程中所取得的经验和教训就是知识发挥作用的控制因素。
一般上，
我们认为把