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2021年1月21日发(作者：吴祖强)
一次函数的性质和图
像







目录

一、函数的定义


（一）、一次函数的定义函数。

（二）、正比例函数的定义


二、函数的性质

（一）、一次函数的性质

（二）、正比例函数的性质



三、函数的图像


（一）、一次函数和正比例函数图像在坐
标上的位置

（二）、一次函数的图像

1
、一次函数图像的形状

2
、一次函数图像的画法

（三）、正比例函数的图像

1
、正比例函数图像的形状


2
、正比例函数图像的画法


3
、举例说明正比例函数图像的画法

四、
k
、
b
两个字母对图像位置的影响

K
、
b
两个字母的具体分工是：

（一次项系数）
k
决定图象的倾斜度。

（常数项）
b
决定图象与
y
轴交点位置。

五、解析式的确定


（一）一个点坐标决定正比，两个点坐标
决定一次


（二）用待定系数法确定解析式

六、两条函数直线的四种位置关系

两直线平行，
k1= k2
，
b1
≠
b2

两直线重合，
k1= k2
，
b1=b2

两直线相交，
k1
≠

k2

两直线垂直，
k1
×
k2=

－
1

（一）两条函数直线的平行

（二）两条函数直线的相交

（三）两条函数直线的垂直



一次函数、反比例函数中自变量
x
前面的字母
k
称为
比例系数

这一节我们要学习 正比例函数和一次函数。一次函数的解析式是
y=kx+b
，
如果当这个式子中的b=0
时，式子就变成了正比例函数
y=kx
。因此，正比例函
数是一次 函数当
b=0
时的特殊情况。正是因为正比例函数实际上就是一次函数，
所以把正比例 函数和一次函数结合在一起来学习。



在正比例函数
y= kx
和反比例函数
y=k/x
中，
由于函数
y
与自变量x
之间有
比例关系，就要在自变量
x
前面用字母系数
k
表示它们之间的比例关系，

因而
字母
k
就取名为比例系数。确定了 比例系数
k
就可以直接确定正比例函数或反
比例函数的解析式。

但 是，在一次函数
y=kx+b
和二次函数
y=ax2+bx+c
中，我们从观 察解析式
就可以看出，函数
y
与自变量
x
之间没有相直接对应的比例 关系，因此这两种
函数自变量
x
前面的
k
，就不能叫比例系数，只能 叫常数。若欲确定一次函数或
二次函数的解析式时，题意仅已知常数
k
还不行，还需要 其他常数如
b
、
c
等常
数的协助。



函数是初中数学最难的内容，特别是四种函数都学完之后，把各种函数甚
至几何图形综合出题， 考查你对函数基本知识如概念、性质、图像等的掌握，
对公式的记忆和你的综合分析能力，也是出题最后 环节大应用题的精彩压轴戏。
尽管大纲要求降低对学生掌握函数难度的要求，但应试教育下函数仍应该引 起
同学们对函数学习的足够重视。


从上面初中数学代数知识结构框 架图可以看出，初中所学函数包括一次函
数、反比例函数和二次函数。一次函数是入门课，而且在八年级 下学习反比例
函数，九年级下学习二次函数时，都还要解决这后面学习的两种函数与一次函
数的 交叉计算的问题，所以学好一次函数和正比例函数，对打好函数的基础十
分重要。




一、函数的定义

（一）、
一次函数的定义


一次函数定义

一般地，形如
y=kx
＋
b(k ,b
是常数，
k
≠
0)
的函数，叫做一次函数，当
b=0< br>时，即
y=kx
，这时就是正比例函数。

关键词：

①、自变量
x
的次数
只能
为
1
次；
；

②、
k
≠
0,
否则自变量
x
的最高次项的系数不为
1

③、一次项系数
k
不为
0
，
而且x
不能为分母（那就成为反比例函数了），
而且
x
也不能在根号里面。< br>
一次函数解析式的判断

根据一次函数
y=kx+b
的定义 来判断：①、
判断是否能化成
y=kx+b
自变量
次数为
1
的定义
式。
②、看它是否符合定义的这些条件“
k
、
b
为常 数，
k
≠
0
，
自变量次数为
1
”；




判断一个函数是不是一次函数，首先对式子进行化简后，判 断标准是：未
知数的次数只能是
1
次，而且未知数
x
不能在分母或者 根号里面。自变量
x
和
因变量
y
有如下关系：
y=kx+b
，则此时称
y
是
x
的一次函数。

（二）、正比例函数的定义


正比例函数定义

一般地， 形如定义式
y=kx(k
是常数，
k
≠
0)
，自变量
x
与函数
y
之间是
k
倍关系的函数，叫做正比例函数。

其中，
k
叫做比例系数。

一般地，两个变量
x
，
y
之间的关系式可以表示成形如
y=kx
（
k
为常数，且< br>k
≠
0
）的函数，那么
y
就叫做
x
的正比例 函数。

正比例函数是一次函数解析式
b
＝
0
（
即 所谓“
y
轴上的截距”为零）
时的
特殊情况。当
b=0
时，
y=kx
＋
b
即
y=kx
，所以说正比例函数是一种特殊的 一次
函数
.
因此，正比例函数就是一次函数；一次函数不一定是一次函数。

正比例函数解析式的判断

根据正比例函数
y=kx+b
的定义来判 断：①、
判断是否能化成
y=kx
自变量
次数为
1
的定义< br>式。
②、看它是否符合定义的这些条件“
k
为常数且≠
0
，自 变
量次数为
1
”。






试判断下列函数中是正比例函数的是



答：
①是反比 例函数；
②自变量系数为
0
，
不是函数；
③是一次函数；
④ 是。


正比例函数是一次函数解析式
b
＝
0
（
即所谓“
y
轴上的截距”为零）
时的
特殊情况。当
b=0< br>时，
y=kx
＋
b
即
y=kx
，所以说正比例函数是 一种特殊的一次
函数
.
因此，正比例函数就是一次函数；一次函数不一定是一次函数。





（三）、一次函数与正比例函数的关系

正比例函数属于一次函数
。


（四）、自变量
x
取值范围的确定


自变量
X
的取值范围应

使解析式有意义
。

整式，
x
取一切实数；

分式，
x
取分母不为零的数；

二次根式，
x
取使被开方数为非负数的数；

实际问题则需要根据实际情况来确定
.






（五）、
求函数
y
的取值范围：


根据自变量的取值范围确定函数的取值范围

1
、解不等式法
2
、图象法





二、函数的性质

（一）、
一次函数的性质



当
k>0
时，直线
y=kx
经过第一、三象限，从左向右上升，是增函数（即
y
随着
x
的增大而增大）。当
b
＞０时，直线必通过第二象限；当
b
＜
0
时，直线
必通过第四象限

当
k<0
时，直 线
y=kx
经过第二、四象限，从左向右下降，是减函数（即
y
随着
x
的增大而减少）。当
b
＞０时，直线必通过第一象限；当
b
＜0
时，直线
必通过第三象限。

（二）、
正比例函数的性质


一般地，
正比例函数y=kx
（
k
为常数，
k≠0
）
的图象是一条经过原点 和
（
1,k
）
的一条直线，我们称它为直线
y=kx.
。< br>
正比例函数
y=kx(k
≠
0)
的性质：

当
k
＞
0
时，函数图像经过第一、三象限；自变量
x
逐渐 增大时，函数值
y
也在逐渐增大；（也就是“提”的走向）

当
k< br>＜
0
时，函数图像经过第二、四象限；自变量
x
逐渐增大时，函数值< br>y
反而减小。（也就是“捺”的走向）

归纳为一句话，正比例函数图象的性质归根结底看
k
的符号。

即：
k
＞
0

提


（一、三，增大）

；


k
＜
0

捺


（二、四，减小）












三、函数的图像

（一）、
一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置


正比例函 数
y=kx(k
≠
0)
是经过
(0,0),(1,k)
两点 的一条直线；

一次函数
y=kx+b(k
≠
0)
是经过< br>(0,b),

（
-b/k
，
0
）两点的一条直线。

因此，一次 函数的图象和正比例函数的图象也称为直线
y=kx
，
y=kx
＋
b
。

理由是：

当直线经过
x
轴，
与x
轴相交时，
y=0
，
则
kx+b=0,
则
x = -b/k.
点的坐标为
(-b/k,0)

当直线经过
y
轴，与
y
轴相交时，
x=0
，在
kx+b=y
中，
b=y,
则点的坐标为
(0,b).

为什么一次函数
y=kx< br>＋
b(k≠0)
的图象是一条直线？因为坐标满足一次函数
解析式的点都在直线 上；而图象上点的坐标都满足一次函数解析式。

解释：
A
、当
x= 0
，
y
当然就等于
=b
，所以第一个数对点是（
0
，
b
）

B
、当
y=0
，
x
当然就等于
= -b/k
，所以第二个点是（
-b/k
，
0
）

一 次函数
y=kx+b
的图象是经过
(0,b)
和
(-b/k,0)< br>的一条直线


（二）、
一次函数的图像

1
、一次函数图像的形状

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