数阵图讲解(一)
温柔似野鬼°
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2021年01月21日 03:53
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盐的妙用-
第
16
讲
数阵图（一）
我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵，其解题的关键在于
“重叠数”。本讲和下一讲，我们学习 三阶方阵，就是将九个数按照某种
要求排列成三行三列的数阵图，解题的关键仍然是“重叠数”。我们先 从
一道典型的例题开始。
例
1
把
1
～
9
这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，
使得每一横行、
每一竖列和每条对角线上 的三个数之和都相等。
分析与解：
我们首先要弄清每行、
每列以 及每条对角线上三个数字之和是
几。我们可以这样去想：因为
1
～
9
这九个数字之和是
45
，正好是三个横
行数字之和，所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。也就是说，每一
横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于
1 5
。
在
1
～
9
这九个数字 中，三个不同的数相加等于
15
的有：
9
＋
5
＋
1
，
9
＋
4
＋
2
，
8
＋
6
＋
1
，
8
＋
5
＋
2
，
8
＋
4
＋
3
，
7
＋
6
＋
2
，
7
＋
5
＋
3
，
6
＋
5
＋
4
。
因此每行、
每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。
因为中心方格中的数既在一个横行中，
又 在一个竖列中，
还在两对角
线上，
所以它应同时出现在上述的四个算式中，
只 有
5
符合条件，
因此应
将
5
填在中心方格中。
同理 ，
四个角上的数既在一个横行中，
又在一个竖
列中，
还在一条对角线上，所以它应同时出现在上述的三个算式中，
符合
条件的有
2
，
4< br>，
6
，
8
，因此应将
2
，
4
，6
，
8
填在四个角的方格中，同时
应保证对角线两数的和相等。经试验， 有下面八种不同填法：
上面的八个图，
都可以通过 一个图的旋转和翻转得到。
例如，
第一行
的后三个图，依次由第一个图顺时针旋转90°，180°，270°得到。又
如，第二行的各图，都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。所以 ，这八个图
本质上是相同的，可以看作是一种填法。
例
1
中的数阵图，我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。一般地，
将九个不同的数填在
3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、
每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，< br>那么这样的图称为三阶幻
方。
在例
1
中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等，
而不要求
两条对角线上的三数之和也相等， 则解不唯一，这是因为在例
1
的解中，
任意交换两行或两列的位置，
不影响每 行或每列的三数之和，
故仍然是解。
例
2
用
11
，
13
，
15
，
17
，
19
，
2 1
，
23
，
25
，
27
编制成一个三阶幻方。
分析与解：
给出的九个数形成一个等差数列，
对照例
1
，1
～
9
也是一个等
差数列。
不难发现：
中间方格里的数 字应填等差数列的第五个数，
即应填
19
；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数 ，即
13
，
17
，
21
，
25
，
而且对角两数的和相等，即
13
＋
25=17
＋
21
；余下 各数就不难填写了（见
右图）。
与幻方相反的问题 是反幻方。将九个数填入
3×3（三行三列）的九
个方格中，
使得任一行、
任 一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，
这样填好后的图称为三阶反幻方。
例
3
将前
9
个自然数填入右图的
9
个方格中，
使得任 一行、
任一列以及两
条对角线上的三个数之和互不相同，
并且相邻的两个自然数在图中 的位置
也相邻。
分析与解：
题目要求相邻的两个自然数在图中的 位置也相邻，所以这
9
个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。
经试 验有下图
所示的三种情况：