第三讲 数阵图
巡山小妖精
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2021年01月21日 03:57
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第三讲
数阵图
一、知识点：
一些 数按照一定的规则，
填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，
我们称它为
“数阵图”
，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、
辐射型数阵图和复合型数阵图。
在解答这类问题时，
要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，
用试验的方法，找到相等的和与关键数字：
要会对基本解中的数进行适当调整，得到
其他的解，从而培养自己的观察能力，思维的灵活性和严密性。
二、典例剖析：
例（
1
）
将
1~
6
分别填在图中
,
使每条边上的三个○内的数的和都等于
9.
分析：
因为
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋
5
＋
6 = 21
，而每条边上的三个数的和为
9
，则三条边上
的和为
9
×
3 = 27
，
27
－
21 = 6
，
这个
6
就是由于三个顶点都被重复算了一次。
所以三个顶点的和为
6
，
在
1----- 6
中，
只能选
1
、
2
、
3
填入三个顶点 中，
再将
4
、
5
、
6
填入另外的三个圈即可。
解：
.
a
.
b
.
c
.
1
6
5
1
6
1
2
4
5
3
5
6
2
3
4
3
2
3
4
d
.
e
.
f
.
2
3
5
4
4
6
3
4
2
6
5
1
3
练一练：
5
1
1
6
2 < br>把
1
~
8
个数分别填入○中
,
使每条边上三个数的和 相等
.
1
8
答案
:
3
7
5
6
4
2
例（
2
）
把
1
~
7
填入下 图中
,
使每条线段上三个○内的数的和相等
.
分析
：
中心圆填入的数设为
x
，
x
参与
3
条线的连加，
设 每条线数字和都
为
S.
由题意：
1+2+3+
…
+7+2x=3S
即
28+2x=3S
或
28+2x
≡
0
（
mod 3
）
借用同余工具，
是在两个未知数的不定方程中先缩小
x
应该取值的范
围
.
在
mod3
情况下，只要试探
x
≡
0
，
1
，
2
三个值，很轻松地解出：
x
≡
1
（
mod3
），回复到
x
取值范围为
1
，
2
，…，
7.
有
x
1
=1
，
x
2
=4
，
x
3
=7
，
得到：
x
1
=1
，
S
1
=10
；
x
2
=4
，
S
2
=12
；x
3
=7
，
S3=14
；
由此看出关键在求
S
（公共和）及
x
（参与相加次数最多的圆中值）.
解：
a
.
b
.
c
.
4
7
2
1
3
6
5
3
5
7
1
4
2
6
4
3
6
1
7
2
5
练一练：
把
1
~
11
填入图中,
使每条线上三个数的和相等
.
11
答案
:
1
7
10
5
2
6
4
3
8
9
例（
3
）
把
20< br>以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起
来的四个数之和都相等。
分析
：
由上图看出，三组数都包括左、右两端的数， 所以每组数的中间两
数之和必然相等。
20
以内共有
2
，
3
，
5
，
7
，
11
，
13
，
17
，
19
八个质数，两
两之和相等的有
5
＋
19
＝
7
＋
17
＝
11
＋13
解：
于是得到下图的填法。
练一练：
将
1
~
8
个数分别填入图中
,
使每个圆圈上五个数和分别为
20,21,22.
答案
:
a
.
b
.
c
.
2
6
8
1
3
4
5
7
6
1
2
4
3
5
2
8
1
7
3
5
8
7
4
6
例（
4
）
在右图的六个○内各填入一个质数（可取 相同的质数），使它们的和
等于
20
，而且每个三角形（共
5
个）顶 点上的数字之和都相等。
分析：
因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的 六
个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的
数字之和为
20÷2＝
10
。
10
分为三个质数之和只能是
2
＋3
＋
5
，由此得到右
图的填法。
解：
练一练：
把
1
~
9,
填入下图中
,
使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等
.
8
3
答案
:
6
1
9
4
5
7
2
例（
5
）
将九个数填入右图的空格中，使得 每行、每列、每条对角线上的三
个数之和都相等，则一定有
证明：
设中心数为
d
。由上讲例
4
知每行、每列、每条对角 线上的三个数之
和都等于
3d
。
由此计算出第一行中间的数为
2d< br>—
b
，
右下角的数为
2d-c
（见
下图）。
根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到
3d-c-
（
2d-b
）＝
3d-a-
（
2d-c
），
3d-c-2d
＋
b
＝
3d-a-2d
＋
c
，
d
－
c
＋
b
＝
d
－
a
＋c
，
2c
＝
a
＋
b
，
值得注意的是，
这个结论对于
a
和
b
并没有什么限制，
可以是自然数，
也可以是分
数、小 数；可以相同，也可以不同。
练一练：
在下页右上图的空格中填入七个自 然数，
使得每一行、
每一列及每一条对角
线上的三个数之和都等于
90
。
答案
:
例（
6
）
在右图所示立方体的八个顶点上标出
1
～
9
中的八个，使 得每个面上
四个顶点所标数字之和都等于
k
，并且
k
不能被未标出的 数整除。