第10讲----数阵图(二).
绝世美人儿
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2021年01月21日 04:01
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红岩故事-
第
10
讲
数阵图和幻方（二）
幻方问题的研究在我国已流 传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问
题。
传说公元前二千多年，
在大禹治水的 时候，
在黄河支流洛水浮起一只大乌龟，
它的背上有个奇特的图案，
（如图
1
）
，后来人们把它称之为
“洛书”
、
相传在我国远古的时 代，有一匹龙马游于黄河，马背上负有一幅奇的图案，
这就是所谓的
“河图”
，实际上 它是由九个数字排成一定的格式（如图
2
）
，图中
有一个非常有趣的性质：它 的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是
15
。
一般地，在< br>n×n（
n
行
n
列）的方格内，不重不漏填上
n×n
个连续自然数，
并且每行、每列、每条对角线上
n
个自然数的和都相等，则称它为n
阶幻方
。这
个和叫做
幻和
，
n
叫做
阶
。
幻方又叫
魔方，九宫算或纵横图
。
魔方：
我国的纵横图通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到西方。由于纵横图具有
十分奇幻的特性，西方 把纵横图叫作
Magic Square
，翻译成中文就是“幻方”
或“魔方”
。
九宫算：< br>所谓九宫，就是将一个正方形用两组与边平行的分割线，每组两条，分
割成的九个小正方格。每个小方格分别填入从
1
到
9
这九个自然数中的其中一个，
不同 的方格填入的数不同，使得三横行中每一横行三个数的和（叫行和）
，三纵
列中每一纵列三个数 的和（叫列和）
，两条对角线中每一条对角线上三个数的和
（叫对角和）都相相等，这样得到的 图就叫九宫（算）图。
纵横图：
长期以来，
纵横图一直被看作是一种数字游 戏。
一直到南宋时期的数学
家杨辉，
才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。
杨辉在他的
《续古摘
奇算法》
一书中，
不仅搜集到了大量的各种类型 的纵横图，
而且对其中的部分纵
横图还给出了如何构造的规则和方法，从而开创了这一组合数学 研究的新领域。
解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数。
（
定中间数，
填四角数，
算其余数
）
三阶幻方：就是将九个连续自然数填入3×3（三行三列）的方格内，使每行每
列、每条对角线的和相等，这叫做
三阶幻方
。
奇数阶幻方：
“罗伯法”
“楼贝法”
西 欧在十六，十七世纪时，构造幻方非常盛行。十七世纪，法
E
路第十四对构造
幻方有着 浓厚的兴趣，
他专门派
De La Loubere
（
楼贝）
出 使泰国
（
1687-1688
）
，
Loubere
：将在邏 罗学的构造作画何奇数阶幻方法的一种统一的方法
1
居上行正中央，依次斜填切莫忘 ，上出框时往下填，右出框时左边放，排重便
在下格填，右上排重一个样。
扬辉方法 ：
扬辉在
《续古摘奇算法》
中，
写到
“九子排列，
上下对易 ，
左右相更，
四维挺出”
杨辉给出的方形纵横图共有十三幅，它 们是：洛书数（三阶幻方）一幅，四四图
（四阶幻方）两幅，五五图（五阶幻方）两幅，六六图（六阶幻 方）两幅，七七
图（七阶幻方）两幅，六十四图（八阶幻方）两幅，九九图（九阶幻方）一幅，
百子图（十阶幻方）一幅（参见图
1-9-3
）
。其中还给出了“洛书数”和“四四< br>阴图”的构造方法。如“洛书数”的构造方法为：“九子斜排，上下对易，左右
相更，四维挺出” 。
但可惜的是，
杨辉只停留在个别纵横图的构造上，
没有上升成一般的理论 。
他所
造出的百子图，虽然每一行和，每一列都等于（
1+2+3+
…
97+98+99+100
）
=505
，
但两对角和不是等于
50 5
，直到我国清代的张潮（
165
—？）费了九牛二虎之力
才造出第一个两对 角和也是
505
的百子图。
偶数阶幻方：对称交换的方法。
1
、将数依次填入方格中，对角线满足要求。
2
、调整行，对角线数不动，对称行的其它数对调。
3
、调整列，对角线数不动，对称列的其它数对调。
数阵图：
把一些数字按照一定的要求，排列成各种各样的图形，叫做数阵图。
1
、封闭型：封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。为确定
这些数，采用的方法是建立有关的等式，
通过以最小值到最大值的讨论，
来确定
每条边上的 几个数之和，
再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，
其余的数再
利用和与顶点的数 就容易被填出。
（
1
—
6
）
2
、辐射型：辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。具体方法是：通过所给
条件建立有关等式，通过整除性的讨论，
确定出中心数的取值，
然后求出各边上
数的和，
最后 将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，
确定边上其他的数。
（
1
—< br>9
和相等）
3
、复合型：复合型数阵图，解题的关键是要 以中心数和顶点数为突破口。
（
1~7
，
和相等）
典型举例
1
将
1
～
8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于
21
。
解
：中间两个数是重叠数，重叠次数都是
1
次，所以两个重叠数之和为
21
×
2-(1+2+
…
+8)=6
。
在已知的八个数中，两个数之和为
6
的只有
1
与
5
，
2
与
4
。每个大圆上另
外三个数之和为
21- 6=15
。
如果两个重叠数为
1
与
5
，那么剩下的六个数
2
，
3
，
4
，
6< br>，
7
，
8
平分为两
组，每组三数之和为
15
的只有
2+6+7=15
和
3+4+8=15
，
故有左下图的填法。
如果两个重叠数为
2
与
4
，那么同理可得上页右下图的填法。
练习
1
1
、把
1
—
6
六个数字填入下图 ，使每个大圆上四个数字之和都是
16
。
2
、把
2
、
4
、
6
、
8
、
10
、12
、
14
、
16
这八个数分别填入下图，使每个大圆内五个< br>数的和都是
44
。
典型举例
2
将
1
～6
这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数
之和都等于
11
。
解
：
本题有三个重叠数，
即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，
并且各重叠一
次。所以三个重叠数之和等于
11
×
3-(1+2+
…
+6)=12
。
1
～
6
中三个数之和等于
12
的有< br>1
，
5
，
6
；
2
，
4
，< br>6
；
3
，
4
，
5
。
如果三个重叠数是
1
，
5
，
6
，那么根 据每条边上的三个数之和等于
11
，可得
左下图的填法。容易发现，所填数不是
1
～
6
，不合题意。
同理，三个重叠数也不能是
3
，
4
，
5
。
经试验，当重叠数是
2
，
4
，
6时，可以得到符合题意的填法
(
见右上图
)
。
练习
2
将
3
—
8
这六个数分别填入下图中，使得每条边上的三数之和都是
15
。
典型举例
3
将
1
～
6这六个自然数分别填入下图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数
之和都相等。
解
：
与
典型举例
2不同的是不知道每边的三数之和等于几。
因为三个重叠数都重
叠了一次，由
(1+ 2+
…
+6)+
重叠数之和
=
每边三数之和×
3
， 得到每边的三数之和
等于
[(1+2+
…
+6)+
重叠数之和
]
÷
3
=(21+
重叠数之和
)
÷
3
=7+
重叠数之和÷
3
。
因为每边的三数之和是整数，
所以重叠数之和应是
3
的倍数。
考虑到重叠数
是
1
～
6
中的数，所以三个重叠数之和只能是
6
，
9
，
12
或
15
，对应的每条边上
的三数之和就是
9
，
10
，
11
或
12
。
与
例
2
的方法类似，可得下图的四种填法：
每边三数之和
=9
每边三数之和
=10
每边三数之和
=11
每边三数之和
=12
典型举例
4
将
2
～
9
这八个 数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于
18
。
解
：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是
1
次。所以 四个重叠数之和等于
18
×
4-(2+3+
…
+9)=28
。
而在已知的八个数中，四数之和为
28
的只有：
4+7+8+9=28
或
5+6+8+9=28
。
又由于
18-9-8=1
，
1
不是已知的八个数之一，所 以，
8
和
9
只能填对角处。
由此得到左下图所示的重叠数的两种填法 ：
“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意。
说明：
以上例题都是封闭型数阵图。
一般地，在m
边形中，每条边上有
n
个数的形如下图的图形称为封闭型
m-n
图。
与
“辐射型
m-n
图只有 一个重叠数，
重叠次数是
m-1
”
不同的是，
封闭型
m-n
图有
m
个重叠数，重叠次数都是
1
次。
对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以
已知各数之和
+
重叠数之和
=
每边各数之和×边数。
由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。
前面我 们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图，
虽然大多数数阵问题要比它们
复杂些，但只要紧紧抓住“ 重叠数”进行分析，就能解决很多数阵问题。
练习
4
1
、将
1
、
2、
3
、
4
、
5
、
6
、
7、
8
这八个数分别填入下面的图里，使得每条边上的
三个数之和是
12< br>。
2
、将
2
—
9
这八个数填入 下图，使每条边上的三个数的和都等于
16
。
典型举例
5
把
1
～7
分别填入左下图中的七个空块里，
使每个圆圈里的四个数之和都等于
13
。
解
：这道题的“重叠数”很多。有重叠
2
次的
(
中心数，记为
a)
；有重叠
1
次的
(三个数，分别记为
b
，
c
，
d)
。根据题意应有
(1+2+
…
+7)+a+a+b+c+d=13
×
3
，
即
a+a+b+c+d=11
。
因为
1+2+3+4= 10
，
11-10=1
，所以只有
a=1
，
b
，< br>c
，
d
分别为
2
，
3
，
4
才符
合题意，填法见右上图。
练习
5
在下面圆圈内的空白处填入
7
、
8
、10
、
12
，使每个院内的四个数的和都相等。
4
1
6
典型举例
6
把
1
—
9
这九个数填入下图的方格中
，
并使每一行、
每一列和对角线上的数的和
都相等
解
：
方法一：
（
1）先填中心数，把
1
－
9
按从小到大顺序排成一排，第五个数填在中心格 。
（
2
）将剩下的八个数排成两排，第一排为
1
、
2
、
3
、
4
、第二排为
8
、
7
、
6
、
5
即
1 2 3 4
8 7 6 5
（
3
）根据两排数字填上四个 角，四个角的数就是两排中第二、第四列中的四个
数，这两列数字按对角填。
（
4
）用对角线的和减去每行或每列知道的数字就完成了。
方法二：
（
1
）
将这
9
个数字按照如下方式排列：
1
2
4
3
5
7
6
8
9
（
2
）
上下两个数互换：
9
2
4
3
5
7
6
8
1
（
3
）左右两个数互换：
9
2
4
7
5
3
6
8
1
（
4
）填入表格即可。
练习
6
1
、将
20
－
28
填入九宫格中 ，使每行、每列、两条对角线的和相等
。
1
、将
17
－
25
填入九宫格中，使之成为一个三阶幻方< br>。