第2讲 数阵图初步-完整版
别妄想泡我
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2021年01月21日 04:04
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藏族的传统节日-
第
2
讲
数阵图初步
内容概述
各种较为基本的数阵图问题，
了解重数的概念，
并以此进行分析；
学会分析
特殊位置上的数值；某种情况下还需要考虑对称性。
典型问题
兴趣篇
1
．在图
2-1
中的
3
个空白○内填入
3
个不同的自然数，使得三角形每条边
上的< br>3
个数之和都等于
I1
。
答案：
解析：在数阵图问题中，一般要从已知条件最多的部分人手分析，如图
1
所示，
可发现左边的线上已知两个数，
从这里人手就可以求出这条线上的第三个< br>数，依次类推，可得图
2
中○内的数，进而得题目答案．
2
．请分别将
1< br>、
2
、
4
、
6
这
4
个数填在图2-2
中的各空白区域内，使得每个
圆圈里
4
个数之和都等于
1 5
。
答案：
解析：先看上面的圆圈，
4
个数的和是
15
，其中有两个数是
5
和
7
，所以剩
下两个数的和是
15-5-7=3
．可填的数字是
1
、
2
、
4
，
6
，所以这两个数只能是
1
和
2
．
同理，得左边圆圈剩下两个数的和是
1 5-5-3=7
，所以这两个数只能是
1
和
6
．因为两个圆圈共有< br>1
，所以必须把
1
填在中间，剩下
4
填在右边圆圈里，正
好满足题意。
3
．如图
2-3
所示，请 在
3
个空白○内填入
3
个数，使得每条直线上
3
个数
之和都相等。
答案：
解析：
为叙述方便，
将空白圆圈标上字母，
如图所 示：
比较图中两条粗直线，
它们共有
A.
由于两条直线的和相同，所以除了< br>A
之外，剩下的数求和也得相
同
，
即
7+B=9+ 8=17
，
由
此
可
得
为
8+10+3=21
．利用公共和即可填出
4
．
把
1
～
8
这
8
个数分别填入图
2-4< br>中的
8
个方格内，
使得各列上
2
个数之
和都相等，各 行
4
个数之和也相等。
答案：不唯一，例如：
B=10
．于是公共和
整个数阵图．
解析：
1+2+3+4+5+6+7+8=36
，由
36
÷
4=9
，得每列两个数之和是
9
，由
36
÷
2=18
，
得 每行四个数之和是
18.
个
数
的
和
，
只
能
是
1+8=2+7=3+6=4+5
，
这
恰
好
是< br>1
～
8
．正好是
先把
9
写成两
(1
、
8)
，
(2
、
7)
，
(3
、
6 )
，
(4
、
5)
，共
4
组．把这
4
组数依次填入表中，如图
1
所示．
< br>但此时行和不等于
18
，则适当调整一下上下两个数的顺序，就可以凑出行
和< br>18
了，如图
2
所示．
5
．如图
2-5
，在这只“毛毛虫”身体上的
7
个小
O
中分别填入
1
～
7
这
7
个
数，使得
3
个大圆上的数之 和相等。
答案：不唯一，例如：
解析：
因
1+2+3+4+5+6+7=28
，
即所有数 的和是
28.
又上下
2
个大粗圆的和
正好等于所有数的和，
则公共和一
28
÷
2
—
14.
将空白圆圈都标上字母，如图
1
所
示．
①
若
G=7
，
则
E+F=C+D=A+B=7
，
把
7
分
成< br>两
个
数
相
加
，
只
能
是
1+ 6=2+5=3+4=7
；
如图
2
所示，就是一种正确昀填法．
②若
G=6，则
C+D=6
，
E+F=A+B=8
，把
8
分成两个 数相加，只能是
1+7=3+5=8
，所以
C
、
D
只能是< br>2
和
4
；如图
3
所示，就是一种正确的填法．
③若
G=5
，则
C+D=5，
E+F=A+B=9
，把
9
分成两个数相加，只能是
2+7= 3+6=9
，所以
C
、
D
只能是
1
和
4< br>；如图
4
所示，就是一种正确的填法．
④若
G=4
，则
C+D=4
E+F=A+B=10，把
10
分成两个数相加，只能是
3+7=4+6=10
，但与
G=4
矛盾，舍去．
⑤若
G=3
，则
C+D=3,
E+F=A+B=11
，把
11
分成两个数相加，只能是
4+7=5+6=11
，所以
C
、
D
只能是
1
和
2
；如图
5
所示，就是 一种正确的填法．
6
．在如图
2-6
所示的
3
×
3
方格表内填人
1
～
3
这
3
个数各
3< br>次，使得每行
每列以及，两条对角线上的
3
个数之和都相等于
9
。
答案：答案不唯一，例如：
解析：
表格中
3
行
9
个数的总和是
(1+2+3)
×
3=18
，
所以每行
3
个数字之和
等于
18÷
3=6
，
即每行每列以及两条对角线上的
3
个数字之和都等于
6
．
从
1
、
2
、
3
中选
3
个数，和等于
6
，只能是
1+2+3=6
或
2+2+2= 6
．
①先满足每行每列都有一个
1
、
2
、
3
，
可以第一行填
1
、
2
、
3
，
第二行填
2
、
3
、
1
，第三行填
3
、
1
、
2
．如图
1
所示．但其中一条对角线不合题意，这说明对
角线不太好凑，所以还是先凑对角线．
②对角线的和 也是
6
，
所以也只能是
1+2+3=6
或
2+2+2=6< br>这
2
种情形，
通过尝试不难发现，
两条对角线不可能都是
1< br>、
2
、
3
，
因此只能是
1
、
2、
3
与
2
、
2
、
2
，如图
2
所示，剩下
4
个数就很显然了，填出之后即可得答案．
7
．将
1
～
6
这
6
个数填人图
2-7中的
6
个
O
内，使“大”字三笔上的各数之
和都等。
答案：答案不唯一，例如
解 析：
在计算
3
笔划上各数的总和时，
中心圆算了
3
次，其他圆各算
1
次．
因
此
3
倍的公共和等于所有数的和加 上中心圆的
2
倍．
不妨设中心圆为
A
，
则上述
关系 写成算式就是
3
×公共和一所有数的和
+2
×
A
。
又所有数的和为
1+2+
…
+6=21
，
公共和
=9
，所以
A=3
．尝试一下就可以得到答案．
8．把
1
～
6
这
6
个数分别填人图
2-8
中的
6
个
O
内，使得每个正方形
4
个顶
点的数之 和都等于
13
。
答案
:
答案不唯一，例如：
解析：
6
个数的总和是
1+2+3+4+5+6=21
．
由题意，
左边正方形
4
个顶点的
数之和是
13
，因 此最右边
2
个数的和是
21-13=8
．
同理，
最左边
2
个数的和也是
8
，< br>所以中间
2
个数的和是
21-8-8=5
．
8
要表< br>示成
1
～
6
中两数之和只有
2
种办法：
2+ 6
和
3+5.
可以把
2
、
6
填在左边，
3
、
5
填在右边，剩下
1
和
4
的和恰好是
5
，填在中
间即可如答案所示．也可根据公有关系 ，先求中间的
2
个数，同样能得到答案．
9
．
把
1
～
6
这
6
个数分别填入图
2-9< br>中的
6
个方格内，
使得横行
3
个数之和
与竖列
4
个数之和相等．这个和最大是多少？最小是多少？
答案：最大
13
；最小
11
解析 ：
如图
1
所示，
图中有一个特别的位置，
就是行与列交叉处的公共方 格
A
，如果把行和与列和相加，这个方格会算到
2
次，而其他方格只算到1
次，换
句话说，就是
2
倍的公共和恰好等于所有数的和再加上
A
写成算式就是
2
×公共
和一所有数的和
+A
所有数的和 是固定的，
因此要
竖列的和最大或最小，
A
就应该尽
尽量小．
所有数的和
=1+2+3+4+5+6=21
．
①
A
最小填
1
，
2
倍的公共和是
21+1=22
，公共和是
22
÷
2=1 1
，具体填法如
图
2
所示．
让横行、
量
大
或
②A
最大填
6
，
2
倍的公共和是
21+6=27
，但
27
除以
2
不是整数，因此
A
最大只能填
5< br>，公共和是
26
÷
2=13
，具体填法如图
3
所示，
10.
把
1
～
7
这
7
个数分别填入图
2-
10
中各○内，
使每条直线上
3
个 ○内所
填数之和都相等，
如果中心○内填的数相等，
那么就视为同一种填法。
请写出所
有可能的填法。
答案：
解析：在计算
3
条直线的总和时，中心圆算了
3
次，其他圆各算1
次．因
此
3
条直线的总和，恰好等于所有数的总和加上中心圆的
2
倍．设中心圆为
A
，
则上述关系写成算式是：
3
×直线 和
=
所有数的和
+2
×
A.
又所有数的和为
1+2 +
…
+7=28.
①如果中心圆填1
，则直线和的
3
倍等于
28+1
×
2=30
，每条直线的和为
30
÷
3=10
，尝试一下就可以填出，如答案图
1
所示．
②如果中心圆填
2< br>，
则直线帮的
3
倍等于
28+2
×
2=32
，
此时求不出直线和，
因此这种情况是不可能的．
③依次验证中心圆填
3
、
4
、
5
、6
、
7
的情况，可以知道当中心圆填
3
、
5
、
6
时求不出直线和，当中心圆填
4
、
7
时可以填出，如答案 图
2
、图
3
所示．
所以一共有
3
种填法，
拓展篇
1< br>．将
1
～
9
这
9
个数分别填入图
2
-11
中的○内，使得图中所有三角形（共
7
个）
的
3
个 顶点上的数之和都等于
15
。
现在已经填好了其中
3
个，
请 你在图中
填出剩下的数。
答案：
解析：利用中心三角形，可先填出
4
．接着再借助其他三角形，依次填出每
个圆圈内的数字，如图所示：
2
．在图
2 -12
中的
8
个○内分别填入
8个不同的自然数，使得正方形每条
边上
3
个数的和相等。
现在已经填好了
5
个数，
那么每条边上各数之和应该是多
少？并将其补充完整。
答案：
21
解析：如图所示，将三个空白○分别用字母
A
、
B和
C
来表示．比较上面和
右边的两个和，
这两条边上
3
个数的和相
共部分，所以
9+A=1+16=17
，则
A=8
．
此时最下面一行
3
个数都已知了，
这
3
个数之和 是
7+6+8=21
．
即每条边的
和都是
21.
因此，
C
为
21-1-7=13
，
B
为
21-1-16=4
．如答案所示．
3
．把
1
～
12
这
12
个数分别填入图
2- 13
中的○内，使图中
3
个小三角形
3
条边上的
6
个数之和相等。
答案：答案不唯一，例如：
等，
而
B
是它们的公
解析：
在对每个小三角形求和的时候，
都是一条边一条边地加的，
而每条边
上都有
2
个圆，
这样一来这
2
个圆就总是同时被计 算到．
于是把位于同一边的
2
个圆配成对，
把这
12
个圆配 成
6
对，
如图
1
所示．
想要
3
个小三角形 的和相同，
只要这
6
对圆的和相同即可．
方法一：可以利用等差数列的特点进行首尾搭配．如图
2
所示：
方法二：因
1+ 2+
…
+12=(1+12)
×
12
÷
2=78
， 要等分成
6
组，则每组的和是
78
÷
6=13.
把
13
分成两个数相加，自然是：
1+12 =2+11=3+10=4+9=5+8=6+7=13.
按上述分组配对的方法，
将
1
～
12
这
12
个数一对对地填入图中即可得到答
案。< br>
4
．图
2-14
是由
4
个交叠的长方形 组成的，在交点处有
8
个○。请把
1
～
8
这
8个数分别填入这些○内，使得每个长方形上的
4
个数之和都相等。
答案：答案不唯一例如：
解析：把图
1
所示的
2
个粗线长方形相加，正好就是这
8< br>个圆的总和，所
以公共和的
2
倍就是
1+2+3+
…
+8=36
，那么公共和就等于
18.
图
1
中每个长方形求和时都是把
4
个圆相加，在加的时候 有一些圆总是同
时被计算到．
比如图
2
中两个粗线圆，它们既属于 上面的长方形，也属于左侧的长方形，
在计算这
2
个长方形的时候，
它们都被 计算到了．
再利用图形的对称性，
不难看
出其他圆也都有类似约特点．由此可见，本题 的
8
个圆圈其实都是成双成对的。
根据它们在求和对，总是被同时计算到，将其分为< br>4
组，如图
3
所示，只要这
4
组圆的和都相同，
那么 每个长方形的和也就都相同了．
根据等差数列的规律，
将
1
～
8前后搭配即可配成和为
9
的
4
组，如图
4
所示：
依照上述配对方法将
1
～
8
配对填入，即得答案．
5
．在图
2
-
15
中的方格内填入三个○， 两个
2
，两个
3
，两个
4
，使得每个
箭头所指的列 中各方格内的数之和都是
6
，
并且使得从上到下第二行与第三行的
数之和郝是
7
。
答案：答案不唯一，例如：
解析：
第一种情形：
O
在上，
2
在下，如答案图
1
所示，此时第二行一定
填
3
和
4
，第三行自然就 是
3
和
2
．第二种情形：
2
在上，
0
在下 ，如答案图
2
所示．此时第二行还缺
5
，一定填
2
和
3
，而第三行自然就填
4
和
3
．
6
．请在图
2 - 16
的每个小○内填人
1
或
2
，使得每个大圆圈上
4
个数之和
两两不同。那么所填数的总和是多少？
答案：
9
解析：如图< br>l
，先看位于下方的左右
2
个大圆，它们共用了
2
小圆（图中 粗
线所示）
．
由于是公共的小圆，
所以它们怎么填对这
2
个 大圆来说都一样，
因此，
想要大圆互不相同就得看剩下的
4
个小圆，这
4
个小圆中
2
个属于左侧大圆，
2
个属于右侧的大圆，只要前1
对小圆的和不等于后
1
对小圆的和，那么
2
个大
圆的 和就互不相同了，
由图
1
不难发现，
原来小圆是分组配对的，
而且每 组恰有
2
个．因此，要想
3
个大圆的和两两不同，只需要
3
组小圆的和两两不同即可．
由于只能填
1
或
2
，
所以这三对圆的和只能是
2=1+1,3=1+2,4=2+2
．
如图
2所示，就是一种正确填法．当然还可以有其它填法。但不管怎么填，所用的数一
定是
3个
1
、
3
个
2
，因此所填数的总和始终是
1< br>×
3+2
×
3=9
．
7
．
在图
2-
17
中的
6
个 ○内分别填人不同的自然数，
使得每一个数都是与它相连的上面
2
个数之和，那么最下 面那个数最小是几？
答案：
8
解析：容易看出这
6
个数中没 有数字
0
．当最上面一行的中间的数是
1
时，
它的两边不能是
2
和
3
，否则，如图
1
所示，会出现两个
3
．因 此，另外两个数
最小填
2
、
4
．如图
2
，当第一行 依次填
2
、
1
、
4
时，最下面那个数最小是
8．
当最上面一行中间的数是2
时，
第二行的两个数至少为
3
和
6
，
因此最 下面
那个数最小是
9
．同样，当最上面一行中间的数是
3
，
“…时，最下面那个数都会
大于
9
．
所以，最下面那个数最小是
8
．
8
．把
1
～
8
这
8
个数分别填入图
2-18
中的
8
个○内，使得任意两个由线段
直接相连的○内的数字之差都不等于
l.
答案：答案不唯一，例如