数学春季教案 五年级-14 有趣的数阵图
绝世美人儿
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2021年01月21日 04:19
最佳经验
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保护眼睛的颜色-
第
14
讲
有趣的数阵图
[
教学内容
]
：
春季五年级精英版，第
14
讲“有趣的数阵图”。
[
教学目标
]:
知识与技能
：
1
、通过对图形的观察，发现图形的规律，进一步发现数的规律；
2
、利用容斥原理解决数阵图问题。
数学思考：
1
、形成数感，并感受几何直观，帮助发现问题中的规律；
2
、通过观察、尝试及验证，进行适当推理，并进行有条理地思考。
问题解决：
1
、将问题简单化，找到解决问题的最佳方法；
2
、通过合作交流，生生互动，解决问题并表达出自己的想法；
3
、经过简单题型的学习，总结解题方法及规律，解决较复杂的问题。
情感与态度
：
1
、在相互协作，教师引导下，解决较困难的问题，竖立信心；
2
、养成乐于思考、勇于质疑、言必有据的良好品质和习惯。
[
教学重点和难点
]:
教学重点
：
观察发现图形规律及数的规律。
教学难点
：
利用数形结合、容斥原理解决数阵图问题。
[
教学准备
]:
动画多媒体语言课件。
第一课时
教学过程：
教学路径
一、导入
师：首先让我们一起看这样一张表：
（课件显示上表）
学生活动
方案说明
师：同学们观察一下，这个
4
×
4
方格中的数有什么规
律呢？同桌之间可以相互讨论。
生：我发现每一行、每一列、每条对角线上的四个数
之和都相等，都等于
34
。
生：我还发现，任意一个< br>2
×
2
的正方形中的
4
个数的
和也都等于
34
。
（课件可利用红框或颜色闪烁表示出横行、竖列、对
角线、
2
×
2
正方形的和都是
34
）
师：同学们真厉害，一下子就发现了这么多的规律，
大家在生活中一定也是仔细认真，善于观察的小能手！这
里我给大家呈现的表格，有一个专门的名字叫作数阵图。
数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有
时简称数阵。它是由幻方演 变而来。幻方一般都是正方形，
而数阵图的形状则是丰富多样，也特别有趣。
二、新授
今天我们就一起来学习一些简单的数阵图，比比哪个
同学学得最好 ！首先让我们来看例
1
例
1
：
将
1
～
9
这
9
个自然数填写到下面的九宫格里，
使得每一横行、每一竖列和 每条对角线上的三个数之和都
相等。
（课件显示例
1
）
1.
学生读题，教师提问。
师：这个问题，相信有很多同学都遇到过。我们应该
如何解决这个问题呢？
生：
因为第一横行的和都相等，
而
1
～
9
的和为
4 5
，
说
明每一行的和为
15
，那么每一竖列和每条对角线上三个数< br>的和也都是
15
。同时，
1
～
9
这
9
个数的中间数是
5
，关于
5
对称的两个数的和都是
10
，
而
10+5=15
，
所以可以把
5
填
在方阵的正中 间。然后使关于
5
对称的
4
组数和为
10
，最
后相 办法让正方形四条边上的和为
15
就行了。
师：这样同学说得非常好。同学们可以试着自己填一
填。
2.
学生填数，师巡视指导
师：好了，我请一位同学上来把自己的填法给大家看
一下。
学生动手自己填一下。汇报结果。
师：今天老师给大家介绍一个简单的方法：
解析一：
（课件动画 演示以上过程（第一步中九个数要按顺
序一个个出现）
，每动一步，口诀同步显示在旁边）
解析二：动画按顺序排列，下一步
以
5
为中心，顺时针旋转一格，下一步
对角互换。
答案：把最后的结果填到方阵中。
3.
教师小结
师：通过检验，我们发现，结果真的和题目条件一致。
亲爱的同学们，其实不仅仅
1
～
9
可以这样填。所有
9
个数
组成的等差数列都可以这样填，结果 也都可以保证使每一
行、每一列、每条对角线上的和都相等，通过这个方法，
我们来检验一下， 结果是否符合题意。
现在大家可以试着把
2
、
4
、
6
、
8
、
10
、
12
、
14
、
16
、
18
这九个数填到
3
×
3
的方阵中 ，
使每一行、
每一列、
每条
对角线上的和都相等。我们看谁填得最快！
（根据课堂时间，适当选择该题）
师：同学们做得都很好。这是一个正方形的数阵图，
现在让我们继续往下看。
（课件显示例
2
）
例
2
：
将
12
～
16
这五个数分别填在下图的“○”中，
使得每条直线上的三 个数字之和都等于
43
。
1.
学生读题，教师引导。
师：现在要使每条线上的三个数之和都等于43
，我们
应该怎么思考呢？
2.
同桌互相探讨，汇报。
生：因为总共就只有
2
条线， 每条线上的三个数之和
都等于
43
，两个和相加就是
43+43=86
。而
12
～
16
这五个
数的和为
14*5=70
，
比
86
小。
这是因为中间的数加了两次，
也就是多加了一次。86-70=16
，说明多加了一次的数就是
16
，所以中间数是
16< br>。
43-16=27
，说明上下两个数的和与
左右两个数的和都是
27
。
12+15=27
，
13+14=27
。所以可以
在上下 两个圆圈里填
12
和
15
，
左右两个圆圈里填
13
和
14
。
或者反过来填也行。
师：同学们同意他的观点吗？
生：同意！
师：说得这么好，怎么能没有掌声呢！
（师声鼓掌）
3.
教师点评，总结。
师：这里关键是要确定什么？
生：确定中间的数。
师：是的。把中间的数确定下来，问题就解决一半了！
现在每位同学把过程写完整，并把
5
个数填到圆圈中。我
请一位同学到前面来填。
解析：动画横着和竖着的三个圈分别闪烁，标注
43.
最后中间的圆圈变色，出 示文字：中间数被重复计算了一
次，先确定中间数：
43+43-
（
12+1 3+14+15+16
）
=16
下一步
在中间的圆内填上
16.
答案：答案不唯一
师：看来 这些问题都难不住咱们精英班的同学们，下
面这道题可有点难度了，大家做好心理准备哦！
（课件出示例
3
）
例
3
：在下面三个圆的空白处 分别填入
4
、
5
、
7
、
9
四
个数 ，使每个圆里的四个数的和都相等。
1.
学生获取信息，理解题意。
师：其实这道题可以理解为，把
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
这七个数填到图中的七个区域里，使每个圆里的四个数的
和都相等。现在 题目中已经帮我们填好了
3
个数，那么剩
下的四个数应该怎么填呢？这个问题好像挺难 解决的。同
学们同桌前后四人为一组进行讨论。
2.
小组合作交流，汇报思路。
（讨论约
3
分钟）
师：停，坐正。哪一组可以跟大家分享一下你们的结
果？
生：通过观察，我 们发现，中间的数同时在三个圆里，
可以先不考虑。三个圆里分别已经有两个数，每个圆里两
个 数的和分别是
9
、
11
和
14
，这三个和的差分别是
2
、
3
、
5
。要使三个圆中四个数的和相等，就必须使最外面三个 数
的差分别是
2
、
3
、
5
，我们发现，
4
、
5
、
7
、
9
四个数中，
4
、< br>7
、
9
符合要求，所以
5
填在中间。后面就好做了。
3.
学生尝试解答并汇报。
师：非常好，现在每位同学独立思考，并尝试把所有
的数都填到图中。
解析：闪烁中间部分，出示文字：公共部分
下一步
下一步
下一步
答案：填上数字
师：我看到很多同学都做得非常好，现在同桌之间互
相讲解一下自己的解题过程，< br>一会我请两位同学进行讲解。
（约
2
分钟后，请两位同学讲解）
4.
学生总结方法并汇报。教师适当指导。
师：两位同学说得都很好。现在我们继续往下看。
（课件出示例
4
）
例
4
：将
1
～
6
六个数分别填入下图的圈内，使三角形
每条边上三个数的和都相等。这个和最大可 能是（
）
，
最小可能是（
）
。
师：观察这个数阵图，你有什么发现？
生：我发现顶点的三个数都要被重复加
1
次。
师：是的。现在要求每条边上的和最大或最小，应该
怎么办呢？
生：因为三 角形三个顶点上的数都被重复加了，所以
要使和最大，就要把最大的三个数放到顶点上。
然后把
1
、
2
、
3
分别填到边上的三个 圆圈中，使三条
边上的和都相等就行了。同样的，要使和最小就把最小的
三个数填在顶点上，步 骤是一样的。
师：非常好！但这道题只是让我们求出和最大或最小
是多少，没有让我 们把具体的排法写出来。从这方面来考
虑，大家有没有更简便一些的方法呢？同桌之间可以讨论
一下！
生：如果要使和最大，那么三角形三个顶点上的数就
要最大。那么把三条边上 的和相加就可以得到
1+2+3+
（
4+5+6
）
×
2=3 6
，
所以每边上和最大就是
36
÷
3=12
。
求最
小和时，
把
1
、
2
、
3
填在顶点上
，
那么最小的和就是
[
（
1+2+3
）
×2+4+5+6]
÷
3=9
。
师：非常好。现在同学们在书本 上把过程书写完整，
并跟同桌相互说一说这道题的解题思路。
解析：三个顶点上的数 都被重复计算了。所以要使和
最大，就要把最大的三个数放到顶点上。
下一步
要使和最小，就要把最小的三个数放到顶点上。
答案：
师：刚才我看到同学们做得都非常好。现在让我们看
最后一个例题。
（课件出示例
5
）
（选做题）
例
5
：< br>在下面的九宫格中，
每个格子里各有
一个数，如果每行、每列、每条对角线的三个数的和 都相
等，根据已知的三个数求
x
？