小学数学 《数阵图》练习题(含答案)
余年寄山水
752次浏览
2021年01月21日 04:23
最佳经验
本文由作者推荐
幼儿园小班教育随笔-
小学数学
《数阵图》练习题（含答案）
数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（ 或关
系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：
第一步：区分数阵图中的普通点（或方格）
，和交叉点（方格）
第二步：在 数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次
数之积的和的代数 式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数
的整数倍
.
第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和
.
第四步：运用已经得到的信息进行尝试：
数阵图还有一类题型比较少见，解决 这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题
关键
.
（一）封闭型数阵问题
【例
1
】
（★★★）小青蛙不小心爬到一个正方形数阵图中，必须 把
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
八个数字填入下图中的○内，使正方形每条边 上三个数的
和都等于
13
才能通过这个数阵图，你能帮它吗？
【例
2
】
（★★★）小乌龟被困在五个圆里面（如下图）
，五圆相连，
每个位置的数字都是按一定规律填写的，它必须找出规律，并求出
x
所代
x
表的数才能脱困，你知道该怎么办吗？
20
17
18
24
22
27
28
26
30
【例
3
】
（★★★）
1
～
9
分 别填入小三角形内
(
每个小三角形内只填一个
数
)
，要求靠近大三角 形三条边的每五个数相加和相等．想一想，怎样填这些
数才能使五个数的和尽可能大一些
?
【例
4
】
（★★★）能否将数
0
，
1< br>，
2
，…，
9
分别填人下图的各个圆
圈内，使得各阴影三角形 的
3
个顶点上的数之和相等
?
【例
5
】
（★★★），小熊和妈妈去外婆家要过一条河，必须要
按照下面的要求填数才可以顺利通过，要 求如下：
20
以内共有
10
个
奇数，
去掉
9
和
15
还剩八个奇数，
将这八个奇数填入右图的八个○中
（其中
3
已经填好）
，
使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等
.
3
（二）辐射型数阵
【例
6
】
（★★★）
将
1
～
7
这七个数字，
分别填人图中各个○内，
使每条线段
上的三个○内数 的和相等．
【例
7
】
（★★★）
把
10
至
20
这
11
个数分别填入下图的各圆圈内，
使每条线段上
3
个圆内所填数
的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法．请写出所有可 能的填法．
【例
8
】
（★★★）
左图中有三个正三角形，将
1
～
9
填入它们顶点处的九个
○中，
要求每个正三角形顶点的三数之 和都相等，
并且通过四个○的每条直线上的四
数之和也相等
.
【例
9
】
（★★★）
在下图的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的
三个数中，当中的数是两边两个数的平均数 ，现在已填好两个数，求
x
是多少？
（三）其它类型的数阵图
【例
10
】
（★★★）
在下图中的
10
个○内填入
0
～
9
这
10
个数字，< br>使得按顺时针循环式成立：
=
=
【例
11
】
（★★★★）
将
1
～
8
这八个自然数填入左下图的空格内，
使四边
形组成的四个等式都成立：
【例
12
】
（★★★★）下图包括
6
个加法算式，要在圆圈
=
里填上不同的自然数，使
6
个算式都成立 ．那么最右边的圆圈中的
数最少是多少
?
+
+
+
+
-
=
-
=
-
-
+
=
÷
-
×
+
=
=
+
=
+
=
=
=
=
=
=
1.
请分别将
1
，
2< br>，
4
，
6
这
4
个数填在下图的各空白区域内，使得每 个圆圈里
4
个数的和都等于
15
．
5
7
3
2.
把
1
～
5
这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三 个数之和相等
.
3.
把
1
至
6
分别填入下图的各方格 中，使得横行
3
个数的和与竖列
4
个数的和相
等．
4.
将
1
～
7
七个数字填入左下图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的三个数
之和都相等
.
5.
将
1
～
8
八个数分别填入右上图的八个○内 ，使得图中的六个等式都成立
.
△代表几？
+
+
+
=
+
=
+
=
+
=
=
=
（一）封闭型数阵问题
【例
13
】
（★★★）
小青蛙不小心爬到一个正方形数阵图中，
必须把
1
，
2< br>，
3
，
4
，
5
，
6
，
7< br>，
8
八个数字填入下图中的○内，使正方形每条边上三个数的和都等
于
13
才能通过这个数阵图，你能帮它吗？
1
7
5
18
4
4
6
7
3
8
3
2
或
5
2
6
分析：因为每 边上的和为
13
，那么四条边上的数字之和为
13
×
4=52
，而
1+2+
…
+7+8=36
，所以四个角上
的四个数之和等于
52-36=16
．在
1
～
8
中选四个数，四数之和等于< br>16
，且其中相邻两个的和与任意三个
的和不等于
13
的只有：
16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6
．经试验，只有右上图的两种填法．
亮点设计：
(1)
求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教 会学生学会找关键数的方法是最重要
的
.
（
2
）设计问题：正方形 每条边之和是
13
，
13
×
4=52
，但是所有数的和是：
1+2+
…
+7+8=36
，为什么会出
现结果不同的问题呢？仔细 观察这个数阵，四条边上所有数相加的过程中四个角上的数都被重复加了一
次，也就是四个角上的数是重 复数，
52-36=16
即为这四个重复数的和
.
（
3
）
强调分组法与试验法：
知道了四个数的和之后，
下一步就要先确定这四个数，
采用分组法和试验法
.
分组法是将这个和根据要求拆成四个数，例如本题中要求其中相邻两个的 和与任意三个的和不等于
13
，
根据要求将
16
分成
4个数的和：
16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6
，
但是未必 每一组都是合适的，
这就需要
采用试验法，将它们一一进行试验
.
（
4
）小结：对于封闭型的数阵，重复数基本上都是两条线相交的点，这在后面的例题中有大量体现.
[
前铺
]
将
1
～
6
六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于
11
．
2
5
3
1
6
分析：因为每边上的和为
11
，那么三条边上的数字之和为
11< br>×
3=33
，而
1+2+
…
+5+6=21
，所以三 个角的
三个数之和等于
33-21=12
，在
1
～
6
中选
3
个和为
12
的数，且其中任意两个的和不等于
11
，这样的组合
有：
12=2+4+6=3+4+5
，经试验，填法见右上图
.
[
拓展
]
将
1
～
6
填入左下图 的六个○中，
使三角形每条边上的三个数之和都等于
k
，
请指出
k< br>的取值范围
.
4
1
6
2
4
5
3< br>1
6
3
2
4
5
4
5
2
3< br>1
6
4
3
5
1
2
6
k=9 k=10 k=11 k=12
分析：
设三角形三个顶点的数字之和为
s.
因为每个顶点属于两条 边公有，
所以把三条边的数字和加起来，
等于将
1
至
6
加一 遍，同时将三个顶点数字多加一遍
.
于是有（
1+2+3+4+5+6
）+s=3k
，化简后为
s+21=3k.
由于
s
是三个数之和， 故最小为
1+2+3=6
，最大为
4+5+6=15
，由此求出
9< br>≤
k
≤
12.s
和
k
有四组取值：
通过试验，每组取值都对应一种填数方法（见右上图）
.
【例
14
】
（★★★）
小乌龟被困在五个圆里 面
（如下图）
，
五圆相连，
每个位置的数字都是按一定规律填写的，它必须找 出规律，并求出
x
所代表
的数才能脱困，你知道该怎么办吗？
x< br>20
24
27
30
28
17
22
26
18
分析：经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的 和的一半
.
比如：
（
26+18
）÷
2=22.
（
30+26
）÷
2=28.
（
24+30
）÷< br>2=27.
所以
x+18=17
×
2
，
x=16.< br>经检验，
16
和
24
相加除
以
2
，也恰好等 于
20.
[
拓展
]
找规律求
x
x
52
24
12< br>8
30
26
64
18
16
分析：经观察， 图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的差的
2
倍
.比如：
（
26-18
）×
2=16.
（
30 -26
）×
2=8.
（
30-24
）×
2=12.
因为
52
÷
2=26>24
，所以
x=26+24=50.
经检验，
（
50--18
）×
2=64.
【例
15
】
（★★★）
1
～
9
分别填入小三角形内
(
每个小三角形内只填一个数
)
，要求靠近大三角
形三条边的每五个数相加和相等．想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些
?
分析：
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
，用
s
表示靠近大三角形三条边的五个数的和．因为有三个小三角形所填
的数在求和时只用了一次
(
用
a
，
b
，
c
来表示这三个数
)
，
其余均用了两次．
于是，
45
×
2-(a+b+c)=3
s
．
要
使
s
尽可能大，只要
a+b+c
尽可能小 ．所以
a+b+c=1+2+3=6
，于是
90-6=3 s
，
s= 28
．剩下的六个数分成
三组，并且每组中两数的和是三个连续自然数，那么：
4+8 =12
；
6+7=13
；
5
+9=14
．经过调配可得到几十
种填法，右上图是填法之一．
[
拓展一
]
如图是奥林匹克的五环标志，其中
a
，
b
，
c
，
d
，
e
，
f
，
g
，
h
，
i
处分别填入整数
1
至
9
，如果每
一个圆环内所填的各数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少
?
a
b
c
d
e
f
g
h
i
分
析
：
计
算
五
个
圈
内
各
数
之
和
的
和
，
其
中
b
，
d
，
f
，
h
被
计
算
了
两
遍
，
所
以
这
个
和
是
1+2+3+ 4+5+6+7+8+9+b+d+f+h
，而这个和一定能被
5
整除，所以
b
，
d
，
f
，
h
中填入大数时能使这个和取
得最大值，最大是
6
、
7
、
8
、
9
，各 圆圈内的和也取得
15
，由于
15=6+9=7+8
，所以满足条件的所有数 无法
配成
15
，当和为
14
时可以找出满足条件的填法，所以和最大 为
14
，当
b
，
d
，
f
，
h取
1
、
2
、
3
、
4
时这
个和 取得最小值，各圆圈内的和也取得最小值
11.
[
拓展二
]有
10
个连续的自然数，
9
是其中第三大的数．现在把这
10< br>个数填到下图的
10
个方格中，每格
内填一个数，要求图中
3
个
2
×
2
的正方形中的
4
个数之和相等．那么，这个和数的 最小值是多少
?
分析：
9
是其中第三大的数，所以 这
10
个连续自然数是
2
、
3
、
4
、5
……
9
、
10
、
11
，计算三个正方形中< br>的和的和，
这个和能被
3
整除，
其中
a
和
b
被重复计算了两次，
所以
2+3+
……
11+a+b=65+a+b =3s
，
当
a+b=1
，
4
，
7
……时，
65+a+b
可以被
3
整除，因为要取最小值，所以
a+b
的值越小越好，但是不可能取
1
与
4
，
所以，
a+b=7< br>时，这个和取得最小值，每个正方形中的和也取得最小值（
65+7
）÷
3=2 4.
【例
16
】
（★★★）能否将数0
，
1
，
2
，…，
9
分别填人下图的各个圆圈 内，使得各阴影三角形
的
3
个顶点上的数之和相等
?