第11讲简单的幻方及他数阵图
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2021年01月21日 05:14
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社会主义理论体系-
第
11
讲简单的幻方及他数阵图
第十一讲
简单的幻方及其他数阵图
有关幻方问题的研究在我国已流传了 两千多年，
它是具有独特形式的
填数字问题
.
宋朝的杨辉将幻方命名为
“纵横图
.
”
并探索出一些解答幻方
问题的方法
.
随着历 史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了
许多绚丽多彩的幻方
.
据传说在夏禹时代，
洛水中出现过一只神龟，
背上有图有文，
后人 称
它为“洛书”
.
洛书所表示的幻方是在
3
×
3
的方格子里（即三行三列），按一定的
要求填上
1
～
9
这九个数，使每行、每列、及二条对角线上各自三数之和
均相等，这样的
3
×
3
的数阵阵列称为三阶幻方
.
一般地说，在
n
×
n
（
n
行
n
列）的方格里，既不重复又不遗漏 地填上
n2
个连续的自然数（一般从
1
开始，也可不从
1
开 始）每个数占一格，
并使排在任一行、
任一列和两条对角线上的
n
个自然数的 和都相等，
这样
的数表叫做
n
阶幻方
.
这个和叫做幻和，< br>n
叫做阶
.
杨辉在《续古摘奇算法》中，总结洛书幻方 构造方法时写到：
“九子
排列，上、下对易，左右相更，四维挺出
.
”现用下 图对这四句话进行解
释
.
九子排列
上、下对易
左右相更
四维挺出
怎样构造幻方呢？一般方法是先求幻和，
再求中间位置的数，
最后根
据奇、偶 情况试填其他方格内的数
.
下面我们就来介绍一些简单的幻方
.
例
1
将
1
～
9
这九个数，填入下左图中的方格中，使每行、每列、两条对
角线上三个数字的和都 相等
.
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第
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讲简单的幻方及他数阵图
分析
为了便于叙述，先用字母表示图中要填写的数字
.
如上右图所
示
.
解答这个题目，可以分三步解决：
①先求出每行、每列三个数的和是多少？
②再求中间位置的数是多少？此题是求
E=
？
③最后试填其他方格里的数
.
∵
A+B+C+D+E+F+G+H+I
=1+2+3+4+5+6+7+8+9
=45.
∴
A+B+C=D+E+F=G+H+I=15.
∴
B+E+H=A+E+I=C+E+G=15.
∴
A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E
=
（
A+E+I
）（
B+E+H
）
+
（
C+E+G）
+
（
D+E+F
）
=15X4.
45+3E=60
3E=15
E=5.
这样，正中央格中的数一定是
5.
由于在同一条直线的三个数 之和是
15
，因此若某格中的数是奇数，
那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇 偶性相同
.
因此，四个角上的数
A
、
C、
G
、
I
必为偶数
.
（否则，若
A
为 奇数，则
I
为奇数
.
此时若
B
为奇数，则其余所有格亦为奇 数；若
B
为偶数，则其
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第
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讲简单的幻方及他数阵图
余所有格亦为偶数
.无论哪种情形，都与
1
至
9
中有
5
个奇数，
4
个偶数
这一事实矛盾
.
）
因此，< br>B
、
D
、
F
、
H
为奇数
.
我们不妨认为
A=2
（否则，可把
3
×
3
方格绕中心块旋转即能做到这
一点）
.
此时
I=8.
此时有两种选择：
C=4
或
G=4.
因而，
G= 6
或
C=6.
其他格的数随之而定
.
因此，
如果把经过中心块旋转而能完全重合的两种填数法视作一种的
话，一共只有两种不同的填数法：
A=2
，
C=4
或
A=Z
，
G=4
（2
，
4
被确定位
置后，其他数的位置随之而定）
.
解：
按照上面的分析，
我们可以得到两个解
（还有另外
6
个可以由这
两个解经过绕中心块旋转而得到，请大家自己完成）
.
例
2
在右图中的
A
、
B
、
C
、
D
处填上适当的数，
使右图成为一个三阶幻方
.
分析与解答
①从
1
行和
3
列得：
A+12+D=D+20+11
A+12=20+11
A=19.
②观察对角线上的三个数的总和，
实际 上它即为每行、
每列的三个数
的和
.
对角线上的三个数的和：
A+15+11=19+15+11=45.
③
B=45-
（
16+19
）
=10.
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第
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讲简单的幻方及他数阵图
④
D=45-
（
20+11
）
=14.
⑤
C=45-
（
16+11
）
=18.
∴
A=19
、
B=10
、
C=18
、
D=14.
例
3
将右图中的数重新排列，使得横行、竖行、对角线上的三个数的和
都相等
.
分析
已知题目中只给了
3
个数，
2 2
、
30
、
38
，而每个数都有
3
个
.< br>很显然，横行、竖行、对角线上的三个数的和是：
22+30+38=90.
以
A
、
B
、
C
记这三个数
.
如果使得每行、每列（先不要求对角线）都各有一个
A
、
B
、
C
（容易
知道，要满足题目要求，必须做到这一点），那么各行、各列 的和都为
A+B+C=90.
而这只有如下图所示的两种类型的排列方式
.
其中 第一图中由于
A+A+A=90
，因此必须
A=30
；第二图中
C+ C+C=90
，
所以
C=30.
其余各行、各列以及另一对角线上的三数之和 都为
A+B+C=90.
在第一图中
B
，
C
可在
22
、
38
中任取；第二图中
A
、
B
可在
22
、
38
中任取
.
因此共有
4种不同的重新排列法
.
解：由分析可知，右图所示为
4
种不同的重新排列方法中的一种
.
例
4
将
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
这九个数字，分别填入
3
×
3
阵列中
的九个方格 ，
使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的
2
倍，
第三
行组成 的三位数是第一行组成的三位数的
3
倍
.
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第
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讲简单的幻方及他数阵图
分析
这一例题比前三个例题要复杂些，但如果我们充分利用题目的
要求和< br>1
至
9
这九个数的特性
（五奇四偶）
，
那么也能缩小 每格中所应填
的数的范围，直至完全确定每格中应填的数
.
为了方便起见，把九个格中
的数字用
A
至
I
这九个英文字母代替
.
这样，例如
C=2
，
则
F=4
，
I=6.
因而
其余六格应
个加式：前两行之和等于第三行
.
这对 于我们用奇偶性去分析加式成
立的可能性是有用的
.
由于个位上的加法没有进位，因此 十位上的三个数
字不能都为奇数
（否则将出现奇数
+
奇数
=
奇数的矛盾等式）
，
即
8
一定是
其中的一个十位数字，显然
B
≠
8
（否则
E=6
，与
I=6
矛盾）
.
又
H
≠
8
（否
则，
B
≤
8/3< br>，
只有
B=1.
而当
B=1
时，
H
至多为< br>5
）
.
因此
E=8
，
这样，
B
＝< br>9
，
H=7.
最后，
由于
A
＜
D
＜
G
必有
A=1
，
D=3
，
G=5.
由于< br>192
×
2=384
，
192
×
3=576
，
所以所填的数满足题目要求
.
又如，
C=4
，则
F=8
，
1=2.
个位上的加式向十位进
1
，因此十 位上的三
个数字都是奇数，因此
6
是一个百位数字
.
显然
A
≠
6.
如果
D=6
，则必有
A=3
，
G= 9.
而
B
、
E
、
H
是
1
、
5
、
7
这三个数，要满足
B+E+1=H
，只能
B=1< br>，
E=5
，
H=7
或
B=5
，
E=1
，
H=7.
由于
314
×
2
≠
658
，
354
×
2
≠
618
，所以此时
不满足题目要求< br>.
如果
G=6
，显然
A
＜
3
，此时只有A=1
，但当
A=1
时，
G
＜
（
1+1
）×
3=6.
因而当
C=4
时，不可能有满足题目要求的填法
.
其他的情形可以类似地加以讨论，分别给出肯定的或否定的结论
.
解：由分析，下左图是一种符合要求的填法
.
由于作为一个加法算式
（上两行的和等于第三行）
，
上图只是在十 位
上的加式向百位进了
1
，其他两个数位上都没有进位，因此把它的个位移
到 百位的位置上加式仍然成立，所以上右图也是一种符合要求的填法
.
还有两种符合要求的填法，
希望同学们利用分析中的方法把它们找出
来
.
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