矩阵的定义及其运算规则-矩阵的定义
萌到你眼炸
762次浏览
2021年01月21日 05:15
最佳经验
本文由作者推荐
我的叔叔于勒选自-
矩阵的定义及其运算规则
1
、矩阵的定义
一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成
m
行
n 列（横的称行，
纵的称列）的一个数表，并称它为
m×
n
阵。
矩阵通常是用大写字母
A
、
B
…
来表示。例如一个
m
行
n
列的矩阵可以简记为：
，或
。即：
我们称（
2-3
）式中的
（
2-3
）
为矩阵
A
的元素，
a
的第一个注脚字母
，表示矩阵的行数，第二个注脚字母
j
（
j
＝
1
，
2
，
…
，
n
）表示矩阵的列数。
当
m< br>＝
n
时，则称
为
n
阶方阵，并用
表示。当矩阵（a
ij
）的元素仅有一
行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵
。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且
它们的对应元素一一相等，即
，则称该两矩阵 相等，记为
A
＝
B
。
2
、三角形矩阵
由
i
＝
j
的元素组成的 对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。
如果在方阵中主对角线一侧 的元素全为零，
而另外一侧的元素不为零或不全为零，
则该
矩阵叫做三角形矩阵。例如 ，以下矩阵都是三角形矩阵：
，
3
、单位矩阵与零矩阵
在方阵
中，如果只有
，
，
。
的元素不等于零，而其他元素全为零，如：
则称为对角矩阵，
可记为
。
如果在对角矩阵中所有的
彼此
都相等且均为
1
，如：
，则称为单位矩阵。单位矩阵常用
E
来表示，即：
当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号
“0”
来表示。
4
、矩阵的加法
矩阵
A
＝
（
a
ij
）
m×
n
和
B
＝
（
bij
）
m×
n
相加时，
必须要有相同的行数和列数。
如 以
C
＝
（
c
ij
）
m ×
n
表示矩阵
A
及
B
的和，则有：
式中：
。即矩阵
C
的元素等于矩阵A
和
B
的对应元素之和。
由上述 定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设
A
、
B
、
C
都是< br>m×
n
矩阵）：
（
1
）交换律：
A
＋
B
＝
B
＋
A
（
2
）结合律：（
A
＋
B
）＋
C
＝
A
＋（
B
＋
C
）
5
、数与矩阵的乘法
我们定义用
k
右乘矩阵
A< br>或左乘矩阵
A
，其积均等于矩阵
乘上
k
之后所得的矩阵。如：
中的所有元素都
由上述定义可知，数与矩 阵相乘具有下列性质：设
A
、
B
都是
m×
n
矩阵，
k
、
h
为任意
常数，则：
（
1
）
k
（
A
＋
B
）＝
kA
＋
kB < br>（
2
）（
k
＋
h
）
A
＝
k A
＋
hA
（
3
）
k
（
hA
）＝
khA