四年级奥数教程第7讲：有趣的数阵图
余年寄山水
781次浏览
2021年01月21日 05:18
最佳经验
本文由作者推荐
防溺水知识-
第七讲
有趣的数阵图（二）
例
1
将
1
～
7
这七个自然数分别填入右 图的
7
个小圆圈中，
使三个大圆圆
周上及内部的四个数之和都等于定数
S
，并指出这个定数
S
的取值范围，
最小是多少，最大是多少？并对
S
最小值填出数阵
.
分析
为 了叙述方便，用字母表示圆圈中的数
.
通过观察，我们发现，
三个大圆上，
每 个大圆上都有
4
个小圆，
由题设每个大圆上的
4
个小圆之
和 为
S.
从图中不难看出：
B
是三个圆的公共部分，
A
、C
、
D
分别是两个圆
的公共部分而
E
、
F、
G
仅各自属于一个圆
.
这样三个大圆的数字和为：
3S=3B +2A+2C+2D+E+F+G
，
而
A
、
B
、
… 、
F
、
G
这
7
个数的全体恰好是
1
、2
、
…、
6
、
7.
∴
3S=1+2+3+4+5+6+7+2B+A+C+D.
3S=28+2B+A+C+D.
如果设
2B+A+C+D=W
，要使
S
等于定数
即
W
最小发生于
B=1
、
A=2
、
C=3
、
D=4
W
最大发 生于
B=7
、
A=6
、
C=5
、
D=4
，
综上所述，得出：
13
≤
S
≤
19
即定数可以取
13
～
1 9
中间的整数
.
本题要求
S=13
，那么< br>A=2
、
B=1
、
C=3
、
D=4
、
E=5
、
F=6
、
G=7.
注意：解答这类问题常常抓两个要点，一是某种共同的“和数”
S.
（同一条边上各数和，同一三角形上各数和，同一圆上各数和等等）
.
二是全局考虑数阵的各数被相加的“次”数
.
主要突破口是估算或确
定出
S
的值
.
从“中心数”
B
处考虑
.
（
B
是三个大圆的公共部分，常根据
S
来设定
B
的可能值< br>.
这里重视
B
不是简单地看到
B
处于几何中心，主要
因为
B
参与相加的次数最多）此处因为定数是
13
，中心数可从
1< br>开始考
虑
.
确定了
S
和中心数
B
，其他问题 就容易解决了
.
解：
例
2
把
20
以内的质数分别填入右图的八个圆圈中，使圈中用箭头连接起
来的每条路上的四个数之和都相等
.
分析
观察右图，我们发现：
①有
3
条路，每条路上有
4
个数，且
4
个数相加的和要相等
.
②图形两端的两个数是三条路的公共起点和终点
.
因此只要使三 条路
上其余两个数的和相等，就可以确保每条路上的四个数的和相等
.
③
20
以内的质数共有
8
个，依次是
2
、
3
、
5
、
7
、
11
、
13
、17
、
19.
如果能从这八个数中选出六个数凑成相等的三对数，问题就可迎刃而 解
.
如要分析，设起点数为
X
，终点数为
y
，每条路上4
个数之和为
S
，显然
有：
3S=2x+2y+2+3+5+7+11+13
＋
17+19
=2x+2y+77.
即
S
最小
=29
，此时
x=2,y=3
但这时，中间二个质数之和为
47-
（
19 +13
）
=15
，但
17
＞
15
，
17< br>无
处填
.
所以
S=47
是无法实现的
.
这题还另有一 个独特的分析推理
.
即惟一的偶质数必处于起点或终点
位上
.
不然， 其他路上为
4
个质数之和，
2
处于中间位的路上
.
这条路为
3
奇
1
偶相加，另两条路上为
4
个奇相加，形成矛盾
.
再进一步分析，（终点，始点地位对称）始点放上
2
，终 点放上另一
个质数，其他
6
个质数之和必为
3
的倍数
.而经试算，只有终点放上
3
，
而可满足的解法只有一种（已在下图中表出）
.
解：
这样，轻而举地 可得到：
5+19=24
，
7+17
＝
24
，
11 +13=24.
例
3
把
1
、
2
、< br>3
、
4
、
5
、
6
、
7
、< br>8
这八个数分别填入右图中的正方形的各
个圆圈中，使得正方形每边上的三个数的和相等
.
分析和解
假设每边上的三数之和为
S
，四边上中间圆圈内所填数分别为
a
、
b< br>、
c
、
d
，那么：
a+c= b+d=
（
1+2+
…
+8
）
-2S=36-2S
∴
2S
＝
36-
（
a+C
） ＝
36-
（
b+d
）
①若
S=15
，则
a+c=b+d
＝
6
，又
1+5=2+4=6
，试验可得下图
②若
S=14
，则
a+c=b+d=8
，又
1+7=2+6=3+5 =8
，试验可得下两图
③若
S =13
，则
a+c=b+d
＝
10
，又
2+8
＝< br>3+7
＝
4+610
，试验可得下两图
④若
S=12
，则
a+c=b+d
＝
12
，又
4+8
＝
5+7
＝
12
，试验可得下图
例
4
在一个立方体各个顶点上分别填入
1
～< br>9
这九个数中的八个数，
使得
每个面上四个顶点所填数字之和彼此相等，
并且这个和数不能被那个没有
被标上的数字整除
.
试求：没有被标上的数字是多少？并给出一种填数的方法
.
分析
为了叙述方便，
设没有被标上的数字为
a
，
S
是每个面上的四个
顶点上的数字之和
.
由于每个顶点数都属于
3< br>个面，所以得到：
6S=3
×（
1+2+3+4+5+6+7+8+9
）
-3a
6S
＝
3
×
45-3a
2S
＝
45-a
（
1
）
根据（
1
）式可看出：因为左边
2S
是偶数，所以右边
45 -a
也必须是
偶数，故
a
必须是奇数
.
又因为根据题意，< br>S
不能被
a
整除，而
2
与
a
互
质， 所以
2S
不能被
a
整除，
45
也一定不能被
a整除
.
”
在奇数数字
1
、3
、
5
、
7
、
9
中，只有
7
不能整除
45
，所以可以确定
a=7.
这就证明正方体每个面上四个顶点所填数字之和是
19
，解法如图
.
例
5
将
1
～
8
这八个数标在立方体的 八个顶点上，
使得每个面的四个顶点
所标数字之和都相等
.
分析
观察下图，知道每个顶点属于三个面，正方体有
6
个面，所以
每个面的数字之和为：
（
1+2+3+4+5+6+7+8
）×
3
÷
6=18.
这就是说明正方体每个面上四个顶点所填数字之和是
18.
下面 有
3
种
填法的提示，作为练习，请读者补充完整
.
解：
例
6
在下左图中，将
1
～
9
这九个数，填人圆圈内，使每个三角形三个顶
点的数字之和都相等
.
分析
为了便于叙述说明，
圆圈内应填的数 ，
先由字母代替
.
设每个三
角形三个顶点圆圈内的数字和为
S.
即：
A+B+C=S
、
D+E+F=S
、G+H+I=S
、
C+G+E=S
、
A +G+D=S
、
B+H+E=S
、
C+I+F=S.
将上面七个等式相加得到：
2
（
A+B+C+D+E+F+G+H+I
）
+C+G+E=7S.
即：
A+B+C+D+E+F+G+H+I=3S
又∵
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
、
G
、
H
、
I
，分别代表
1
～
9
这九个数
.
即：
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.
3S=45
S=15.
这
15
就说明每个三角形三个顶点的数字之和是
15.
在
1
～
9
九个数中，
三个数的和等于
15
的组合情况有以下
8
种即：
（
1
、
9
、
5
）；（
1
、
8
、
6
）；（
2
、< br>9
、
4
）；（
2
、
8
、
5
）；（
3
、
7
、
5
）；（
2
、
7
、
6
）；（
3
、
8
、
4
）；（< br>4
、
5
、
6
）；观察九个数字在上述
8
种情 况下出