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2021年1月21日发(作者：虞宏正)
数学知识总结

点、线、角的定理


点的定理：
过两点有且只有一条直线



点的定理：
两点之间线段最短



角的定理：
同角或等角的补角相等



角的定理：
同角或等角的余角相等



直线定理：
过一点有且只有一条直线和已知直线垂直



直线定理：
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

三角形内角定理


定理：
三角形两边的和大于第三边



推论：
三角形两边的差小于第三边



三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于
180°



推论
1
：
直角三角形的两个锐角互余



推论
2
：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和



推论
3
：
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

全等三角形判定定理


定理：
全等三角形的对应边、对应角相等



边角边定理
(SAS)
：
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等



角边角定理
(ASA)
：
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角 形全等



推论
(AAS)
：
有两角和其中一角 的对边对应相等的两个三角形全等



边边边定理
(SSS)
：
有三边对应相等的两个三角形全等



斜边、直角边定理
(HL)
：
有斜边和一条直角边对应 相等的两个直角三角形全等

等腰三角形性质定理

等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两个底角相等
(
即等边对等角）



推论
1
：
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边



等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合



推论
3
：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等 于
60°



等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有 两个角相等，
那么这两个角所对的边也相等
（等角对等边）



推论
1
：
三个角都相等的三角形是等边三角形



推论
2
有一个角等于
60°的等腰三角形是等边三角形

直角三角形定理

定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于
30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半



判定定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半



勾股定理：
直角三角形两直角边
a
、
b
的平方和、等于斜边
c
的平方，即
a^2+b^2=c^2


勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长
a
、
b
、
c
有关系
a ^2+b^2=c^2
，那么这个三角
形是直角三角形

相似三角形定理

相似三角形定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）
相交，所构成的
三角形与原三角形相似



相似三角形判定定理
1
：
两角对应相等，两三角形相似（
ASA）



直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似



判定定理
2
：
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（
SAS
）



判定定理
3
：
三边对应成比例，两三角形 相似（
SSS
）



相似直角三角形定理：
如果 一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直 角三角形相似



性质定理
1
：
相似三角形对应 高的比，
对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比



性质定理
2
：
相似三角形周长的比等于相似比



性质定理
3
：
相似三角形面积的比等于相似比的平方

角的平分线定理

定理
1
：
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等



定理
2
：
到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上



角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

矩形的定理


矩形性质定理
1
：
矩形的四个角都是直角



矩形性质定理
2
：
矩形的对角线相等



矩形判定定理
1
：
有三个角是直角的四边形是矩形

矩形判定定理
2
：
对角线相等的平行四边形是矩形

菱形定理


菱形性质定理
1
：
菱形的四条边都相等


菱形性质定理
2
：
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角



菱形面积
=
对角线乘积的一半，即
S=
（a×b）÷2



菱形判定定理
1
：
四边都相等的四边形是菱形



菱形判定定理
2
：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形

正方形定理


正方形性质定理
1
：
正方形的四个角都是直角，四条边都相等



正方形性质定理
2
：
正方形的两条对角线相等，并且互 相垂直平分，每条对角线平分一
组对角

等腰梯形性质定理


等腰梯形性质定理：



1.
等腰梯形在同一底上的两个角相等



2.
等腰梯形的两条对角线相等



等腰梯形判定定理：



1.
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形



2.
对角线相等的梯形是等腰梯形



平行线等分线段定 理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
那么在其他直线
上截得的线段也相 等



推论
1
：
经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰



推论
2
：
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

平行四边形定理


平行四边形性质定理
1
：
平行四边形的对角相等



平行四边形性质定理
2
：
平行四边形的对边相等



推论：
夹在两条平行线间的平行线段相等



平行四边形性质定理
3
：
平行四边形的对角线互相平分



平行四边形判定定理
1
：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形



平行四边形判定定理
2
：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形



平行四边形判定定理
3
：
对角线互相平分的四边形是平行四边形



平行四边形判定定理
4
：
一组对边平行相等的四边形是平行四边形

几何平行定理


平行定理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行



推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行



证明两直线平行定理：



同位角相等，两直线平行



内错角相等，两直线平行



同旁内角互补，两直线平行



两直线平行推论：


两直线平行，同位角相等



两直线平行，内错角相等



两直线平行，同旁内角互补

对称定理


定理：
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等



逆定理：
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上



线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合



定理
1
：
关于某条直线对称的两个图形是全等形



定理
2
：
如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是 对应点连线的垂直平分线



定理
3
：
两个图形 关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对
称轴上



逆定理：
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，
那么这两个图 形关于这条
直线对称

中心对称定理


定理
1
：
关于中心对称的两个图形是全等的



定理
2
：
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称 中心平分

逆定理：
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，
并且被这一点 平分，
那么这两个图
形关于这一点对称

中位线定理


三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

梯形 中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
L=
（
a+b
）÷2S=L×h

圆的定理


12
不共线的三点确定一个圆



经过一点可以作无数个圆



经过两点也可以作无数个圆，且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上



定理：
过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆



推论：
三角形的三边垂直平分线相交于一点，这个点就是三角形的外心



三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心



1.3
垂径定理



圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心



圆是周对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴



定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧



推论
1
：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧



推论
2
：
弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧



推论
3
：
平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并 且平分弦所对的另一条弧



1.4
弧、弦和弦心距



定理：
在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等



二

圆与直线的位置关系



2.1
圆与直线的位置关系



如果一条直线和一个圆没有公共点，我们就说这条直线和这个圆相离


< br>如果一条直线和一个圆只有一个公共点，
我们就说这条直线和这个圆相切，
这条直线叫< br>做圆的切线，这个公共点叫做它们的切点



定理：
经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线



定理：
圆的切线垂直经过切点的半径



推论
1
：
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点



推论
2
：
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心



如果一条直线和一个圆有两个公共点，
我们就说，
这条直线和这 个圆相交，
这条直线叫
这个圆的割线，这两个公共点叫做它们的交点



直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种



2.2
三角形的内切圆



如果一个多边形的各边所在的 直线，
都和一个圆相切，
这个多边形叫做圆的外切多边形，
这个圆叫做多边形的内切圆



定理：
三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心



三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点，这一点叫做三角形的旁心。
以旁心为 圆心可以作一个圆和一边及其他两边的延长线相切，
所作的圆叫做三角形的旁切圆



2.3
切线长定理



定理：
从圆外 一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线平分两条
切线的夹角< br>


2.4
圆的外切四边形



定理：

圆的外切四边形的两组对边的和相等



定理：
如果四边形两组对边的和相等，那么它必有内切圆



三

圆与圆的位置关系



3.1
两圆的位置关系



在平面内，不重合的两圆。它 们的位置关系，有以下五种情况：外离、外切、相交、内
切、外切



经过两个圆的圆心的直线，叫做两圆的连心线，两个圆心之间的距离叫做圆心距



定理：
两圆的连心线是两圆的对称轴，并且两圆相切时，它们切点在连心线上



（
1
）两圆外离
d>R+r


（
2
）两圆外切
d=R+r


（
3
）两圆相交
R-rr)


（
4
）两圆内切
d=R-r(R>r)


（
5
）两圆内含
dr)


特殊情况，两圆是同心圆
d=0


3.2
两圆的公切线



定理：
两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等

三角函数定理


任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值



任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

比例性质定理


(1)
比例的基本性质



如果
a
：
b=c
：
d
，那么
a d=bc
如果
ad=bc
，那么
a
：
b=c
：d


(2)
合比性质



如果
a
／
b=c
／
d
，那么(a±b)／b=(c±d)／d


(3)
等比性质



如果
a
／
b=c
／d=…=m／n(b+d+…+n≠0)，那么(a+c+…+ m)／(b+d+…+n)=a／
b
多边形内角和定理


定理：
四边形的内角和等于
360°



四边形的外角和等于
360°



多边形内角和定理：< br>n
边形的内角的和等于（
n-2
）×180°



推论：
任意多边的外角和等于
360°

圆与弧的公式



正
n
边形的每个内角都等于（
n-2
）×180°／
n


弧长计算公式：
L=n
兀
R
／
180


扇形面积公式：
S
扇形
=n
兀
R^2
／
360=LR
／
2


内公切线长
=d-(R-r)
外公切线长
=d-(R+r)


①两圆外离
d
＞R+r②两圆外切
d=R+r③两圆相交
R-r
＜
d
＜
R+r(R
＞r)④两圆内切
d=R-r(R
＞r)⑤两圆内含
d
＜
R-r(R
＞
r)


定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦


< br>定理把圆分成
n(n≥3)：
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正
n
边形⑵经
过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正
n
边形



定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆


< br>如果在一个顶点周围有
k
个正
n
边形的角，
由于这些角的和应 为
360°，
因此
k×(n
-2)
180°／n=360°化为（< br>n-2
）
(k-2)=4


弧长计算公式：
L=n
兀
R
／
180
扇形面积公 式：
S
扇形
=n
兀
R^2
／
360=LR
／
2146
内公切线长
=d-(R-r)
外公切线长
=d-(R+r)
初中数学公式：因式分解公式

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