容斥问题公式及运用
玛丽莲梦兔
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2021年01月21日 07:30
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容斥问题公式及运用
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重 叠部分不被
重复计算，研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是：先不
考虑重叠的情况 ，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，
然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算 的结果既无遗漏
又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
一、容斥原理
1
：两个集合的容斥原理
如果被计数的事物有
A
、
B
两类，那么，先把
A
、
B
两个集合的元< br>素个数相加，发现既是
A
类又是
B
类的部分重复计算了一次，所以要< br>减去。如下图所示。
【示例
1
】
< br>一次期末考试，
某班有
15
人数学得满分，
有
12
人 语文得
满分，并且有
4
人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的
同 学有多少人？
解：
数学得满分人数→
A
，语文得满分人数→
B
，数学、语文都是满分
人数→
A
∩
B
，至少有一门得满 分人数→
A
∪
B
。
A
∪
B=15+12-4=23
，共有
23
人至少有一门得满分。
1
/
5
二、容斥原理
2
：三个集合的容斥原理
< br>如果被计数的事物有
A
、
B
、
C
三类，那么，将A
、
B
、
C
三个集合
的元素个数相加后发现两两重叠的 部分重复计算了
1
次，三个集合公
共部分被重复计算了
2
次。
如下图所示，
灰色部分
A
∩
B-A
∩
B
∩
C
、
B
∩
C-A
∩
B
∩
C< br>、
C
∩
A-A
∩
B
∩
C
都被重复计 算了
1
次，
黑色部分
A
∩
B
∩
C
被重复计算了
2
次，
因此
总数
A
∪
B
∪< br>C=A+B+C-
（
A
∩
B-A
∩
B
∩C
）
-
（
B
∩
C-A
∩
B
∩
C
）
-
（
C
∩
A-A
∩
B
∩
C
）
-2A
∩
B
∩
C=A+B+C-A
∩
B-B
∩
C-C
∩
A+A
∩
B
∩C
。即得到：
【示例
2
】
< br>某班有学生
45
人，每人都参加体育训练队，其中参加足
球队的有
25
人，
参加排球队的有
22
人，
参加游泳队的有
24
人，
足球、
排球都参加的有
12
人，足球、游泳都参加的有
9
人，排球、游泳都参
加的有
8
人，问：三项都参加的有多少人？
解：
参加足球队→
A
，参加排球队→
B
，参加游泳队→
C< br>，足球、排球都
参加的→
A
∩
B
，足球、游泳都参加的→C
∩
A
，排球、游泳都参加的→
B
∩
C
，三项 都参加的→
A
∩
B
∩
C
。三项都参加的有
A
∩
B
∩
C=A
∪
B
∪
C-A-B-C+A
∩
B+B
∩
C+C
∩
A=45-25-22-24+12+9+8 =3
人。
2
/
5