初一数学奥林匹克竞赛题(含答案).
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2021年01月21日 09:16
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时光老人-
初一数学奥林匹克竞赛题(含答案)
初一奥数题一
甲多开支
100
元,三年后负债
600
元.求每人每年收入多少?
S
的末四位数字的和
是多少?
4
.
一个人以3
千米
/
小时的速度上坡,
以
6
千米
/
小时的速度下坡,
行程
12
千米
共用了
3
小时
2 0
分钟,试求上坡与下坡的路程.
5
.求和:
6
.证明:质数
p
除以
30
所得的余数一定不是 合数.
8
.若两个整数
x
,y
使
x
2
+xy+y
2
能被
9
整除, 证明:
x
和
y
能被
3
整除.
9
.如图
1
-
95
所示.在四边形
ABCD
中,对角线
AC
,
BD
的中点为
M
,
N
,
MN的延
长线与
AB
边交于
P
点.求证:△
PCD
的面积等于四边形
ABCD
的面积的一半.
解答:
所以
x=5000(
元
)
.
所以
S
的末四位数字的和为< br>1
+
9
+
9
+
5=24
.
3
.因为
a-b
≥
0
,即
a
≥
b
.即当
b
≥
a
>
0
或
b
≤
a
<
0
时,等式成立.
4
.设上坡路程为
x
千米,下 坡路程为
y
千米.依题意则
有
由②有
2x+y=20
,
③
由①有
y=12-x
.将之代入③得
2x+12-x=20
.
所以
x=8(
千米
)
,于是
y=4(
千米
)
.
5
.第
n
项为
所以
6
.设
p=30q
+
r
,
0
≤
r
<
30
.因为
p
为质数,故
r
≠
0
,即
0
<
r
<
30
.假设
r
为合数,由 于
r
<
30
,所以
r
的最小质约数只可能为
2,
3
,
5
.再由
p=30q
+
r
知, 当
r
的最小质约数为
2
,
3
,
5
时,p
不是质数,矛盾.所以,
r
一定不是合
数.
7
.设
由①式得
(2p-1)(2q-1)=mpq
,即
(4-m)pq+1=2(p+q)
.
可知
m
<
4
.由①,
m
>
0
,且为整数,所以
m=1
,
2
,
3
.下面分别研究
p
,
q< br>.
(1)
若
m=1
时,有
解得
p=1
,
q=1
,与已知不符,舍去.
(2)
若
m=2
时,有
因为
2p-1=2q
或
2q-1=2p
都是不可能的,故
m =2
时无解.
(3)
若
m=3
时,有
解之得
故
p
+
q=8
.
8
.因为
x
2
+xy+y
2
=(x-y)
2
+3xy
.由题设,
9
|
(x
2< br>+xy
+
y
2
)
,所以
3
|
(x< br>2
+
xy
+
y
2
)
,从而
3
|
(x-y)
2
.因为
3
是质数,故
3
|
(x-y)
.进而
9
|
(x-y)
2
.由上式
又 可知,
9
|
3xy
,
故
3
|
xy
.
所以
3
|
x
或
3
|
y
.
若
3
|
x
,
结合
3(x-y)
,
便得< br>3
|
y
;若
3
|
y
,同理可得,
3
|
x
.
9
.连结
AN,
CN
,如图
1
-
103
所示.因为
N
是
BD
的中点,所以
上述两式相加
另一方面,
S< br>△
PCD
=S
△
CND
+
S
△
CN P
+
S
△
DNP
.
因此只需证明
S
△
AND
=
S
△
CNP
+
S
△
DNP
.
由于
M
,
N
分别为
AC
,
BD
的中点,所 以
S
△
CNP
=S
△
CPM
-S
△
CMN
=S
△
APM
-S
△
AMN
=S
△
ANP
.
又
S△
DNP
=S
△
BNP
,所以
S
△
CNP
+
S
△
DNP
=S
△
ANP
+S
△
BNP
=S
△
ANB
=S
△
AN D
.
初一奥数题二
1
.已知
3x< br>2
-x=1
,求
6x
3
+7x
2
-5x+
2000
的值.
2
.某商店出售的一种商品,每天卖出100
件,每件可获利
4
元,现在他们采用
提高售价、减少进货量的办法 增加利润,根据经验,这种商品每涨价
1
元,每天
就少卖出
10
件. 试问将每件商品提价多少元,才能获得最大利润?最大利润是
多少元?
3
.
如图
1
-
96
所示.
已知
CB
⊥
AB
,
CE
平分∠
BCD
,
DE
平分∠
C DA
,
∠
1
+∠
2=90
°.
求
证:DA
⊥
AB
.
4
.已知方程组
的解应为
一个学生解题时把
c
抄错了,因此得到的解为
求
a
2
+
b
2
+
c
2
的值.
5< br>.求方程|
xy
|
-
|
2x
|
+
|
y
|
=4
的整数解.
6
.
王平买了年利 率
7.11
%的三年期和年利率为
7.86
%的五年期国库券共
35 000
元,
若三年期国库券到期后,
把本息再连续存两个一年期的定期储蓄,
五年后与
五年期国库券的本息总和为
47761
元,
问王平买三年期与五年期 国库券各多少?
(
一年期定期储蓄年利率为
5.22
%
)
7
.对
k
,
m
的哪些值,方程组
至少有一组解?
8
.求不定方程
3x
+
4y
+
13z=57
的整数解.
9
.小王用
5
元钱买
40
个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每
个的价格 分别为
20
分、
8
分、
3
分.小王希望他和五位朋友都能分 到苹果,并且
各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?
解答:
1
.原式
=2x(3x
2
-x)+3(3 x
2
-x)-2x+2000 =2x
×
1
+
3
×
1-2x+2000=2003
.
2
.原来每天可获利
4
×
100
元,若每件提价
x
元,则每件商品获利
(4
+
x)
元,但
每天卖出为
(100-10x)
件.如果设每天获利 为
y
元,则
y
=
(4
+
x)(100 -10x)=400
+
100x-40x-10x
2
=-10(x
2
-6x
+
9)
+
90
+
400=-10(x-3)
2
+
490
.
所以当
x=3
时,
y
最大
=490
元,即每件提价
3
元,每天获利最大,为
490
元.
3
.因为
CE
平分∠
BCD
,
DE
平分∠
ADC
及∠
1
+∠
2=90
°
(
图
1
-
104)
,所以
∠
ADC
+∠
BCD=180
°,
所以
AD
∥
BC
.①
又因为
AB
⊥
BC
,②
由①,②
AB
⊥
AD
.
4
.依题意有
所以
a
2
+b
2
+c
2
=34
.
< br>5
.|
x
||
y
|
-2
|
x
|
+
|
y
|
=4
,即
|
x< br>|
(
|
y
|
-2)+(
|
y
|-2)=2
,
所以
(
|
x|
+1)(
|
y
|
-2)=2
.
因为|
x
|+
1
>
0
,且
x< br>,
y
都是整数,所以
所以有
6
.设王平 买三年期和五年期国库券分别为
x
元和
y
元,则
因为
y=35000-x
,
所以
x(1
+
0.0711
×
3)(1+
0.0522)
2
+(35000-x)(1+0.0786
×
5)=47761
,
所以
1.3433x
+
48755-1.393x=47761
,
所以
0.0497x=994
,
所以
x=20000(
元
)
,
y=35000-200 00=15000(
元
)
.
7
.因为
(k
-
1)x
=
m-4
,
①
m
为一切实数时,方程组有唯一解.当
k=1
,
m=4
时,①的解为一切实数,所
以方程组有无穷多组解.
当
k=1
,
m
≠
4
时,①无解.
所以,
k
≠
1
,
m
为任何实 数,或
k=1
,
m=4
时,方程组至少有一组解.
8
.由题设方程得
z
=
3m-y
.
x=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-13m
.
原方程的通解为
其中
n
,
m
取任意整数值.
9
.设苹果、梨子、杏子分别买了
x
,
y
,z
个,则
消去
y
,得
12x-5z=180
.它的解是
x=90-5t
,
z=180-12t< br>.
代入原方程,得
y=-230
+
1 7t
.故
x=90-5t
,
y=-230+17t
,
z=1 80-12t
.
x=20
,
y=8
,
z=12
.
因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有
1
+
2
+
3+4
+
5
+
6=21
>
20
个.
初一奥数题三
1
.解关于
x
的方程
2
.解方程
其中
a
+
b
+
c
≠
0
.
3
.求
(8x
3
-6x
2
+4x-7)
3
(2x
5
-3)
2
的展开式中各项系数之和.
4
.液态农药一桶,倒出
8
升后用水灌满,再倒出混合溶液
4
升,再用 水灌满,
这时农药的浓度为
72
%,求桶的容量.
5
.< br>满足
[-1.77x]=-2x
的自然数
x
共有几个?这里
[ x]
表示不超过
x
的最大整数,
例如
[-5.6]=-6
,
[3]=3
.
6
.设
P
是△
ABC内一点.求:
P
到△
ABC
三顶点的距离和与三角形周长之比的取
值范围.
7
.甲乙两人同时从东西两站相向步行,相会时,甲比乙多行
2 4
千米,甲经过
9
小时到东站,乙经过
16
小时到西站,求两站距离 .
8
.黑板上写着三个数,任意擦去其中一个,将它改写成其他两数的和减
1
,这
样继续下去,最后得到
19
,
1997
,
1 999
,问原来的三个数能否是
2
,
2
,
2
?
9
.设有
n
个实数
x
1
,
x
2
,…,
x
n
,其中每一个不是
+1
就是
-1< br>,且
求证:
n
是
4
的倍数.
解答:
1
.化简得
6(a-1)x=3-6b+4ab
, 当
a
≠
1
时,
2
.将原方程变形为