初一数学奥林匹克竞赛题(含答案).

别妄想泡我
707次浏览
2021年01月21日 09:16
最佳经验
本文由作者推荐

时光老人-

2021年1月21日发(作者:鲍奇辰)

初一数学奥林匹克竞赛题(含答案)


初一奥数题一

甲多开支
100
元,三年后负债
600
元.求每人每年收入多少


S
的末四位数字的和
是多少?








4

一个人以3
千米
/
小时的速度上坡,

6
千米
/
小时的速度下坡,
行程
12
千米
共用了
3
小时
2 0
分钟,试求上坡与下坡的路程.


5
.求和:


6
.证明:质数
p
除以
30
所得的余数一定不是 合数.




8
.若两个整数
x
y
使
x
2
+xy+y
2
能被
9
整除, 证明:
x

y
能被
3
整除.

9
.如图
1

95
所示.在四边形
ABCD
中,对角线
AC

BD
的中点为
M

N

MN的延
长线与
AB
边交于
P
点.求证:△
PCD
的面积等于四边形
ABCD
的面积的一半.

解答:










所以




x=5000(

)








所以
S
的末四位数字的和为< br>1

9

9

5=24





3
.因为






a-b

0
,即
a

b
.即当
b


a

0

b

a

0
时,等式成立.

4
.设上坡路程为
x
千米,下 坡路程为
y
千米.依题意则








由②有
2x+y=20















由①有
y=12-x
.将之代入③得
2x+12-x=20




所以




x=8(
千米
)
,于是
y=4(
千米
)



5
.第
n
项为




所以



























6
.设
p=30q

r

0

r

30
.因为
p
为质数,故
r

0
,即
0

r

30
.假设
r
为合数,由 于
r

30
,所以
r
的最小质约数只可能为
2
3

5
.再由
p=30q

r
知, 当
r
的最小质约数为
2

3

5
时,p
不是质数,矛盾.所以,
r
一定不是合
数.



7
.设




由①式得
(2p-1)(2q-1)=mpq
,即

(4-m)pq+1=2(p+q)




可知
m

4
.由①,
m

0
,且为整数,所以
m=1

2

3
.下面分别研究
p

q< br>.



(1)

m=1
时,有




解得
p=1

q=1
,与已知不符,舍去.



(2)

m=2
时,有




因为
2p-1=2q

2q-1=2p
都是不可能的,故
m =2
时无解.



(3)

m=3
时,有




解之得






















p

q=8




8
.因为
x
2
+xy+y
2
=(x-y)
2
+3xy
.由题设,
9

(x
2< br>+xy

y
2
)
,所以
3

(x< br>2

xy

y
2
)
,从而
3

(x-y)
2
.因为
3
是质数,故
3

(x-y)
.进而
9

(x-y)
2
.由上式
又 可知,
9

3xy


3

xy

所以
3

x

3

y


3

x

结合
3(x-y)

便得< br>3

y
;若
3

y
,同理可得,
3

x




9
.连结
AN
CN
,如图
1

103
所示.因为
N

BD
的中点,所以






上述两式相加




另一方面,

S< br>△
PCD
=S

CND

S

CN P

S

DNP




因此只需证明

S

AND

S

CNP

S

DNP




由于
M

N
分别为
AC

BD
的中点,所 以

S

CNP
=S

CPM
-S

CMN



=S

APM
-S

AMN


=S

ANP





S
DNP
=S

BNP
,所以

S

CNP

S

DNP
=S

ANP
+S

BNP
=S

ANB
=S

AN D



初一奥数题二

1
.已知
3x< br>2
-x=1
,求
6x
3
+7x
2
-5x
2000
的值.

2
.某商店出售的一种商品,每天卖出100
件,每件可获利
4
元,现在他们采用
提高售价、减少进货量的办法 增加利润,根据经验,这种商品每涨价
1
元,每天
就少卖出
10
件. 试问将每件商品提价多少元,才能获得最大利润?最大利润是
多少元?

3

如图
1

96
所示.
已知
CB

AB

CE
平分∠
BCD

DE
平分∠
C DA


1
+∠
2=90
°.

证:DA

AB



4
.已知方程组



的解应为


一个学生解题时把
c
抄错了,因此得到的解为


a
2

b
2

c
2
的值.

5< br>.求方程|
xy

-

2x

+

y

=4
的整数解.

6

王平买了年利 率
7.11
%的三年期和年利率为
7.86
%的五年期国库券共
35 000
元,
若三年期国库券到期后,
把本息再连续存两个一年期的定期储蓄,
五年后与
五年期国库券的本息总和为
47761
元,
问王平买三年期与五年期 国库券各多少?
(
一年期定期储蓄年利率为
5.22

)

7
.对
k

m
的哪些值,方程组

至少有一组解?


8
.求不定方程
3x

4y

13z=57
的整数解.

9
.小王用
5
元钱买
40
个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每
个的价格 分别为
20
分、
8
分、
3
分.小王希望他和五位朋友都能分 到苹果,并且
各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?

解答:

1
.原式
=2x(3x
2
-x)+3(3 x
2
-x)-2x+2000 =2x
×
1

3
×
1-2x+2000=2003


2
.原来每天可获利
4
×
100
元,若每件提价
x
元,则每件商品获利
(4

x)
元,但
每天卖出为
(100-10x)
件.如果设每天获利 为
y
元,则

y

(4

x)(100 -10x)=400

100x-40x-10x
2
=-10(x
2
-6x

9)

90

400=-10(x-3)
2

490


所以当
x=3
时,
y
最大
=490
元,即每件提价
3
元,每天获利最大,为
490
元.

3
.因为
CE
平分∠
BCD

DE
平分∠
ADC
及∠
1
+∠
2=90
°
(

1

104)
,所以


ADC
+∠
BCD=180
°,



所以


AD

BC
.①


又因为

AB

BC
,②



由①,②
AB

AD




4
.依题意有









所以

a
2
+b
2
+c
2
=34

< br>5
.|
x
||
y

-2

x

+

y

=4
,即


x< br>|
(

y

-2)+(

y
-2)=2




所以
(

x
+1)(

y

-2)=2




因为|
x
|+
1

0
,且
x< br>,
y
都是整数,所以





所以有






6
.设王平 买三年期和五年期国库券分别为
x
元和
y
元,则




因为

y=35000-x




所以
x(1

0.0711
×
3)(1
0.0522)
2
+(35000-x)(1+0.0786
×
5)=47761




所以
1.3433x

48755-1.393x=47761




所以
0.0497x=994




所以
x=20000(

)

y=35000-200 00=15000(

)


7
.因为
(k

1)x

m-4







m
为一切实数时,方程组有唯一解.当
k=1

m=4
时,①的解为一切实数,所
以方程组有无穷多组解.


k=1

m

4
时,①无解.



所以,
k

1

m
为任何实 数,或
k=1

m=4
时,方程组至少有一组解.


8
.由题设方程得


z

3m-y





x=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-13m



原方程的通解为


其中
n

m
取任意整数值.




9
.设苹果、梨子、杏子分别买了
x

y
z
个,则




消去
y
,得
12x-5z=180
.它的解是
x=90-5t

z=180-12t< br>.



代入原方程,得
y=-230

1 7t
.故
x=90-5t

y=-230+17t

z=1 80-12t





x=20

y=8

z=12





因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有
1

2

3+4

5

6=21

20
个.

初一奥数题三


1
.解关于
x
的方程


2
.解方程


其中
a

b

c

0


3
.求
(8x
3
-6x
2
+4x-7)
3
(2x
5
-3)
2
的展开式中各项系数之和.

4
.液态农药一桶,倒出
8
升后用水灌满,再倒出混合溶液
4
升,再用 水灌满,
这时农药的浓度为
72
%,求桶的容量.

5
.< br>满足
[-1.77x]=-2x
的自然数
x
共有几个?这里
[ x]
表示不超过
x
的最大整数,
例如
[-5.6]=-6

[3]=3


6
.设
P
是△
ABC内一点.求:
P
到△
ABC
三顶点的距离和与三角形周长之比的取
值范围.

7
.甲乙两人同时从东西两站相向步行,相会时,甲比乙多行
2 4
千米,甲经过
9
小时到东站,乙经过
16
小时到西站,求两站距离 .

8
.黑板上写着三个数,任意擦去其中一个,将它改写成其他两数的和减
1
,这
样继续下去,最后得到
19

1997

1 999
,问原来的三个数能否是
2

2

2

9
.设有
n
个实数
x
1

x
2
,…,
x
n
,其中每一个不是
+1
就是
-1< br>,且


求证:
n

4
的倍数.

解答:

1
.化简得
6(a-1)x=3-6b+4ab
, 当
a

1
时,







2
.将原方程变形为



时光老人-


时光老人-


时光老人-


时光老人-


时光老人-


时光老人-


时光老人-


时光老人-