初一数学奥林匹克竞赛题(含答案).
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2021年01月21日 09:16
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时光老人-
初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）
初一奥数题一
甲多开支
100
元，三年后负债
600
元．求每人每年收入多少？
S
的末四位数字的和
是多少？
4
．
一个人以3
千米
/
小时的速度上坡，
以
6
千米
/
小时的速度下坡，
行程
12
千米
共用了
3
小时
2 0
分钟，试求上坡与下坡的路程．
5
．求和：
6
．证明：质数
p
除以
30
所得的余数一定不是 合数．
8
．若两个整数
x
，y
使
x
2
+xy+y
2
能被
9
整除， 证明：
x
和
y
能被
3
整除．
9
．如图
1
－
95
所示．在四边形
ABCD
中，对角线
AC
，
BD
的中点为
M
，
N
，
MN的延
长线与
AB
边交于
P
点．求证：△
PCD
的面积等于四边形
ABCD
的面积的一半．
解答：
所以
x=5000(
元
)
．
所以
S
的末四位数字的和为< br>1
＋
9
＋
9
＋
5=24
．
3
．因为
a-b
≥
0
，即
a
≥
b
．即当
b
≥
a
＞
0
或
b
≤
a
＜
0
时，等式成立．
4
．设上坡路程为
x
千米，下 坡路程为
y
千米．依题意则
有
由②有
2x+y=20
，
③
由①有
y=12-x
．将之代入③得
2x+12-x=20
．
所以
x=8(
千米
)
，于是
y=4(
千米
)
．
5
．第
n
项为
所以
6
．设
p=30q
＋
r
，
0
≤
r
＜
30
．因为
p
为质数，故
r
≠
0
，即
0
＜
r
＜
30
．假设
r
为合数，由 于
r
＜
30
，所以
r
的最小质约数只可能为
2，
3
，
5
．再由
p=30q
＋
r
知， 当
r
的最小质约数为
2
，
3
，
5
时，p
不是质数，矛盾．所以，
r
一定不是合
数．
7
．设
由①式得
(2p-1)(2q-1)=mpq
，即
(4-m)pq+1=2(p+q)
．
可知
m
＜
4
．由①，
m
＞
0
，且为整数，所以
m=1
，
2
，
3
．下面分别研究
p
，
q< br>．
(1)
若
m=1
时，有
解得
p=1
，
q=1
，与已知不符，舍去．
(2)
若
m=2
时，有
因为
2p-1=2q
或
2q-1=2p
都是不可能的，故
m =2
时无解．
(3)
若
m=3
时，有
解之得
故
p
＋
q=8
．
8
．因为
x
2
+xy+y
2
=(x-y)
2
+3xy
．由题设，
9
｜
(x
2< br>+xy
＋
y
2
)
，所以
3
｜
(x< br>2
＋
xy
＋
y
2
)
，从而
3
｜
(x-y)
2
．因为
3
是质数，故
3
｜
(x-y)
．进而
9
｜
(x-y)
2
．由上式
又 可知，
9
｜
3xy
，
故
3
｜
xy
．
所以
3
｜
x
或
3
｜
y
．
若
3
｜
x
，
结合
3(x-y)
，
便得< br>3
｜
y
；若
3
｜
y
，同理可得，
3
｜
x
．
9
．连结
AN，
CN
，如图
1
－
103
所示．因为
N
是
BD
的中点，所以
上述两式相加
另一方面，
S< br>△
PCD
=S
△
CND
＋
S
△
CN P
＋
S
△
DNP
．
因此只需证明
S
△
AND
＝
S
△
CNP
＋
S
△
DNP
．
由于
M
，
N
分别为
AC
，
BD
的中点，所 以
S
△
CNP
=S
△
CPM
-S
△
CMN
=S
△
APM
-S
△
AMN
=S
△
ANP
．
又
S△
DNP
=S
△
BNP
，所以
S
△
CNP
＋
S
△
DNP
=S
△
ANP
+S
△
BNP
=S
△
ANB
=S
△
AN D
．
初一奥数题二
1
．已知
3x< br>2
-x=1
，求
6x
3
+7x
2
-5x＋
2000
的值．
2
．某商店出售的一种商品，每天卖出100
件，每件可获利
4
元，现在他们采用
提高售价、减少进货量的办法 增加利润，根据经验，这种商品每涨价
1
元，每天
就少卖出
10
件． 试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是
多少元？
3
．
如图
1
－
96
所示．
已知
CB
⊥
AB
，
CE
平分∠
BCD
，
DE
平分∠
C DA
，
∠
1
＋∠
2=90
°．
求
证：DA
⊥
AB
．
4
．已知方程组
的解应为
一个学生解题时把
c
抄错了，因此得到的解为
求
a
2
＋
b
2
＋
c
2
的值．
5< br>．求方程｜
xy
｜
-
｜
2x
｜
+
｜
y
｜
=4
的整数解．
6
．
王平买了年利 率
7.11
％的三年期和年利率为
7.86
％的五年期国库券共
35 000
元，
若三年期国库券到期后，
把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，
五年后与
五年期国库券的本息总和为
47761
元，
问王平买三年期与五年期 国库券各多少？
(
一年期定期储蓄年利率为
5.22
％
)
7
．对
k
，
m
的哪些值，方程组
至少有一组解？
8
．求不定方程
3x
＋
4y
＋
13z=57
的整数解．
9
．小王用
5
元钱买
40
个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每
个的价格 分别为
20
分、
8
分、
3
分．小王希望他和五位朋友都能分 到苹果，并且
各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？
解答：
1
．原式
=2x(3x
2
-x)+3(3 x
2
-x)-2x+2000 =2x
×
1
＋
3
×
1-2x+2000=2003
．
2
．原来每天可获利
4
×
100
元，若每件提价
x
元，则每件商品获利
(4
＋
x)
元，但
每天卖出为
(100-10x)
件．如果设每天获利 为
y
元，则
y
＝
(4
＋
x)(100 -10x)=400
＋
100x-40x-10x
2
=-10(x
2
-6x
＋
9)
＋
90
＋
400=-10(x-3)
2
＋
490
．
所以当
x=3
时，
y
最大
=490
元，即每件提价
3
元，每天获利最大，为
490
元．
3
．因为
CE
平分∠
BCD
，
DE
平分∠
ADC
及∠
1
＋∠
2=90
°
(
图
1
－
104)
，所以
∠
ADC
＋∠
BCD=180
°，
所以
AD
∥
BC
．①
又因为
AB
⊥
BC
，②
由①，②
AB
⊥
AD
．
4
．依题意有
所以
a
2
+b
2
+c
2
=34
．
< br>5
．｜
x
｜｜
y
｜
-2
｜
x
｜
+
｜
y
｜
=4
，即
｜
x< br>｜
(
｜
y
｜
-2)+(
｜
y
｜-2)=2
，
所以
(
｜
x｜
+1)(
｜
y
｜
-2)=2
．
因为｜
x
｜＋
1
＞
0
，且
x< br>，
y
都是整数，所以
所以有
6
．设王平 买三年期和五年期国库券分别为
x
元和
y
元，则
因为
y=35000-x
，
所以
x(1
＋
0.0711
×
3)(1＋
0.0522)
2
+(35000-x)(1+0.0786
×
5)=47761
，
所以
1.3433x
＋
48755-1.393x=47761
，
所以
0.0497x=994
，
所以
x=20000(
元
)
，
y=35000-200 00=15000(
元
)
．
7
．因为
(k
－
1)x
＝
m-4
，
①
m
为一切实数时，方程组有唯一解．当
k=1
，
m=4
时，①的解为一切实数，所
以方程组有无穷多组解．
当
k=1
，
m
≠
4
时，①无解．
所以，
k
≠
1
，
m
为任何实 数，或
k=1
，
m=4
时，方程组至少有一组解．
8
．由题设方程得
z
＝
3m-y
．
x=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-13m
．
原方程的通解为
其中
n
，
m
取任意整数值．
9
．设苹果、梨子、杏子分别买了
x
，
y
，z
个，则
消去
y
，得
12x-5z=180
．它的解是
x=90-5t
，
z=180-12t< br>．
代入原方程，得
y=-230
＋
1 7t
．故
x=90-5t
，
y=-230+17t
，
z=1 80-12t
．
x=20
，
y=8
，
z=12
．
因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有
1
＋
2
＋
3+4
＋
5
＋
6=21
＞
20
个．
初一奥数题三
1
．解关于
x
的方程
2
．解方程
其中
a
＋
b
＋
c
≠
0
．
3
．求
(8x
3
-6x
2
+4x-7)
3
(2x
5
-3)
2
的展开式中各项系数之和．
4
．液态农药一桶，倒出
8
升后用水灌满，再倒出混合溶液
4
升，再用 水灌满，
这时农药的浓度为
72
％，求桶的容量．
5
．< br>满足
[-1.77x]=-2x
的自然数
x
共有几个？这里
[ x]
表示不超过
x
的最大整数，
例如
[-5.6]=-6
，
[3]=3
．
6
．设
P
是△
ABC内一点．求：
P
到△
ABC
三顶点的距离和与三角形周长之比的取
值范围．
7
．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行
2 4
千米，甲经过
9
小时到东站，乙经过
16
小时到西站，求两站距离 ．
8
．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减
1
，这
样继续下去，最后得到
19
，
1997
，
1 999
，问原来的三个数能否是
2
，
2
，
2
？
9
．设有
n
个实数
x
1
，
x
2
，…，
x
n
，其中每一个不是
+1
就是
-1< br>，且
求证：
n
是
4
的倍数．
解答：
1
．化简得
6(a-1)x=3-6b+4ab
， 当
a
≠
1
时，
2
．将原方程变形为