徐州龟山汉墓-

2021年1月21日发(作者：武德)

初一奥数题一

甲多开支
100
元，三年后负债
600
元．求每人每年收入多少
？



S
的末四位数字的和是多少？










4
．一个人以
3
千米
/
小时的速度上坡，以
6
千米
/
小时的速度下坡，行程
12< br>千米共用了
3
小时
20
分钟，试求上坡与下坡的路程．



5
．求和：



6
．证明 ：质数
p
除以
30
所得的余数一定不是合数．






8
．若两个整数
x
，
y
使
x
+xy+y
能被
9
整除，证明：
x
和
y
能被
3
整除．



9
．如图
1
－
95
所示．在四边形
ABCD
中，对角线
AC
，
BD
的中点为
M
，
N
，
MN
的延长线与< br>AB
边交于
P
点．求证：△
PCD
的面积等于四边形
ABCD
的面积的一半．



2
2

初一奥数题二

1
．已知
3x
-x=1
，求
6x
+7x
-5x
＋
2000
的值．



2
．某商店出售的一种商品，每天卖出
100
件，每件可获利4
元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种
商品每涨价< br>1
元，每天就少卖出
10
件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？ 最大利润是多少元？



3
．如图
1
－
96
所示．已知
CB
⊥
AB
，
CE
平分∠
BCD
，
DE
平分∠
CDA
，∠
1
＋∠
2 =90
°．求证：
DA
⊥
AB
．





4
．已知方程组

的解应为

一个学生解题时把
c
抄错了，因此得到的解为

求
a
＋
b
＋
c
的值．



5
．求方程｜
xy
｜
-
｜
2x
｜
+
｜
y
｜
=4
的整数解．



6
．王平买了年利率
7.11
％的三年期和年利率为
7.86
％的五年期国库券共
35000
元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，
五年后与五年期国库券的本息总和为
47761
元，
问王平 买三年期与五年期国库券各多少？
(
一年期定期储蓄年利率为
5.22
％)

7
．对
k
，
m
的哪些值，方程组

至少有一组解？


8
．求不定方程
3x
＋
4y
＋
13z=57
的整数解．



9
．小王用
5
元钱买
40
个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种 ，每个的价格分别为
20
分、
8
分、
3
分．小王希望他和五 位朋
友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？

2
2
2
2
3
2

（
1
）
answer



所以




x=5000(
元
)
．






3
．因为



所以
S
的末 四位数字的和为
1
＋
9
＋
9
＋
5=24
．




a-b
≥
0
，即
a
≥
b
．即当
b
≥
a
＞
0
或
b
≤
a
＜
0
时。

4
．设上坡路程为
x
千米，下坡路程为
y
千 米．依题意则





有

由②有
2x+y=20
③

由①有
y=12-x
．将之代入③得
2x+12-x=20
．所以

x=8(
千米
)
，于是y=4(
千米
)
．


5
．第
n
项为




所以



















6
．设
p=30q
＋
r
，
0
≤
r
＜
30
．因为
p
为质数，故
r
≠
0
，即
0
＜
r
＜
30
．假设
r
为合数，由 于
r
＜
30
，所以
r
的最小
质约数只可能为
2
，
3
，
5
．再由
p=30q
＋
r知，当
r
的最小质约数为
2
，
3
，
5
时，
p
不是质数，矛盾．所以，
r
一定不是
合数．



7
．设
由①式得
(2p-1)(2q-1)=mpq< br>，即
(4-m)pq+1=2(p+q)
．



可 知
m
＜
4
．由①，
m
＞
0
，且为整数，所 以
m=1
，
2
，
3
．下面分别研究
p
，< br>q
．



(1)
若
m=1
时，有
解得
p=1
，
q=1
，与已知不符，舍去．



(2)
若
m=2
时，有
因为
2p-1=2q或
2q-1=2p
都是不可能的，故
m=2
时无解．



(3)
若
m=3
时，有
2
2
2
2
解之得
2
2
2
故

p
＋
q=8
．

2


8
．因为
x
+xy+y
=(x-y)
+3xy
．由题设，
9
｜
(x
+xy
＋
y
)
，所以
3
｜
(x
＋
xy
＋
y
)
，从而
3
｜< br>(x-y)
．因为
3
是质数，
故
3
｜
(x- y)
．
进而
9
｜
(x-y)
．
由上式又可知，9
｜
3xy
，
故
3
｜
xy
．
所以
3
｜
x
或
3
｜
y
．
若
3
｜
x
，
结合
3(x-y)
，
便得
3< br>｜
y
；若
3
｜
y
，同理可得，
3
｜
x
．



9
．连结
AN
，CN
，如图
1
－
103
所示．因为
N
是
BD
的中点，所以

2





上述两式相加





另一方面，
< br>S
△
PCD
=S
△
CND
＋
S
△< br>CNP
＋
S
△
DNP
．



因此只需证明

S
△
AND
＝
S
△
CNP
＋
S
△
DNP
．



由于
M
，
N
分别为
AC
，
BD
的中点，所 以

S
△
CNP
=S
△
CPM
-S
△
CMN



=S
△
APM
-S
△
AMN


=S
△
ANP
．



又
S△
DNP
=S
△
BNP
，所以

S
△
CNP
＋
S
△
DNP
=S
△
ANP
+S
△
BNP
=S
△
ANB
=S
△
AN D
．

（
2
）
answer
1
．原式
=2x(3x
-x)+3(3x
-x)-2x+2000 =2x
×
1
＋
3
×
1-2x+2000=2003
．

2
．原来每天可获利
4
×
100
元，若每件提 价
x
元，则每件商品获利
(4
＋
x)
元，但每天卖出为(100-10x)
件．如果设每天
获利为
y
元，则

y
＝
(4
＋
x)(100-10x)=400
＋
100x-40x-10x
=-10(x
-6x
＋
9)
＋
9 0
＋
400=-10(x-3)
＋
490
．

所以 当
x=3
时，
y
最大
=490
元，即每件提价
3< br>元，每天获利最大，为
490
元．

3
．因为
CE< br>平分∠
BCD
，
DE
平分∠
ADC
及∠
1< br>＋∠
2=90
°
(
图
1
－
104)
，所以

∠
ADC
＋∠
BCD=180
°，



所以


AD
∥
BC
．①


又因为

AB
⊥
BC
，②



由①，②
AB
⊥
AD
．



4
．依题意有



所以

a
+b
+c
=34
．

5
．｜
x
｜｜
y
｜
-2
｜
x
｜
+
｜
y
｜
=4
，即

｜
x
｜
(
｜< br>y
｜
-2)+(
｜
y
｜
-2)=2
，



所以
(
｜
x
｜
+1)(
｜
y
｜
-2)=2
．



因为｜
x
｜＋
1
＞
0
，且
x
，
y
都是 整数，所以

2
2
2
2
2
2
2
2





所以有






6
．设王平买三年期和五年期国库券分别为
x
元和
y元，则




因为

y=35000-x
，



所以
x(1＋
0.0711
×
3)(1
＋
0.0522)
+(35 000-x)(1+0.0786
×
5)=47761
，



所以
1.3433x
＋
48755-1.393x=47761
，



所以
0.0497x=994
，



所以
x=20000(
元
)
，
y=35000-200 00=15000(
元
)
．

7
．因为
(k
－
1)x
＝
m-4
，

①

2



m
为一切实数时，方程组有唯一解．当
k =1
，
m=4
时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解．

当
k=1
，
m
≠
4
时，①无解．



所以，
k
≠
1
，
m
为任何实 数，或
k=1
，
m=4
时，方程组至少有一组解．

8
．由题设方程得


z
＝
3m-y
．
x=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-13m
．原方程的通解为


其中
n
，
m
取任意整数值．


9
．设苹果、梨子、杏子分别买了
x
，
y
，
z
个，则



消去
y
，得
12x-5z=180
．它的 解是
x=90-5t
，
z=180-12t
．



代入原方程，得
y=-230
＋
17t
．故
x=90-5t
，
y=-230+17t
，
z=180-12t
．




x=20
，
y=8
，
z=12
．

因此， 小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有
1
＋
2
＋
3+ 4
＋
5
＋
6=21
＞
20
个．


初一奥数题三


1
．解关于
x
的方程


2
．解方程


其中
a
＋
b
＋
c
≠
0
．

3
．求
(8x
3
-6x
2
+4x-7)
3
(2x
5
-3)
2
的展开式中各项系数之和．

4
．液态农药一桶，倒出
8
升后用水灌满，再倒出混合溶液
4
升，再用 水灌满，这时农药的浓度为
72
％，
求桶的容量．

5
．< br>满足
[-1.77x]=-2x
的自然数
x
共有几个？这里
[ x]
表示不超过
x
的最大整数，
例如
[-5.6]=-6
，
[3]=3
．

6
．设
P
是△
ABC内一点．求：
P
到△
ABC
三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围 ．

7
．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行
24
千米，甲经过
9
小时到东站，乙经过
16
小时到西站，求两站距离．

8
．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减
1
，这样继续下去，最后得到
19
，
1997
，
1999
， 问原来的三个数能否是
2
，
2
，
2
？

9
．设有
n
个实数
x
1
，
x
2
，… ，
x
n
，其中每一个不是
+1
就是
-1
，且


求证：
n
是
4
的倍数．

解答：

1
．化简得
6(a-1)x=3-6b+4ab
， 当
a
≠
1
时，







2
．将原方程变形为




由此可解得
x=a
＋
b+c
．

3
．当< br>x=1
时，
(8-6+4-7)
3
(2-1)
2
=1
．即所求展开式中各项系数之和为
1
．








依题意得





去分母、化简得
7x
2
-300x+800=0
，即7x-20)(x-40)=0
，









5
．若
n
为整数，有
[n
＋
x]=n
＋
[x]
，所以
[-1.77x]=[-2x
＋
0.23x]=-2x+[0.23x]
．



由已知< br>[-1.77x]=-2x
，所以
-2x=-2x+[0.23x]
，


所以
[0.23x]=0
．



又 因为
x
为自然数，所以
0
≤
0.23x
＜
1
，经试验，可知
x
可取
1
，
2
，
3
，< br>4
，共
4
个．



6
．如图1
－
105
所示．在△
PBC
中有
BC
＜PB
＋
PC
，

①



延 长
BP
交
AC
于
D
．易证
PB
＋
PC
＜
AB
＋
AC
．

②



由①，②
BC
＜
PB
＋
PC
＜
AB+AC
，

③



同理
AC＜
PA
＋
PC
＜
AC
＋
BC
，

④

AB
＜
PA
＋
PB
＜< br>AC
＋
AB
．

⑤



③＋④＋⑤得
AB
＋
BC
＋
CA
＜
2(P A
＋
PB
＋
PC)
＜
2(AB
＋
BC＋
CA)
．




所以


7
．设甲步行速度为
x
千米
/
小时，乙步行速度为
y
千米
/
小时，则所求距离为
(9x+16y)
千


米．依题意得





由①得
16y
2
=9x
2
，

③





由②得
16y=24
＋
9x
，将之代入③得




即
(24
＋
9x)
2
=(12x)
2
．解之得




于是




所以两站距 离为
9
×
8
＋
16
×
6=168(
千米< br>)
．



8
．答案是否定的．对于
2，
2
，
2
，首先变为
2
，
2
，
3
，其中两个偶数，一个奇数．以后无论改变多
少次，总是两个偶数，一个奇数
(< br>数值可以改变，但奇偶性不变
)
，所以，不可能变为
19
，
1 997
，
1999
这三个奇数．




。






又因为




所以，
k
是偶数，从而
n
是
4
的倍数．

徐州龟山汉墓-

徐州龟山汉墓-

徐州龟山汉墓-

徐州龟山汉墓-

徐州龟山汉墓-

徐州龟山汉墓-

徐州龟山汉墓-

徐州龟山汉墓-