金娃娃-

2021年1月21日发(作者：包释修)


教学目标



1
．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它
的通项公式．



2
．逐步体会类比、归纳的思想，进一步培养学生概括、抽象思维
等能力．



3
．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．



教学重点和难点



重点：等比数列要领的形成及通项公式的应用．



难点：对要领的深刻理解．



教学过程设计



(
一
)
引入新课



师： 前面我们已经研究了一类特殊的数列──等差数列，今天我们
一起研究第二类新的数列──等比数列．< br>


(
板书
)
三

等比数列



(
二
)
讲解新课



师：等比数列与等差数列在 名字上非常类似，只有一字之差，一个
是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举列说明你对等比数列的 理解．



(
要求学生能主动的用类比思想，
通过具体例子说明对概念的理解
)



生：数列
1
，
3
，
9
，27
，…



师：你为什么认为它是等比数列呢



生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列．



(
先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，
但暂时不作 评论，
以防限制其他学生的思维
)



师：这是你对等比 数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项
大，能否再举一个一项比一项小的．






师：你对等比数列的理解呢



生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数．



师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例
子．






(
若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了
)



师 ：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有
实际应用价值，那么能否再举一个生活中 的等比数列例子．



生：如生物学中细胞分裂问题：
1
个细胞经过一次分裂变为
2
个细
胞，这两个细胞再继续分裂成为
4
个 细胞．这样分裂继续下去，细胞个
数从
1
到
2
到
4
到
8
，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数
列
1
，
2
，
4
，
8
，
16
，…这个数列就是等比数列．



师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的数学问题，还能把数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它
确有很高的研究价值．



说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个
定义呢



生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这
个数列就叫做等比 数列．



师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来 ，
这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这
个比，调整之后，再找 一位同学准确描述一下等比数列．



生：如果一个数列，从第二项起．每 一项与前一项的比都等于一个
常数，那么这个数列叫做等比数列．



师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来．



(
板书
)1
．定义

如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的 比
都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，记
作
q
．



(
教师在叙述的同时，再强调为突出所做出的比都相等， 应写为同
一个常数更准确
)



师：记住这句话并不难， 关键是如何理解它，并利用它解决问题，
先回到刚才几个例子看它们是否是等比数列，如果是，公比是多 少






师：好，公比会找了，再来看这样 一件事，等比数列从定义上与等
差数列有很多密切关系使我们想到，有没有这样的数列，它既是等差数< br>列也是等比数列呢



生：有，如数列
1
，
1
，
1
，
1
，…是一个以
0
为公差的等差数列， 也
是以
1
为公比的等比数列．



师：除了这个数列以外，还能再举一个吗






师：他们举的例子都是对的，而且从例子中数列的特征，使我们联
想到，形如
a
，
a
，
a
，…(a∈R)的数列好像都满足既是等差又是等比数
列，是这样吗



(
可让学生作短暂的讨论，再找学生回答
)



生：形如
a
，
a
，
a
，…这样的数列一定是等差数列
(这一点可以由等
差数列的定义加以证明
)
．但它未必是等比数列．



师：能具体解释一下吗



生：当
a=0
时，数列每一项均为零，都不能作比，因此不是等比数
列，a≠0
时，此数列是 等比数列．



师：这个回答非常准确，通过对这个问题的研究，对于我们 进一步
认识等比数列有什么帮助吗从中得到什么启示吗



生：等 比数列中的每一项都不能为零，因为在定义中，数列中每一
项都要做分母，所以均不能为零．



师：
这一点实际上是隐含在定义的叙述之中的，
从另一个角度上 讲，
数列各项均不为零是这个数列成等比数列的什么条件呢



生：是必要非充分条件．



师：这是我们对等比数列进一步理解得到第一点共识．



(
板书
)2
．对定义的理解




(1 )“a
n
≠0”是数列｛
a
n
｝成等比数列的必要非充分条件．


师：这一点是对等比数列的项的特殊要求，这与等差数列也是不同
的．



下面从另外一个角度研究一下定义，数学定义一般都是用文字语言
叙述表达的，但是 在使用时往往需要符号化，因此下面试用数学符号语
言来描述它






师：这种描述过于具体，能否用简单的一个式子来概括这么多个比
的等．






师：由于
n
可取任意自然数，故
a
n+1
可表示数列中每一项，
a
n
可表示
相应的前一项， 因此这一个比可以代表无数多个比的相等，所以这个式
子与定义是等价的．






师：这个比式也可作为我们判断一个数列
{an
}
是否是等比数列的依
据．
这样我们就完成了对等比数列的定义的研究 、
回顾一下研究过程．
主
要做了这样两件事：一是利用类比方法得到了等比数列的定义 ；二是用
抽象概括将定义翻译为符号语言，并能利用它证明一个数列是否是等比
数列．



下面要进一步研究等比数列，必须先搞清怎么表示一个等比数列，
要表示 数列，需先确定这个数列，确定一个等比数列几个条件呢



生：两个条件．



师：哪两个条件



生：可以是首项和公比



师：如果等比数列｛
a
n
｝，首项为
a
1
，公比为
q
，你会用什么方 法来
表示这个等比数列呢



生：可以表示为
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
…这是常用的列举法



师：刚才举例时用的就是这种表示方法，除此之外，还有其它表示
法吗

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